1 / 16

2. Predikaatarvutus.

2. Predikaatarvutus. põhineb lihtlausete jaotamisel lauseliikmeteks, olles seega lausearvutuse oluline laiendus. saab nimetada asju ja rääkida nende omadustest, seega on tegemist tunduvalt väljendusvõimelisema vahendiga.

tarala
Download Presentation

2. Predikaatarvutus.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 2. Predikaatarvutus. • põhineb lihtlausete jaotamisel lauseliikmeteks, olles seega lausearvutuse oluline laiendus. • saab nimetada asju ja rääkida nende omadustest, seega on tegemist tunduvalt väljendusvõimelisema vahendiga. • valemite tõesuse ja kehtestatavuse kontroll oluliselt raskem kui lausearvutuses.

  2. 2.1.Süntaks. Predikaatarvutuse tähestik koosneb järgmistest sümbolitest: • predikaatsümbolid • indiviidmuutujad • indiviidkonstantide sümbolid • loogiliste tehete sümbolid  • sulud

  3. Indiviidtermid on indiviidkonstantide sümbolid ja indiviidmuutujad. • Atomaarne valem on kas kujul L, kus L on lausemuutuja, või kujul p(t1, …, tn), kus p on n-muutuja predikaatsümbol ja t1, …, tn on indiviidtermid.

  4. Valemid: • Atomaarne valem on valem. • T ja  on valemid. • Kui p on valem, siis p on valem. • Kui p ja q on valemid, siis (pq), (pq), (pq) ja (pq) on valemid. • Kui p on valem ja v on indiviidmuutuja, siis v p ja v p on valemid.

  5. Kvantorid seovad muutujaid valemis. Muutuja on seotud, kui kõik tema esinemised on valemis seotud. Vastasel juhul on tegemist vaba muutujaga. • Valem on kinnine, kui kõik tema muutujad on seotud. Vastasel juhul on tegemist lahtise valemiga. • Me vaatleme valemeid, mis ei sisalda vabu muutujaid. • Lauseks nimetame predikaatarvutuse valemit, milles ei ole vabu muutujaid.

  6. 2.2. Semantika. • Predikaatarvutuse lause tõesuse kontrollimiseks tuleb läbi vaadata kõik selle lause tähendused. Tõeväärtustabelist meil siin abi pole, sest predikaadi tõeväärtus sõltub selle argumentidest.

  7. Olgu fikseeritud predikaatarvutuse signatuur (indiviidkonstantide ja predikaatkonstantide tähestik) (Const; Pred). • Olgu U põhihulk (universum). • Predikaatarvutuse interpretatsiooniks I nimetatakse funktsiooni, mis igale indiviidkonstandile seab vastavusse mingi elemendi põhihulgast ja igale predikaatkonstandile mingi funktsiooni Un {1,0}.

  8. Kuna predikaatarvutuse lausetes pole vabu muutujaid, on iga lause antud interpretatsiooni korral kas tõene või väär. • Kui valem p on interpretatsioonis I tõene, siis kirjutame I ‌ p. • Interpretatsiooni I, milles kõik hulga L valemid on tõesed, nimetame valemite hulga L mudeliks.

  9. Olgu antud interpretatsioon I ja universum U. • Kinnine atomaarne valem P(t1, …, tn) on interpretatsioonis I tõene parajasti siis, kui t1, …, tn interpretatsioonide jada (t1I, …, tnI) kuulub predikaadi P tõehulka PI. I ‌ P(t1, …, tn)  (t1I, …, tnI)  PI. • I p  I p • I ‌ pq  I ‌ p ja I q I ‌ pq  I p või I ‌q I pq  I ‌p või I q I ‌ pq  (I ‌ p ja I ‌ q) või (I ‌p ja I ‌q)

  10. I ‌x p  iga cU korral I ‌ p{x/c} I ‌x p  leidub selline cU, mille korral I ‌ p{x/c} • Valem p on predikaatarvutuses loogiliselt tõene (üldkehtiv, tautoloogiline), kui see on tõene igas tema tähestiku interpretatsioonis. Kui valem p on igas interpretatsioonis väär, siis on ta loogiliselt väär.

  11. Valemite hulgast L järeldub loogiliselt valem p ( L ‌ p), kui iga L mudel on ka p mudel. Kui eelduste hulk on tühi, siis ‌p  ‌ p. Lause. Kõik lausearvutuse tautoloogiate erikujud on predikaatarvutuses loogiliselt tõesed. • x A x A • x A x A • x A x A • x y A y x A

  12. x (A  B) x A x B • x (A  B) x A x B • x A x B x (A  B) • x (A  B) x A x B • (x A x B) x (A  B) • x (A  B)  (x A x B)

  13. Kui kaks suvalist lauset ei saa olla korraga tõesed, siis on need laused teineteise vastandid (p ‌q ja qp). Erijuhuna, kui nende lausete tõeväärtused on alati erinevad, siis nimetatakse neid vasturääkivateks lauseteks ( p = q). • Mitu kvantorit järjest: Kahe lause ees oleva üldisuse kvantori vahetamisel saadakse esialgsega loogiliselt ekvivalentne lause. Sama kehtib ka olemasolu kvantori korral. Erinevat tüüpi kvantorite korral võib üldisuse kvantori tõsta olemasolu kvantori ette, ent mitte vastupidi.

  14. 2.3. Skolemiseerimine • Skolemiseerimise (Skolemi normaalkujule viimise) idee on teisendada predikaatloogika valem A kvantorivabale kujuleA’ nii, et A on kehtestatav parajasti siis, kui A’ on kehtestatav. • Idee: x y A(x, y) on kehtestatav parajasti siis, kui A(x, f(x)) on kehtestatav, kus fon uus unaarne funktsioonisümbol.

  15. Prenekskuju on valem Q1 x1 … Qnxn M, kus Qi on kvantorid ning M onkvantorivaba valem (nn maatriks). • Skolemiseerimiseks viiakse kvantorid välja ehk valem prenekskujule, kasutades: x A x A, x A x A, (x A)  B x A  B, (x A)  B x A  B, (x A)  B x A  B, (x A)  B xA  B.

  16. Kvantorid jäetakse ära, üldisuskvantoriga seotud muutuja esinemisedjäävad paika, eksistentsikvantoriga seotud muutuja y esinemised asendatakse termigaf(x1, …, xn), kus n on antud eksistentsikvantorile eelnenud üldsuskvantorite arv,x1, …, xn on vastavad seotud muutujad ning f on uus n-kohaline funktsioonisümbol: • nt. x1y1x2y2 A(x1, y1, x2, y2) asendatakse A(x1, f(x1), x2, f(x1, x2)). • Skolemi funktsioone kasutatakse teoreemide automaatsel tõestamisel.

More Related