1 / 50

Динамическая метеорология.

Динамическая метеорология. Векторные операции. Кто изобрел вектора?. Мёбиус ввел в математику операции с направленными отрезками. Гамильтон ввел слово вектор и определил скалярное и векторное произведение. Гиббс ввел основные обозначения А · В и А В.

tessa
Download Presentation

Динамическая метеорология.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Динамическая метеорология. Векторные операции

  2. Кто изобрел вектора? Мёбиус ввел в математику операции с направленными отрезками Гамильтон ввел слово вектор и определил скалярное и векторное произведение Гиббс ввел основные обозначенияА·В и АВ

  3. В автором первого русского учебника по векторному анализу был Н.Е.Кочин

  4. Чтобы понимать дальнейшее вспомни тригонометрию!

  5. Для чего нужны вектора?- 1 • Для сокращения записи уравнений

  6. Для чего нужны вектора?- 2 Вихрь в декартовых прямолинейных координатах Вихрь в ортогональных криволинейных координатах • Чтобы не зависеть от системы координат при записи фундаментальных законов и понятий

  7. Эти вектора и равенства с ними нужно знать и уметь употреблять Векторная запись формул и уравненийприменяется для краткости. Но для расчетов необходимо переходить к координатной записи. Следует уметь читать векторную запись и знать правила перехода к координатной!

  8. Вектор это величина, которая характеризуется не только размерами, но и направлением. Обозначаем жирными прописными буквами! • Вектора – это реальные объекты, их можно складывать (по правилу параллелограмма) • Примеры векторов: перемещение r, скоростьv, ускорениеa, силаf • Обозначения: Скорость V={u,v,w}={u1, u2, u3}= ui(i=1,2,3)

  9. НЕ все есть ВЕКТОР!

  10. Если хочешь быть вектором, то складывайся по правилу параллелограмма • Контрпример 1: Скаляры: длина -l, масса -m, температура-t. Объединив их в одно множество {l,m,t} получим формальный , а не реальный вектор не получить! Почему? • Контрпример 2: Набор {T,P,e} – не вектор, т.к. компоненты а) зависимы и б) не характеризуют единый геометрический объект

  11. Операции с векторами осуществимы практически, так же, как и в случае скаляров. Пример: Сложение и вычитание • Сумма векторов – вектор, который имеет начало в начале первого и конец в конце последнего • Введя вектор (–N), равный по величине вектору N и противоположный ему по направлению, можно определить операцию вычитания

  12. Проекции вектора на оси • Проекции вектора на координатные оси вычисляются по формулам • P1=|P|cosax • P2=|P|cosay • P3=|P|cosaxz Замечание 1: если модуль вектора равен 1 (единичный вектор), то его координаты – это косинусы углов между им и осями. Т.Е. единичный вектор определяетнаправление вектора в пространстве

  13. Обратно: вектор направления s для вектора P(P1,P2,P3) • определяется формулой: s= P/|P| • Сos(s,x)=P1/|P|, • сos(s,y)=P2/|P|, • сos(s,z)=P3/|P| • Пример: направление нормали к поверхости f(x,y,z)=0 или z=h(x,y) определяется по вектору градиента поля f (см.ниже)

  14. Скалярное произведение – это операция проектирования Оно представляет собой результат операции проектирования одного из векторов на другой

  15. Координатное представление • Основная теорема: любой вектор Dможет быть разложен по трем некомпланарным(aA+bB+cC  0) • D=mA+nB+pC • На ней основано разложение вектора по трем единичным взаимно перпендикулярным векторам (ортам)-i,j,k • V=vxi+vyj+vzk

  16. Важные вектора 1(знать!) Радиус-вектор точки: r = xi+yj+zk или r = {x,y,z} Единичный вектор направления: е = x/|x| i+y/|x| j+z/|xk илиe = {x/|x|,y/|x|,z/|x|}= ={cos(r,X)= x/|x|,cos(r,Y) = y/|x|,cos(r,Z) = z/|x|}= = {cos(a,cosb ,cosg }

  17. Радиус-вектор точки

  18. Важные вектора 2 (знать!) Направленный элемент кривой: dl = dx i+dy j+dz k или dl = {dx,dy,dz}

  19. Важные вектора 2 (знать!) Направленный элемент площади: dS =ndS = dScos(n,X)i+dScos(n,Y)j +dScos(n,Z) k = = dydz i+dxdz j+ dxdy k n –единичный вектор нормали к поверхности (Для памяти: Направление нормали совпадает с направлением вектора градиента функции, задающей поверхность)

  20. Направленный элемент поверхности

  21. Важные вектора 3 (знать!) Формальный векторградиент или оператор Гамильтона или набла-оператор:

  22. Применение вектора набла Градиентскалярного поля f Дивергенция векторного поля B Вихрь (ротор) векторного поля B

  23. Определение скалярного произведения векторовaиb Через скалярное произведение определяется длина (норма) вектора: Определение косинуса угла между векторами по координатам: Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов: Поскольку орты – единичные взаимно перпендикулярные вектора, то:

  24. Определение скалярного произведения совпадает с определением коэффициента корреляции Смысл к-та корреляции – это угол между двумя многомерными векторами! Если он равен нулю, то вектора перпендикулярны Если он +1– они сонаправлены Если он -1 – они противоположны по направлению

  25. Важные скалярные произведения Кинетическая энергия единицы массы - (V·V)/2 Элементарная работа силы (циркуляция) - F·dl Элементарный поток вектора А - A·dS Спиральность скорости - V· Градиент скалярного поля f - f Адвекция скаляраf - V·f Дивергенция вектораDivV:

  26. Индексная (тензорная) формазаписи вектора

  27. Особенности тройного скалярного произведения • Определение АВС смысла не имеет! • Обязательно указать пару, образующую скаляр: (АВ)С или А(ВС) • Почему? • (АВ)С – это вектор С, длина которого увеличена в (АВ) раз • А(ВС) – это вектор А, длина которого увеличена в (ВС) раз • Различие важно в преобразованиях

  28. Пример использования тройного скалярного произведения Скалярное произведение в рамке – неразделимо в операциях

  29. Контролируй себя: Справка: вычисление определителя 3-его порядка Метод разложения по первой строке (нам нужен!): Метод получения числового значения (для теории нам не нужен!)

  30. Векторное произведение– это описание поворота! (вектор С перпендикулярен плоскости, в которой лежатaиbи образует с ними правовинтовую систему и численно равен площади параллелограмма, построенного на них, как на сторонах) Векторное произведение двух векторов А и В определяется как векторС с величиной |А||B| sin β и с направлением, перпендикулярным плоскости, проходящей через А и В так, чтобы вращающийся вправо винт, который поворачивал бы А (первый вектор) к В (второй вектор) и перемещался (ввинчивался) в направлении С. Помнить, что ab= -ba

  31. Вычисление векторного произведения Запись не точна! Направление? . Условие колинеарности (параллельности) двух векторов Векторное произведение ортов: (доказать самостоятельно)

  32. Линейная скорость вращения точки относительно оси V=r Сила Кориолиса, отнесенная к единице массы К = 2V Момент импульса , отнесенный к единице массы Vr Момент силыF M = Fr Вихрь вектораV=rotV: Важные векторные произведения

  33. Смешанное произведение (скалярно-векторное произведение) Оно является скалярной величиной и для векторов A, B, Cвычисляется по формуле: C·(A  B) Интерпретация-объем соответствующего параллелепипеда

  34. Свойства смешанного произведения (четные и нечетные перестановки векторов) Помнить: Вектора лежат в одной плоскости (компланарны), если: A ·(B  C)=0

  35. Векторно-векторное произведение- это векторA (B C) Вычисляется по правилу: A (B C)=B·(A·C)-C·(A·B) Мнемоника: «БАЦ минус ЦАБ» Применение к примеру. Еслиnединичный вектор (n·n)=1 , перпендикулярный данному вектору X, то векторно-векторное произведение осуществляет поворот вектора X на 1800:

  36. С помощьюA (B C)решается важная задача : • Разложить вектор Bпо двум направлениям: параллельно и перпендикулярно заданному векторуA • Решение – заменить в формуле С на А:

  37. Два важных примера из ДМ: К лекции 11 и 10

  38. Упражнение: • Упростить выражение: • (R)=? • R –радиус вектор точки, вращающейся вокруг оси •  - вектор угловой скорости вращения • Подсказка: R= R┴+ R║ • Сделать чертеж и применить правило • A(BC)=B(AC)-C(AB)

  39. Упражнение • Выполнить преобразование:

  40. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу.

  41. Примеры дифференцирование вектора по скалярному аргументу. Скорость и направление, касательная Ускорение, нормаль, кривизна и ее радиус Касательная и нормаль перпендикулярны

  42. Примеры дифференцирование вектора по скалярному аргументу. • В подвижной системе координат орты изменяются и их следует дифференцировать

  43. Теорема Эйлера о вращении точки с постоянной угловой скоростью  ЗдесьM2, М1 , M0– конечное, среднее и начальное положения точки DA = M2-M0 - вектор малого перемещения точки, Dq- угол поворота e –единичный вектор, определяющий направление перемещения

  44. V=r dr/dt = r Применение теоремы Эйлера – вращение подвижных ортов Полное изменение вектора во вращ. системе координат

  45. Применение вектора набла Градиентскалярного поля f Дивергенция векторного поля B Вихрь (ротор) векторного поля B

  46. Градиент векторного поля определяется иначе и порождает новые математические объекты – тензора. Дифференцирование вектора по вектору порождает три новых вектора!

  47. Теорема Гаусса (A=Pi+Qj+Rk) Векторная запись: Координатная запись:

  48. Теорема Стокса (A=Pi+Qj+Rk) Векторная запись: Координатная запись:

  49. Математика – это легко и просто. /проф. Д.Л.Лайхтман – мой учитель/

More Related