CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES. Plano tangente.

1. CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES. Plano tangente. • Bibliografía de la Clase 13: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27. • Ejercicios para las clase 12 • Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

2. Sea dada una función real de dos variables f(x,y), definida en una abierto D. Sea dado un punto DEFINICIÓN: Plano tangente a la superficie gráfica z= f(x,y) en el punto es (si existe) el plano que contiene a todas LAS RECTAS TANGENTES por el punto a las CURVAS CONTENIDAS EN LA SUPERFICIE, que pasan por Ver figura siguiente

4. TEOREMA. Si f(x,y) es diferenciable en el punto entonces existe plano tangente a la superficie gráfica por y tiene por ecuación donde

5. sigue

7. CLASE 13 PARTE 2: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES. Vector gradiente. • Bibliografía de la Clase 13: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27. • Ejercicios para las clase 12 • Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

8. Sea dada f función REAL de q variables en un abierto D y un punto a en D. DEFINICIÓN: Si f es diferenciable en a se define el vector gradiente de f en el punto a: NOTA: Si f no es diferenciable en a NO SE DEFINE vector gradiente de f en el punto a, aunque existan las derivadas parciales respectivas.

9. DIFERENCIAL Y GRADIENTE: El diferencial de f en el punto a es el producto escalar del gradiente por el vector incremento Delta x. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE: Cuando f es dife- renciable en el punto a, la derivada direccional según la dirección del versor u es el producto escalar del gradiente por u.

10. PROPIEDADES DEL GRADIENTE: (cuando f es diferenciable) • La derivada direccional según u (pendiente de la • gráfica en la dirección u) es nula si y solo si • u es ortogonal al vector gradiente de f. CONSECUENCIA: El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a las curvas de nivel de f(x,y). El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a las superficies de nivel de f(x,y,z)

11. 2. La derivada direccional según u (pendiente de la gráfica en la dirección u) es máxima si u es colineal al vector gradiente de f. Dem.

12. Como consecuencia de la propiedad 1, vimos que EJEMPLO:Encontrar la recta tangente a la hipérbola xy =1 por el punto (1/2, 2).

13. CLASE 13 PARTE 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL. • Bibliografía de la Clase 13: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27. • Ejercicios para las clase 12 • Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

14. TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones reales) Sea definida en un abierto D. Sean dos puntos tales que Si f es diferenciable entonces

15. Dem. sigue

17. TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones vectoriales) Sea definida en un abierto D. Sean dos puntos tales que Si f es diferenciable entonces

18. EN GENERAL PARA FUNCIONES VECTORIALES NO SUCEDE LO MISMO QUE PARA FUNCIONES REALES. PARA FUNCIONES VECTORIALES NO NECESARIAMENTE EXISTE sino: