OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

3. OS CONJUNTOS NUMÉRICOS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS E ...?????

4. NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. Este universo é abordado de duas formas distintas: abordagem ordinal, em que os números indicam posições, e a abordagem cardinal, em que os números designam quantidades. 1 2 3 4

5. NÚMEROS NATURAIS A formalização mais bem sucedida para o conjunto dos números naturais foi proposta pelo matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele relacionou os conceitos ordinais e cardinais estabelecendo o conjunto N, cuja representação matemática é: • N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, ... } • Zero não é sucessor de nenhum número natural. • Todo número natural possiu um único sucessor.

6. NÚMEROS NATURAIS • A adição é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais (parcelas) e produz um único resultado, que chamamos de soma ou total. • O zero é elemento neutro da adição. • São válidas as propriedades: • Comutativas da adição: A + B = B + A • Associativas da adição: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

7. NÚMEROS NATURAIS • A multiplicação é a próxima operação aritmética que devemos compreender no universo natural e se aplica a dois ou mais números naturais, agora chamados fatores, e também produz um único resultado, o qual chamamos de produto. • O produto do número zero com qualquer outro número natural é igual ao número zero. • O número um é elemento neutro da multiplicação.

8. NÚMEROS NATURAIS • Aplica-se ainda a lei da multiplicação distributiva . • À direita: • (m + n ) . p = mp + np • À esquerda: • p . (m + n ) = pm + pn

9. NÚMEROS NATURAIS • São válidas as propriedades: • Comutativas da multiplicação: A . B = B . A • Associativas da multiplicação:( A . B ) . C = A . ( B . C) • No universo dos naturais a potenciação pode ser definida por sucessivas multiplicações de fatores iguais e se aplica a dois números apenas, a base, que indica o valor destes fatores, e o expoente, que indica a quantidade de vezes que devemos multiplicar o número um pela base.

10. NÚMEROS NATURAIS A potenciação não possui propriedade comutativa nem associativa, e além disso as potências de expoentes dois e três costumam ser chamadas de quadrado e cubo, respectivamente, por estarem presentes nas expressões que calculam área e volume de figuras geométricas.

11. NÚMEROS NATURAIS A divisão no universo natural é uma operação aplicada apenas a dois números (dividendo e divisor), e que produz dois resultados chamados de quociente e resto. Sendo N e d dois números naturais, tais que N dividido por d produz um quociente q e um resto r, obedecendo as seguintes condições: N = q.d + r e 0 ≤ r < d

12. NÚMEROS NATURAIS *Fica comprovado aqui que não existe divisão em que o divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe número r que satisfaça a desigualdade 0 ≤ r < d. Então, dados os números N e d ≠ 0, o quociente da divisão de N por d será o maior número natural q, tal que o produto q.d não ultrapasse o valor de N, e o resto dessa divisão é igual a diferença entre o dividendo N e o produto q.d. Por exemplo: 17: 5 = 3. 5 + 2 Note que 3.5 < 17 e o resto é 2 = 17 – 3.5 = 17 - 15

13. NÚMEROS NATURAIS *Numa expressão aritmética as operações devem ser efetuadas necessariamente na seguinte ordem: 1)Potenciações; 2)Multiplicações e divisões; 3)Adições e subtrações.

14. NÚMEROS INTEIROS A subtração, ou a operação inversa da adição, é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais produzindo um único resultado, que chamamos de diferença ou total. O cálculo: 3 – 4, no conjunto dos números naturais, era impossível (4 é chamado o subtraendo e 3 o minuendo), pois neste conjunto numérico para que a subtração tenha sentido é necessário que o minuendo seja maior que o subtraendo. A idéia do número negativo veio da necessidade de expandir o universo dos naturais e, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas...surgem daí o conjunto dos números inteiros.

15. NÚMEROS INTEIROS A abordagem cardinal e ordinal dos números naturais ganha orientação e o número zero se torna origem para contagem de posições feita no sentido definido arbitrariamente como positivo (+) e negativo (-). A representação matemática deste conjunto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} *Na prática aritmética omitimos o sinal dos números positivos e usamos o sinal negativo para indicar o oposto ou simétrico de um número em relação a origem.

16. NÚMEROS INTEIROS • São válidas as seguintes propriedades: • A - B = - B + A • (a ordem das parcelas não altera o resultado) • A – B - C = A - ( B + C ) • A – ( B – C ) = A - B + C • (futuramente será visto como um dos casos de fatoração: fator comum em evidência, no caso acima o número -1)

17. NÚMEROS INTEIROS A multiplicação no universo dos inteiros deve obedecer à seguinte regra de sinais: o produto entre dois números inteiros de mesmo sinal é positivo e o produto entre dois números inteiros de sinais opostos é negativo. ( + ) . ( + ) = ( + ) ( + ) . ( -- ) = ( -- ) ( -- ) . ( + ) = ( -- ) ( -- ) . ( -- ) = ( + )

18. NÚMEROS INTEIROS • *Além disso, os fatores da multiplicação devem ser escritos entre parênteses para que os sinais dos números inteiros não sejam confundidos com os operadores de adição e subtração, só assim indicamos ao certo a base de uma potência negativa. • O produto sucessivo de fatores negativos iguais ou a potenciaçãode um número negativo (cuja base representa um número menor que zero), apresenta a seguinte propriedade: • Base < 0 e expoente par, resulta em um número (+) • Base < 0 e expoente ímpar, resulta em um número (-)

19. NÚMEROS INTEIROS O resto da divisão no universo inteiro não pode ser negativo e o sinal do quociente obedece à mesma regra de sinais da multiplicação. Como o divisor d não pode ser negativo: N = q.d + r e 0 ≤ r < ǀ d ǀ Em que ǀ d ǀ indica o valor absoluto do divisor, ou seja, o número d sem seu sinal ou a distância do mesmo até a origem.

20. NÚMEROS INTEIROS • Por exemplo: • Dividindo-se (+17) por (-5) obtemos quociente (-3) e resto (+2), pois 17 = (-3).(-5) + 2 e 0 ≤ 2 < ǀ -5 ǀ. • Dividindo-se (-17) por (+5) obtemos quociente (-4) e resto (+3), pois (-17) = (-4).(+5) + 3 e 0 ≤ 3 < 5. • Dividindo-se (-17) por (-5) obtemos quociente (+4) e resto (+3), pois (-17) = (+4).(-5) + 3 e 0 ≤ 3 < ǀ -5 ǀ.

21. NÚMEROS INTEIROS Se na divisão de um número inteiro N por um número inteiro d o resto obtido for igual a zero, então dizemos que o número N é divisível pelo número d ou que N é múltiplo de d, e ainda que o número d é divisor do número N. Há duas operações básicas no universo dos números inteiros que não são indicadas por operadores simbólicos como: ( + ), ( -- ), ( . ) ou ( : ), mas sim por siglas que designam seu significado. Essas operações são chamadas mínimo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc), podem ser aplicadas a dois ou mais inteiros a têm propriedade associativa e multiplicativa.

22. mdc O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número inteiro que divide todos esses números. Uma maneira prática de se determinar o mdc é dividindo sucessivamente e simultaneamente os números por números primos até que não seja mais possível a divisão simultânea. Dessa forma, o mdc é dado pelo produto desses números primos. O mdc de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

23. mmc O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros positivos é o menor número inteiro positivo que é divisível por todos esses números. Assim como o mdc é possível calcular o mmc. fazendo divisões sucessivas por números primos e depois multiplicando-se tais números primos. A diferença é que as divisões não param quando não existe mais um divisor primo que seja comum a todos. Observação: Dados dois números primos entre si, o mmc deles é o produto desses números.

24. mmc e mdc Sendo n um número inteiro, considere os conjuntos M(n) e D(n) dos múltiplos e dos divisores positivos do número n, respectivamente. Assim, temos por exemplo: M(6) = {6,12,18,24,30,...} M(8) = {8,16,24,32,40...} D(6) = {1,2,3,6} D(8) = {1,2,4,8} mmc(6,8) = 24 mdc(6,8) = 2

25. mmc e mdc Exemplo: Sejam os números 24 e 36. D(24)={1;2;3;4;6;8;12;24} D(36)={1;2;3;4;6;9;12;18;36} O máximo divisor comum ou mdc entre 24 e 36 é 12. mdc(24,36)=12

26. mmc e mdc M(24)={24;48;72;96;120;144;160;192;216;...} M(36)={36;72;108;144;180;216;...} Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são: {72;144;216;...} O mínimo múltiplo comum ou mmc entre 24 e 36 é o 72. mmc(24,36)=72

27. mmc e mdc Fatorando: 24=2³ . 3 mdc(24,36)=12=3.2² 36=2² . 3² mmc(24,36)=72=3².2³ mdc: Separadamente, note que o máximo divisor comum (mdc) é o produto de todas as bases comuns a ambas as decomposições, com menor expoente. mmc: Separadamente, note que o mínimo múltiplo comum (mmc) é o produto de todas os fatores de ambas decomposições (uma vez cada), e quando há repetição usa-se o de maior expoente.

28. RELAÇÃO ENTRE MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM mdc( a , b ) . mmc( a , b ) = a . b

29. NÚMEROS INTEIROS Assim, definimos o mínimo múltiplo comum entre dois números inteiros a e b diferentes de zero, como sendo o menor elemento da interseção dos conjuntos M(a) e M(b), e o máximo divisor comum desses números como sendo o maior elemento da interseção dos cunjuntos D(a) e D(b). A única exceção a essa regra é para mmc entre zero e um número qualquer, isto é, mmc (0, n) = 0. *O resultado das operações mmc e mdc serão positivos mesmo quando essas operações são aplicadas a números negativos.

30. NÚMEROS RACIONAIS Há muito tempo transmitimos a idéia de quantidades concretas através de palavras como “metade”, “percentual”, “centavos” ou “dízimo”. É inegável que R$ 100,00 ou ¼ ou 30% são legítimas representações de quantidade, embora não compartilhem do mesmo sistema de representação. Frases como: “um terço da população”, “quatro de cada dez pessoas”, “um em um milhão” e outras, se fazem constantes em nosso cotidiano.

31. NÚMEROS RACIONAIS Entretanto... com o tempo surgiram outras questões que no conjunto dos números inteiros não tinham sentido. “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? ” Para resolver problemas desse tipo foram criados os números fracionários e decimais. Estes números juntamente com os números inteiros formam o conjunto dos números racionais. A representação matemática deste conjunto é: Q = Z  { números fracionários e decimais }

32. O que são Números Racionas? Número Racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma decimal (casos em que não há resto). 1/4 = 0,25

33. Noções intuitivas de fração: Nota: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1, isto é, uma FRAÇÃO PRÓPRIA caso contrário ela é dita IMPRÓPRIA, e se o numerador é igual ao denominador essa fração representa o número 1.

34. NÚMERO MISTO As frações impróprias compõem o número misto. Por exemplo:

35. Nota: Outras frações bem conhecidas são as DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é um múltiplo de DEZ, isto é, 10, 100, 1000… (potência de base 10).

36. Comparando números fracionários com mesmo denominador Escreva a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo. Amêndoas : Chocolate: Noz: Conclusão: Em frações com o mesmo denominador, o maior número é aquele que tiver maior numerador.

37. Comparando números fracionários com mesmo numerador A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate? O André pensou, fez um esquema e depois respondeu: Conclusão: Em frações com o mesmo numerador, o maior número é aquele que tiver menor denominador.

38. FRAÇÕES EQUIVALENTES OU PROPORÇÕES Paula deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho, uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede. O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho . Qual deles pintou mais? Zezinho Pedrinho Joãozinho Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.

39. Repare: x 4 : 4 x 2 : 2 ou x 2 : 2 x 4 : 4 Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração (numerador e denominador) pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.

40. Por exemplo: x 3 x 2 x 3 x 2 : 5 : 5

41. Comparando números fracionários com numerador e denominador diferentes é maior ou menor que ? A forma fracionária deixa bastante claro como se deve obter a parte desejada, mas torna difícil a comparação entre os números. Já na forma decimal, a ordem crescente desses números se faz visível em pouco tempo, desde que sejam usadas o mesmo número de casas decimais. Logo: Conclusão: Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados, ou tornar o denominador o mesmo, através do princípio de equivalência das frações, e em seguida comparar.

42. SIMPLIFICAÇÃO Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores até que o mdc do numerador e denominador seja igual a um, chegando-se portanto a fração na forma irredutível. : 12 : 2 : 2 : 3 ou : 3 : 2 : 12 : 2 não se pode simplificar mais, chama-se FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.

43. Adição e subtração em Z e Q

44. (+3)+(+2)=(+5) Sinais operacionais Sinais posicionais (-3)+(-2)=(-5) Da adição de dois números relativos com o mesmo sinal, resulta um número com o mesmo sinal e cujo valor absoluto é a soma dos valores absolutos desses números. ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM O MESMO SINAL

45. ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS CONTRÁRIOS (-3)+(+2)=(-1) Sinais operacionais Sinais posicionais (+3)+(-2)=(+1) Da adição de dois números relativos com sinais contrários, resulta um número com o sinal do que tiver maior valor absoluto. O seu valor absoluto é a diferença dos valores absolutos desses números.

46. SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Será que só existem adições? Então e a subtração (+2) - (+4) ? Fácil! Nesse caso transforma-se a subtração em adição pelo seu simétrico ou oposto. (+2) + (- 4 ) = - 2

47. E agora como vamos adicionar números racionais relativos na forma fracionária ? A definição de adição de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos, a única diferença é que neste conjunto numérico é necessário que o denominador seja o mesmo, ou pelo princípio da equivalência de frações ou pelo cálculo do mmc entre os denominadores:

48. A expressão é o mesmo que: E agora como vamos subtrair números racionais relativos na forma fracionária ? E SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES? A definição de subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais, de forma análoga a anterior. Logo:

49. E se os números racionais relativos estiverem na forma decimal? A definição de adição e subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, o único cuidado é que estas operações devem ser executadas alinhando-se os termos com o mesmo número de casas decimais. Exemplos: 1,875 + 2,5 = 4,375 0,12 + 0,3 = 0.42 34,5 -12,34 = 22.16 0,34 – 0,045 = 295

50. Divisão e Multiplicação em Q