Problèmes de parallélisme Problèmes d’orthogonalité

1. Problèmes de parallélismeProblèmes d’orthogonalité http://archi.ensam.free.fr/

2. Problèmes de parallélisme • Rappels de géométrie sur le parallélisme • Problèmes de parallélisme entre droites et plans • Construction, par un point donné, d’une droite parallèle à un plan donné (Applications TD) • par ses traces • par deux droites sécantes • Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné • par deux droites sécantes du plan (4.3) • par ses traces (4.4) • Construction, par une droite donnée, d’un plan parallèle à une direction donnée (Application TD)

3. 4.1. Rappels géométriques sur le parallélisme • Théorème 1: Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. • Théorème 2 : Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à l’autre plan. (D) P () P2 (D1) P1 (D2) (1) (2)

4. Applications en géométrie descriptive • Théorème 3 : La propriété de parallélisme se transmet en projections orthogonales. • Théorème 4 : Deux plans parallèles sont coupés par un troisième selon deux droites parallèles. • Conséquence 4 : a) Toutes les frontales d’un plan sont parallèles entre elles et avec la trace frontale du plan (qui est une frontale particulière du plan) b) Toutes les horizontales d’un plan sont parallèles entre elles et avec la trace horizontale du plan (qui est une horizontale particulière du plan) Si (D1) ║ (D2)  (d1) ║ (d2) et (d1’) ║ (d2’ ) (F) ║ (Q)  (f’) ║ (Q’) et (f) ║ (Q) = LT (H) ║ (P)  (h) ║ (P) et (h’) ║ (P’) = LT

5. 4.2. Problèmes de parallélisme entre droites et plans Méthode générale de construction d’une droite (D) ║ avec un plan P : On choisit une droite () dans le plan P et on construit (D) ║ (). Cf. Th.1  (D) ║ P. 4.2.1 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle à un plan donné par ses traces. (Application TD) Par exemple on choisit (Q) la droite du plan et on construit (D) ║ (Q), par A : par a’, on construit (d’) ║ (Q’) par a, on construit (d) ║ (Q)=LT (Q’) (d’) a’ (P’) α y’ y (Q) a (d) (P)

6. 4.2.2 Construction, par un point donné, d’une droite parallèle àun plan donné par deux droites sécantes du plan. On construit, par le point A, la droite (D) parallèle à l’une des deux droites sécantes (D1) ou (D2)qui déterminent le plan : on construit, par le point a’, la droite (d’) parallèle à (d2’), on construit, par le point a, la droite (d) parallèle à (d2). (d2’) (d1’) (d’) a’ y y’ a (d) (d1) (d2)

7. 4.2.3 Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle au premier plan bissecteur (Application TD) (δ’) (δ’) A a’ x (d’) () α y’ y (D) α a (d) (δ) (δ) i) On choisit, dans le premier plan bissecteur, une droite quelconque ().  Ses projections (δ), (δ’) sont symétriques par rapport à la ligne de terre. ii) On construit, par A, la droite (D) demandée parallèle à la droite (): (d) ║ (δ) par le point a et (d’)║(δ’) par le point a’

8. 4.2.4Construction, par un point donné A, d’une droite (D) parallèle au deuxième plan bissecteur (Application TD) A (δ)=(δ’) x (D) (d’) (δ’) a’ () y’ y (d) a (δ) i) On choisit, dans le deuxième plan bissecteur, une droite quelconque ().  Ses projections (δ), (δ’) coïncident. ii) On construit, par A, la droite (D) demandée, parallèle à la droite (): (d) ║ (δ) par le point a et (d’)║(δ’) par le point a’, donc (d) ║ (d’)

9. 4.3. Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné par deux droites sécantes Problèmes de parallélisme entre deux plans Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par deux droites (D) et () sécantes en A et M un point de l’espace (M P ). Construire, par le point M, un plan P1 parallèle au plan P. Méthode: • On construit par M, deux droites (D1)et (1) parallèles aux droites (D) et () du plan P. • Cf.Th.1, les droites (D1)et (1) sont parallèles au plan P. • Le plan P1 recherché est déterminé par ces 2 droites sécantes en M. • Cf.Th.2, le plan P1 est parallèle au plan P.

10. 1) Construction par M, de la droite (D1) parallèle à la droite (D) : Epure de départ : 2) Construction par M, de la droite (1) parallèle à la droite () : Le plan P1 recherché est déterminé par ces 2 droites sécantes en M et parallèles au plan P  (cf.Th.2) P1║P. iii) Construction par m de la projection horizontale (δ1) parallèle à (δ) iv) Construction par m’ de la projection frontale (δ1’) parallèle à (δ’) i) Construction par m de la projection horizontale (d1) parallèle à (d) ii) Construction par m’ de la projection frontale (d1’) parallèle à (d’) iii) Construction par m de la projection horizontale (δ1) parallèle à (δ) i) Construction par m de la projection horizontale (d1) parallèle à (d) (d’) (δ1’) m’ a’ (d1’) (δ’) y’ y (δ) (d1) a m (δ1) (d)

11. 4.4 Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné par ses traces Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par ses traces (αPQ) et M un point de l’espace (M P ). Construire, par le point M, un planP1 parallèle au plan P. Méthode 1(cas particulier de 4.3) : • On construit par M, deux droites (H1)et (F1) parallèles aux traces du plan: (H1) ║ (P) alors, cf.Th.1  (H1) ║ H , donc (H1) est une droite horizontale et (F1) ║ (Q) (F1) ║ F , donc (F1) est une droite frontale. • Le plan P1 recherché est déterminé par ces deux droites sécantes en M, qui deviennent: (H1) une horizontale du plan et (F1) une frontale du plan P1. • Comme(H1) ║ (P) et (F1) ║ (Q) (par construction), alors cf.Th.2 P1║ P . • On construit les traces (P1)et (Q1) du plan P1 , déterminé par 2 droites sécantes. (* On note F le plan frontal de projection, Hle plan horizontal de projection.) (** Remarque : La méthode ne marche pas si (P) ║ (Q) ! Pourquoi? Que faire?)

12. Epure de départ : (Q1’) (Q’) (f1’) (h1’) m ’ v’ α1 (P’) α u’ y’ y v (Q) (f1) u m (h1) (P) (P1) i) Construction, par M, de la droite (H1) parallèle à la trace (P) du plan : par m , (h1) ║ (P) et par m’ , (h1’) ║ (P’) = LT. ii) Construction, par M, de la droite (F1) parallèle à la trace (Q) du plan : par m’, (f1’) ║ (Q’) et par m , (f1)║ (Q) = LT. iii) Le plan P1 recherché est déterminé par les droites sécantes (H1)et (F1), qui deviennent une horizontale et une frontale du plan P1. iv) Déterminer les traces du planP1: le point de trace frontale V de (H1) se trouve sur (Q1): v = (h1) ∩ LT, v’  (h1’) et on construit (Q1’) ║ (f1’) ║ (Q’) ,par v’ le point de trace horizontale U de (F1) se trouve sur (P1): u’ = (f1’) ∩LT, u  (f1) et on construit (P1) ║ (h1) ║ (P) ,par u

13. 4.4 Construction, par un point donné, d’un plan parallèle à un plan donné par ses traces Méthode 2: • On construit, par M, un plan horizontal H qui coupe les plans parallèles PetP1 selon deux droites parallèles (H)et (H1), qui sont des horizontales des plans respectifs et donc sont parallèles avec les traces horizontales des plans. • On construit, par M, un plan frontal F qui coupe les plans parallèles PetP1 selon deux droites parallèles (F)et (F1), qui sont des frontales des plans respectifs et donc sont parallèles avec les traces frontales des plans. • On construit les traces (P1), (Q1) du plan P1 déterminé par les deux droites (H1), (F1) sécantes en M.

14. Problèmes d’orthogonalité • Rappels de géométrie sur l’orthogonalité • Problèmes d’orthogonalité entre droites et plans • Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à un plan donné • par ses traces (4.5) (4.6) • par deux droites sécantes (4.7) • Construction, par un point donné, d’un plan perpendiculaire à une droite donnée (4.8) • Applications(exercices) • Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à une droite donnée • Construction de la perpendiculaire commune à deux droites dans l’espace

15. Rappels géométriques sur l’orthogonalité Définition: Deux droites (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales (dans l’espace) si les parallèles à ces deux droites menées par un point quelconque sont perpendiculaires (dans le plan qu’elles déterminent). • Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. • Si une droite est orthogonale à deux droites sécantesd’un plan alors elle est perpendiculaire au plan. Théorème 5 : Une droite (D1) est perpendiculaire à un plan si et seulement si il existe deux droites sécantes(D2), (D3) du plan, tel que (D1)  (D2) et(D1) (D3). (D1) (D3) (D2)

16. La propriété d’orthogonalité des droites ne se transmet pas en projections orthogonales : Si deux droites sont orthogonales, leurs projections ne sont pas nécessairement orthogonales. Théorème 6 : Deux droites orthogonales se projettent sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l’une des droites est parallèle (ou contenue) au plan de projection. (d1) (d2)  (D1)║H ou (D2)║H (d1’)  (d2’)  (D1) ║F ou (D2) ║F Si (D1)  (D2) alors: (D1) (d1’) (d2’) (D1)║F (D2)║H (D2) F (d2) (d1) (d1) H (d2) H Si (D1)  (D2) et (D2)║H  (d1) (d2) Si (D1)  (D2) et (D1)║F  (d1’) (d2’)

17. 4.5. Principe de construction d’une perpendiculaire à un plan ConséquenceSi une droite (MN) est perpendiculaire à un plan (PαQ) alors: i) la projection horizontale de la droite est perpendiculaire aux projections horizontales des horizontales du plan (dont la trace horizontale P du plan). ii) la projection frontale de la droite est perpendiculaire aux projections frontales des frontales du plan (dont la trace frontale Q du plan). m’ (f ’) (F) (Q) F M (h’) n’ (H) N (f) (h) n α (P) H m

18. 4.6. Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à un plan donnépar ses traces Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par ses traces (P) et (Q). Soit M un point de l’espace (pas nécessairement surP ). Construire, par le point M, une droite (L) perpendiculaire au plan P. • Méthode (cas particulier de 4.7): • La trace horizontale (P) d’un plan est une horizontale du plan et la trace frontale (Q) d’un plan est une frontale du plan, alors • il suffit de mener, par le point M, une droite (L) perpendiculaire aux traces du plan (sécantes): • (L)  (P) ║ H et (L)  (Q) ║ F • cf. Th.5, (L) est perpendiculaire au plan • cf.Th.6 ses projections sont, respectivement perpendiculaires à ces traces: • (l)  (P) et (l’)  (Q’) (Q’) m’ (l’) y’ y α (l) (P) m

19. 4.7.Construction, par un point donné, d’une droite perpendiculaire à un plan donné par deux droites sécantes Enoncé du problème : Soit P un plan déterminé par deux droites (D) et (Δ), sécantes en A. Soit M un point de l’espace (pas nécessairement sur P). Construire, par le point M, une droite (L) perpendiculaire au plan P. Méthode: • Construire une frontale (F) du plan et une horizontale (H) du plan P . • Mener, par le point M, une droite (L) orthogonale à ces 2 droites sécantes du plan: (L)  (H) ║ H et (L)  (F)║ F • Alors, cf. Th.5, (L) est perpendiculaire au plan P et • cf. Th.6 ses projections horizontale et frontale sont orthogonales à (h) et (f’): (l)  (h) et (l’)  (f’) Remarque: (l’)  (h’) et (l)  (f) !

20. Etape 2 : Construction d’une frontale (quelconque) (F) du plan Etape 1 : Construction d’une horizontale (quelconque) (H) du plan Epure de départ : Etape 3 : Construction de la perpendiculaire (L) au plan comme l’orthogonale par M à (F) et à (H)  (l)  (h) par m et (l’)  (f ’) par m’ (∂’ ) (d’ ) (l’) a’ (f’) 4’ m’ 1’ (h’) 2’ 3’ y y’ 2 3 4 (f) 1 m (h) a (l) (d) (∂)

21. 4.8. Construction, par un point donné, d’un plan perpendiculaire à une droite donnée Enoncé du problème : Soit (L) une droite et M un point (pas nécessairement sur L ! ). Construire, par le point M, un plan P perpendiculaire à la droite (L). Méthode: • On construit deux droites particulières, une droite frontale (F) et une droite horizontale (H), sécantes en M et orthogonales* toutes les deux à la droite donnée (L). • Cf.Th.5, le plan P déterminé par les deux droites sécantes (F) et (H) est perpendiculaire à la droite (L). Ainsi, (F) et (H) deviennent une frontale du plan P et une horizontale du plan P. • On construit les traces (P) et (Q) du plan P.

22. Epure de départ : Etape 1: Construction d’une droite frontale (F) qui passe par le point M et qui soit orthogonale à (L) : (f) ║ L.T. et m  (f) (f ’) ( l’) et m’  (f ’) Etape 4 : Déterminer les traces du plan : u’ = (f ’) ∩ L.T. et u  (f) (P) ║ (h) et u  (P) v = (h) ∩ L.T. et v’  (h’) (Q’) ║ (f ’) et v’  (Q’) Etape 2: Construction d’une droite horizontale (H) qui passe par le point M et qui soit orthogonale à (L) : (h’)║ L.T. et m’  (h’) (h)  (l) et m  (h) Etape 3: Le plan recherché est déterminé par les deux droites (F) et (H), sécantes en M (qui deviennent une frontale du plan et une horizontale du plan). (f ’) (Q’) m’ v’ (h’) (l’) u’ α y y’ v (l) u m (f) (P) (h)

23. Tableau comparatif entre les propriétés de parallélisme et d’orthogonalité