Pre-algebra

1. Pre-algebra Antonín Jančařík

2. Relace Označení relace (z latinského relatio – zpráva, vztah) se používá v následujících významech: Obecně: vysílání, pořad, hlášení, oznámení, poměr, vztah. Konkrétně: • matematický pojem zobecňující vlastnosti vztahů, jako je „rovnost“, „rovnoběžnost“ nebo „být větší než“ • relační databáze • session – trvající spojení v nějaké telekomunikační síti (obecně), dnes nejčastěji v nějaké počítačové síti

3. Vztahy

4. Relační databáze

5. Binární relace v matematice

6. Kartézský součin množin • V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin A a B je množina C, označená AxB , která obsahuje všechny uspořádané dvojice (a,b), ve kterých je první položka a prvkem množiny A a druhá položka b je prvkem množiny B . Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

7. Binární relace • Obecně je binární relace vztah (relace) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé. • Binární relace je uspořádána trojice [A, B, R], kde A a B jsou libovolné množiny a R je podmnožina kartézského součinu . Množině A se říká definiční obor, množině B obor hodnot a množinu R nazýváme graf relace. • Velice často se setkáváme s relací na množině, kdy množiny A i B jsou si rovny.

8. Vlastnosti binární relace na množině • Symetrická • Tranzitivní • Reflexivní • Další relace mohou být odvozeny z těchto: • Antisymetrická • Antireflexivní

9. Symetrická relace • Symetrická relace představuje vzájemný vztah. • Symetrická pokud platí (x R y), pak (y R x). • Je symetrická relace být sourozencem?

10. Tranzitivní relace • Tranzitivní relace představuje přenos vztahu. • Relace je tranzitivní pokud z (x R y) a současně (y R z), vyplývá (xRz). • Příkladem je uspořádání. • Je symetrická relace být sourozencem?

11. Reflexivní • Reflexivní relace představuje vztah sama se sebou. • Relace je reflexivní pokud pro všechny x patřící X platí (x R x). • Je reflexivní relace býti příbuzným?

12. Předpona anti- • Předpona anti- znamená protiklad. • Opak není negací. • Tedy antisymetrie je opakem symetrie. • Antireflexivita je opakem reflexivity. Někdy se používá asymetrie, areflexivita.

13. Antisymetrie • Vztah není nikdy opětován. • Relace je antisymetrická pokud (xRy) a současně (yRx), pak platí x = y. • Příkladem je relace být větší.

14. Antireflexivní • Nebýt ve vztahu sám se sebou. • Relace je antireflexivní, pokud pro žádné x neplatí (xR x). • Příkladem je uspořádání.

15. Relace ekvivalence • Ekvivalence (z lat. aeque, stejně a valere, platit) obecně znamená rovnocennost, stejnou platnost, rovnomocnost a z toho případně plynoucí záměnnost. • V matematice a v logice se označuje znakem ⇔.

16. Relace ekvivalence • Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence. • V rámci relace ekvivalence se vytváří množiny prvků, v rámci níž mají všechny prvky vztah se všemi a nemají vztah se žádnými jinými. • Tyto množiny se nazývají rozkladové třídy.

17. Rozkladové třídy ekvivalence • Relace mít stejnou barvu. • Třídy ekvivalence jsou reprezentované jednotlivými barvami. • Místo třídy můžeme brát jejího reprezentanta. • Množina rozkladových tříd.

18. Reálná čísla • Vezmeme množinu všech zápisů ve tvaru [znaménko], konečný počet číslic, [desetinná čárka, libovolný počet číslic]. • Zavedeme následující ekvivalenci: • Každé číslo je v relaci samo se sebou. • Číslo se znaménkem plus je ekvivalentní číslu bez toho znaménka. • Číslo končící za desetinnou čárkou nulami, je ekvivalentní číslu bez těchto nul. • Číslo končící za desetinnou čárkou nekonečnou posloupností devítek je ekvivalentní číslu zvětšenému o jedna na místě před první z těchto devítek. • Doplním všechny vztahy tak, aby platila tranzitivita. • Množinu tříd ekvivalence takto zavedených čísel nazýváme reálná čísla.

19. Racionální čísla • Racionální čísla můžeme zavést stejně jako reálná čísla, ale s tím rozdílem, že za desetinnou čárkou povolujeme jen ty nekonečné zápisy, které jsou od nějakého místa periodické, tzn. Opakují se tam stejné bloky čislic. • Musíme opět přejít ke třídě ekvivalence.

20. Uspořádání • Pomocí relací můžeme také prvky uspořádávat. • Existují různé druhy upořádání. • Částečné uspořádání. • Úplné uspořádání. • Dobré uspořádání.

21. Částečné uspořádání • Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání. • Mohou existovat nepoměřitelné prvky. • Do obrázku ještě patří reflexivita.

22. Úplné (lineární) uspořádání • Úplné (lineární) uspořádání je pojem, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné. • Jedná se o částečné uspořádání, které je trichotomické, tzn.

23. Dobré uspořádání • V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S první prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání. • Má-li každá neprázdná část A první prvek, Ernst Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.

24. Paradox • S dobrým uspořádáním souvisí i paradoxy typu „Sorités“ (některé objekty nelze v rámci klasických teorií množin modelovat, např. hromada písku, ze které je-li odebráno 1 zrno zbyde opět hromada písku (může taková hromada obsahovat 1 zrno, 2 zrna, 3 zrna…)), tyto paradoxy jsou vyřešeny ve Vopěnkově alternativní teorii množin zavedením tzv. polomnožin.

25. Ernst Zermelo(1871-1953) • Německý matematik proslulý svými pracemi v oblasti teoretických základů matematiky - teorie množin a logiky. • Proslulým se stal jeho výsledek z roku 1904, kdy dokázal tzv. princip dobrého uspořádání, který je proto také někdy označován jako Zermelova věta. • V roce 1908 publikoval svůj pokus o axiomatizaci teorie množin. • Jeho práce byla ve dvacátých letech dále upřesněna Adolfem Fraenkelem a Thoralfem Skolemem a je dnes nejrozšířenější axiomatikou teorie množin, označovanou jako Zermelo-Fraenkelova teorie množin.

26. Petr Vopěnka (*1935) • Významný český matematik a filozof. • V matematice přispěl zejména svojí prací v oboru teorie množin. • Je zakladatelem takzvané alternativní teorie množin. • Jeho filozofické dílo se věnuje filozofickým otázkám vědy, obzvláště matematiky, a je výrazně ovlivněno Husserlovou fenomenologií. • V letech 1990–1992 byl ministrem školství ČR.

27. SZZ 2009 I. Na množině všech do dnešního dne vyrobených osobních automobilů: • Navrhněte relaci, která je ekvivalencí a rozkládá tuto množinu na alespoň tři rozkladové třídy, z nichž alespoň jedna obsahuje více než jeden automobil. • Navrhněte relaci, která je tranzitivní a nikoli symetrická. Rozhodněte, zda vámi navržená relace je antisymetrická. • Navrhněte relaci, která je tranzitivní, symetrická a antireflexivní.

28. SZZ 2009 II. Na množině přirozených čísle (1,2,3...): • Navrhněte relaci, která je ekvivalencí a rozkládá možinu na nekonečně mnoho tříd ekvivalence, z níchž každá má nekonečně mnoho prvků. • Navrhněte relaci, která není tranzitivní.