Le Partizioni dei spazii proiettivi di Sottospazii

1. Le Partizioni dei spazii proiettivi di Sottospazii Come usare piani di traslazione per capire partizioni!

2. Bruen-Thas • Circa 1974, Bruen e Thas hanno dimostrato che da una partizione di un spazio proiettivo e’ possible costruire un piano di traslazione. • Allora, una partizione di PG(2s-1,q^2) con sottospazii che sono isomorfi a PG(2s-1,q) ed anche sottospazzi isomorfi a PG(s-1,q^2) • Sia possible trovare un metodo da fare direttamente dal piano di trazlazione a partizione?

3. Hirschfeld-Thas • Usando le varieta’ di Segre, c’e’ una altra costruzione di partizioni di PG(2s,q^2) con sottospazii isomorphi a PG(2s,q). • Con un motodo dissimilare, e’ anche possible costruire un piano di trazlazione. • Sia qui anche un metodo da fare direttamente da piano di traslazione? • Si, alle due domande!

4. I Probleme Piu’ Generale • Si piace fare una generalizazione completamente del problema di partizioni dei spazii proiettivi anche senza l’ipotese che i spazii sono finiti. • Usando sottospazii? • Questo dipende se si vuole una corrispondente completamente con piano di traslazione o forse come fibrazioni generalizzati. • Perche’?

5. Cominciamo con: Ritrazione di un piano di traslazione • Recentamente, ho trovato un metodo andare da un piano di traslazione a una partizione. • Sia un piano di traslazione dell’ordine q^2s che ammette un gruppo G di collineazione dell’ordine q^2 tale che questo gruppo containe un sottonucleo del piano isomorfo al GF(q)-{0}. Se g in G non fissa un punto non-zero, da allora le orbite delle rette hanno misure 1 o (q+1) • Si puo’ dimostrare che G unione zero e’ un campo dell’ordine q^s e • un’orbita con misura (q+1) e’ una rete di un regolo.

6. Le Partizioni? • Beh, se ci sono n orbite della misura q+1 e m orbite della misura 1, questi produrono in PG(3,q^2): • n spazii isomorfi al PG(3,q), • m spazii isomorfi al PG(1,q^2)---- • Si chiama una partizione di typo (n,m). • Questa partizione ri-produra il piano di traslazione che ammette lo stesso gruppo G. • Allora, questo da il metodo di Bruen-Thas direttamente dal piano di traslazione.

7. Hirschfeld-Thas Senza Segre • Sia P un piano di traslazione dell’ordine q^m con nucleo GF(q) tale che m e’ dispari ---in questo caso, abbiamo uno spazio vettoriale di dimensione 2m/GF(q), quindi q^2m vettori. • Allora, sia possibile avere un gruppo dell’ordine q^2 che agisce come un gruppo di collineazione, ed anche contene il gruppo del nucleo (il gruppo di omologia) • Se ogni elemento nontrivial che fissa solo il vettore zero allora abbiamo le orbite di componenti hanno misura solo (q+1). • Questi orbite diventono regoli ----e una partizione in PG(2m-1,q^2) dai PG(2m,q).

8. Fibrazioni Parziali Generalizzate • Sia V uno spazio vettoriale/K per K un corpo. Sia T un’insieme dei sottospazii che hanno uno per uno intersettzione triviale ---allora T si chiama un F.P.G; elementi li chiamano “componenti.” • Siano K e D campi, e D e’ un’estenzione di K---supponiamo che D “agisce’ su V e T. • Un’orbita di componenti di D su una fibrazione generalizzate si chiama un “fan” (ventilatore) • Se L e’ un componente D(L) e’ il sotto-campo che fissa L-----allora abbiamo un “D(L)-fan.”

9. Quasi-Sottogeometrie • Quando D e’ un’estensione quadratica di K, un D(L)=K-ventilatore diventa uno sottospazio isomorfo al PG(L-1,D(L)=K) in PG(V-1,D). Benche, D non sia un’estensione quadratica di K, prediamo le rette come <av+bw;a,b in K> dove v,w in L tale che v,w sono K-independenti. • In questo modo, abbiamo ottenere uno spazio isomorfo al PG(L-1,D(K)) come un’insieme di PG(V-1,D); un quasi-sottogeometia. • Prediamo tutti partizioni essere costruito come questo metodo.

10. Chiude la Ventilatore • Con una ventilatore, produrano un sottospazio di proiettivo: • Sia O(L) un D(L)-ventilatore, forma la traliccio in PG(V-1,D), allora chiudiamo la ventilatore e otteniamo un sotto”insieme” isomorfo in PG(L-1,D(L)). • Benche, abbiamo un “quasi”-sottospazio.

11. Partizioni con Quasi-Sottospazii • Sia V un spazio vettoriale su K un campo e sia D un campo-estensione di K. Sia T una fibrazione generalizzate tale che D agisce su V e T. • Una partizione? • Si, abbiamo una partizione di PG(V-1,D) con quasi-sottospazii PG(L-1,D(L)) per ogni componenti di T. • Si nota che siano possible avere molti sottocampi diversi D(L).

12. Aprire La Ventilatore-proiettiva. • Con una partizione usando quasi-sottospazii di uno spazio proiettivo e’ possible di formare una fibrazione generalizzata con un metodo che si chiama “aprirendo” la vemtilatore. • Generalmente, la struttura geomettrica si chiama uno spazio di Sperner-generalizzato. • Ci sono esempii? • Ci vediamo un po’ --- • Si!

13. Il Caso Finito per Piani di traslazione • Sia P un piano di traslazione dell’ordine q^ds e nucleo K isomorfo al GF(q). Assumiamo che esiste un group di collineazione GK* tale che GK e’ un corpo che e’ isomorfo a GF(q^w), dove w=d o 2d e s e’ dispari nel caso secondo. • Per ogni componente L, c’e’ un sottocampo GF(q^f), per f un divisore di w. In questo caso, la misura dell’orbita di L e’ (q^w-1)/(q^f –1) e l’orbita e’ un q^f-ventilatore. • Considiamo AG(2ds/w,q^w). Si incassa in il PG(2ds/w,q^w) corrispondente, e si conside l’iperspazio al infinito che e’ isomorfo al P(2ds/w-1,q^w)---------otteniamo:

14. Partizioni Finite • Ottiamo una partizioni finite di PG(2ds/w-1,q^w) usando quasi-sottospazii che sono isomorfi ai PG(ds/f-1,q^f) per un’insieme N dei divisori di w. Si chiama questo “typo-N.” • Viceversa, se esiste una partizione di PG(2ds/w-1,q^w) con quasi-sottospazii che sono isomorfi ai PG(ds/f-1,q^f), dove f in un’insieme dei divisori di w, allora: • Riceveriamo un piano di traslatione? • Certamente!

15. In Fine –Una Domanda • Supponiamo che abbiamo spazio PG(2s-1,q^d). Si sceglie un’insieme N di divisori di d. Esiste una partizione con quasi-sottospazii? • Assolutamente! • Come si puo’ costruire? • Usando piani di Andre’ di typi varii. • Troppo facile! • Va bene ---aspetti alla prossima converenza!