8.3 傅里叶 ( Fourier ) 级数

8.3 傅里叶(Fourier)级数 第8章无穷级数 8.3.1 谐波分析 8.3.2 三角函数系的正交性 8.3.3、傅里叶级数

一、谐波分析三角函数系的正交性 由　　三角函数系的正交性是指 : 组成的函数序列叫做三角函数系，　如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，　其值都为零 . 在区间 [, ] 上的定积分，这实际上只需证明以下五个等式成立 :

以上结果，这里就不证明了 .

假定二、傅里叶级数如下形式的函数项级数称为三角级数 . 且可逐项积分，

于是有 注意到三角函数系的正交性，即有

所以为了求出系数 an，我们用 cos kx 乘级数，然后在逐项积分

因此由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，有当 k = n 时，其余各项均为零 .

可得到 用类似的方法，注意到在求系数an的公式中，令n = 0 就得到a0 的表达式，因此求系数 an , bn的公式可以归并为

由傅里叶系数组成的 三角级数称为傅里叶级数. an , bn称为傅里叶系数.

收敛定理(狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ) 如果它满足条件 : 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数，在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，则f(x) 的傅里叶级数收敛，并且至多只有有限个极值点，并且

级数收敛于f(x) ; (1) 当 x 是 f(x) 的连续点时， (2) 当 x是 f(x) 的间断点时，级数收敛于其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x处的左极限， f(x+0) 表示 f(x) 在 x处的右极限 .

解函数 f(x) 的图形如图所示， f(x)    2 O x 例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函它在 [ , ) 上的表达式为数，试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .

这是一个矩形波， 它显然满足收敛定理的条件，由式 (12.6.4)

因为在计算 又

　　　　　　　　　　　　当 x k (k = 0 , 1 , 2 ，···) 时，根据收敛定理可知，傅里叶级数收敛于 f(x) ，即

f(x) 2    2 O x 级数收敛于当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 . 图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同.

≤ ≤ f(x)    2 O x   　　例3设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数，它在 [ , ) 上的表达式为试将其展开成傅里叶级数.

解　计算傅里叶系数

即所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，

级数收敛 于  f(x)    2 O x   当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ···) 时，当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形.

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