Il laboratorio delle Macchine Matematiche

1. Il laboratorio delle Macchine Matematiche Progetto Mate-Laboratorio Incontro 22 settembre 2011 Cremona

2. Corso nato dalla collaborazione tra e Associazione delle macchine Matematiche Cremona 2011

3. Nicoletta Nolli nico559@libero.it Cinzia Galli cinzia.galli@comune.cremona.it museo.storianaturale@comune.cremona.it Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it Rossella Garuti rossella.garuti@libero.it Associazione delle Macchine Matematiche info@macchinematematiche.org Cremona 2011

4. Cosa è stato fatto2010/2011 • Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito • Apertura al prestito (Cinzia Galli) • Inizio corso di formazione

5. Programma del corso 1° parte anno scolastico 2010-2011 Cremona 2011

6. Le macchine analizzate fin ora • IL COMPASSO • I PANTOGRAFI PER LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

7. I materiali del corso • Presentazioni ppt • Schede di lavoro • Animazioni virtuali delle macchine • Materiali da sperimentazioni • Griglie di progettazione http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

8. Cosa faremo oggi • Ripresa del lavoro • Alcuni estratti da sperimentazioni già svolte • Discussione proposte di sperimentazioni

9. Quadro teoricodel progetto • Idea di laboratorio di matematica • Ricerche storico-epistemologiche e didattiche sulle macchine matematiche • Mediazione semiotica • Ricerche su aspetti cognitivi legati all’esplorazione delle macchine matematiche Ricerche nazionali ed internazionali

10. La documentazione pubblica del Progetto MMLab-ER www.mmlab.unimore.it  Progetto regionale Emilia-Romagna  Risultati del progetto • Report delle sperimentazioni(insegnanti) • Foto e video(insegnanti e centri di doc.) • Libro Progetto regionale(Martignone (ed.), 2010) • Tesi di dottorato (Garuti, 2011) • Diari di bordo delle sperimentazioni (insegnanti) • Pubblic. su riviste e comunic. agli atti di congressi naz. e internaz. (insegnanti e ricercatori MMLab) UMI 2011

11. Metodologia Laboratorio di matematica (curriculi UMI) Laboratorio con gli insegnanti durante il corso di formazione Laboratorio con gli studenti nelle sperimentazioni nelle classi

12. Metodologia laboratoriale Lavori di gruppo e discussioni Quali focus? Quali artefatti? Processi e aspetti culturali coinvolti Le Macchine Matematiche

13. Focus • Aspetti culturali: • Le macchine come oggetti usati nella storia della matematica e non solo • Il ruolo della definizione e dimostrazione nella cultura matematica • Processi: • Produzione congetture, sviluppo di argomentazioni e costruzione di dimostrazioni

14. Gli ingredienti Metodologia laboratoriale Attività in piccoli gruppi Discussioni collettive Macchine Matematiche: Macchine aritmetiche e geometriche Attenzione ai Processi e agli aspetti culturali coinvolti Opportune consegne

15. La prima macchina analizzata:il compasso Cremona 2011

16. Costruzioni di triangoli isosceli(tenendo presente la disuguaglianza triangolare) Partendo dall’asse di simmetria… Data la base costruire i lati congruenti… Partendo dagli angoli conguenti Partendo dalla proprietà della crf …

17. Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano… Rombo o parallelogramma… Perpendicolare alla perpendicolare …. Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti… Triangoli e Talete… E poi variazionidi queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli… Esempi di costruzioni di rette paralllele ricostruite da Simone Banchelli con un software di DG

18. Nelle diverse costruzioni • Da dove siete partiti? Dalla definizione, da quali proprietà del triangolo? PERCHE’? • Quale procedura avete seguito? PERCHE’? • Che ruolo hanno avuto gli strumenti in queste scelte? E le conoscenze (pratiche e teoriche)? • Cosa abbiamo notato dal confronto tra le diverse costruzioni? Cremona 2011

19. Pantografi Meccanismi che stabiliscono una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate collegandole fisicamente attraverso sistemi articolati e che incorporano le proprietà che caratterizzano la trasformazione geometrica del piano

20. Le quattro domande chiave che hanno strutturato tutte le attività con le macchine (nelle attività con gli insegnanti e con gli studenti) • Come è fatta? • Cosa fa? • Perché lo fa? • Cosa succederebbe se …? ESPLORAZIONI ARGOMENTAZIONI DIMOSTRAZIONI CONDIZIONALITA’ PROBLEM POSING E PROBLEM SOLVING

21. Il pantografo per la simmetria assiale x'=x y'=-y Come è fatto? Cosa fa? Perché? Cosa succederebbe se…? Due vertici di un rombo articolato sono vincolati a muoversi su una guida rettilinea (r) e quindi gli altri due vertici (P e Q) si corrispondono in una simmetria assiale di asse r UMI 2011

22. Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste? Variazioni del pantografo: quadrilateri con due lati congruenti PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale? Che cosa fa? Perché? A C B Associazione delle Macchine Matematiche www.macchinematematiche.org

23. Stiramento Equazioni: x'=-kx y'=y I triangoli FQG e MPN sono simili: QH:PH=QF:PM QH:PH=(QB+BM):PM QB=l PM=d QH:PH=(2l-d):d K=(2l-d)/d

24. Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche Idee di percorsi didattici Indicazioni metodologiche Alcune linee guida e materiali di lavoro Idee di percorsi Autori: R. Garuti e F. Martignone

25. Indicazioni metodologiche • Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso. • Lavoro a piccoli gruppi. • Verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) • Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

26. Quanto tempo? Almeno 3 ore (2+1) per introdurre la prima macchina: esplorazione e successiva discussione con focus sui processi e sugli aspetti culturali coinvolti A seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione Autori: R. Garuti e F. Martignone

27. Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi? Aspetti legati • Alla geometria: analisi delle proprietà delle figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)… • All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure… Autori: R. Garuti e F. Martignone

28. Quali possibili obiettivi? Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui: • vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione • siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana Autori: R. Garuti e F. Martignone

29. Per questo, durante le attività laboratoriali Si vuole dare spazio a: • Attività di esplorazione • Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici • Verbalizzazione (orale e scritta) • Discussioni collettive

30. Cosa è stato fatto2010/2011 • Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito • Apertura al prestito (Cinzia Galli) • Inizio corso di formazione • Progettazione sperimentazioni

31. Griglia per la progettazione

32. I vostri progetti Discussione

33. Possibili percorsi di sperimentazione I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo! Autori: R. Garuti e F. Martignone

34. Percorso 1: simmetria assiale e stiramento • Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso) • Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) • Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

35. Come è fatta la macchina? Produzione di testi descrittivi e argomentativi Discussioni matematiche Cosa fa? Perché lo fa?

36. Indicazioni metodologiche • Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti) • Strumenti: pantografi e fogli bianchi • Richiesta di verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) dell’attività con la macchina • Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi Autori: R. Garuti e F. Martignone

37. Linee guida per le attività degli studenti • Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?) • Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?) • Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?) • Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

38. Cosa succederebbe se… Autori: R. Garuti e F. Martignone

39. L’ultimo pantografo analizzatopantografo di Scheiner Come è fatto? Cosa fa? Perché lo fa?

40. Ricominciamo da qui… Come è fatto? Cosa fa? Perché lo fa?

41. Per dimostrare… Nel piano cartesiano: Per dimostrare l’allineamento di O, Q e P e il rapporto costante tra le distanze dei tracciatori (Q e P) dal punto fisso O, si possono considerare il triangoli simili OQA e OPB oppure i triangoli OQA, QPC e il parallelogramma AQCB…

42. Confronto di dimostrazioni

43. Cosa succederebbe se …? Omotetia di rapporto 1:3 Omotetia di rapporto negativo (simm centr.) • Animazioni costruite con Geogebra o Cabri • Costruzione di nuove macchine con materiali poveri: aste di plastica, bastoncini di legno…

44. Materiali ora presenti sul sito • Presentazione PPT degli incontri • Schede di lavoro per gli insegnanti • Materiali analizzati • Linee guida per percorsi didattici • Griglie per la progettazione di sperimentazioni http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

45. Materiali presto sul sito • Presentazioni PPT e schede di lavoro dei prox incontri • Schema di diario di bordo • Modulo prenotazione macchine • Pdf di articoli e libri in cui sono raccolte esperienze svolte da insegnanti dell’Emilia Romagna http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

46. Da alcune sperimentazioni svolte in classe Progetto MMLab-ER

47. Sperimentazioni In tutte le sperimentazioni svolte dagli insegnanti coinvolti nel progetto MMLab-ER si ritrovano le linee guida del corso di formazione: • La metodologia laboratoriale • L’elaborazione di percorsi e di consegne cruciali • L’attenzione ai processi • Il focus sugli aspetti culturali

48. Come è fatta? Cosa fa? Perché?

49. Nuove consegne…lo Scheiner sbagliato • Perché non funziona?

50. Descrivere il compasso … Costruire con riga e compasso … Scrivere la procedura Giustificare la risposta Provare che…