Modélisation mathématique d’Internet

1. Modélisation mathématique d’Internet Julien Reynier Publications disponibles sur http://www.eleves.ens.fr/home/jreynier/

2. Plan • Partie Pratique • Une brève histoire d’Internet • La congestion dans Internet • Pourquoi modéliser ? • Partie Théorique • Équations fluides • La méthode de champ moyen • Expérimentations

3. Les pionniers d’Internet Tim Berners-Lee Créateur du Web (1990-1992) Vint Cerf Créateur de TCP (1973-1980) Jon Postel Éditeur des RFC (1969-1998)

4. Les briques techniques d’Internet • Commutation de paquets (1960) • Décentralisation complète (1965) • TCP/IP : un protocole qui abstrait la couche matérielle (1973-1980) • Des applications : mail (1972), forums et news (Usenet, 1979), le DNS (1987), WWW (1991), moteurs de recherche (1993)…

5. De l’idée à la réalité • Un mécène : le DoD via ARPA • Un déploiement universitaire massif (à partir de 1980) • TCP/IP laissé dans le domaine public par ARPA (1986) • Premiers ISP et fin progressive de l’AUP (1988-1992)

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7. Causes et solutions historiques • 1975 : des collisions de paquets nombreuses aux concentrateurs (routeurs - switchs) -> Apposition de files d’attentes • 1989 : capacité du réseau dépassée -> TCP implémente le contrôle de congestion décentralisé. • 1993 : Tentative de contrôle au routeur • Aujourd’hui : le problème n’est toujours pas définitivement résolu

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9. La modélisation pour les nuls • Le problème de la congestion est trop difficile pour être résolu en temps raisonnable par l’ingénierie classique. • L’interaction d’un grand nombre d’utilisateurs rend : • les simulations longues et inefficaces • les mesures difficiles à interpréter • Les méthodes doivent « passer à l’échelle » pour résister à l’augmentation de l’usage. Ceci est irréalisable sans les mathématiques.

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11. L’approche classique • Écrire ad nihilo les équations d’évolution du système considéré.

12. Pros et cons • La formule marche bien en particulier pour des études de stabilité, elle modélise bien la réalité • Elle n’a aucune justification, expérimentale ou mathématique • Elle n’est pas adaptable pour étudier des variations dans le protocole

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14. L’approche de la physique statistique sur une version améliorée de la physique quantique • On modélise le comportement individuel des utilisateurs (avec mémoire) • On étudie les lois de leur interaction lorsque leur nombre devient grand • On en déduit la loi d’évolution exacte et prouvée. On connaît toutes les approximations qui ont été faites.

15. L’urne de Polya : le niveau 0 du champ moyen • Une urne contient N boules, 55% de rouges et le reste de bleues • On étudie la proportion de rouge sur le tirage de boules SANS remise. • Quand N devient grand, cette proportion devient à coup sur exactement 55% sur tout tirage donné. Application : Il est inutile de dépouiller tous les votes pour des élections

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17. 200 400 800 La convergence vers les équations du champ moyen 1 .9 .8 .7 .6 .5 .4 Limit : Matlab .3 .2 .1 2 4 6 8 10 12 14 16 0