La cinématique des fluides

1. La cinématique des fluides I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction

2. Deux méthodes : • Soit comme avec les ballons – sonde météorologiques, on suit une particule de fluide dans son déplacement et on étudie sa propre trajectoire.C’est la vision lagrangienne de la mécanique du point

3. Deux méthodes : • Soit comme les stations météo fixes, on étudie les caractéristiques du fluide en un point précis au cours du temps.C’est la vision eulérienne des spectres électromagnétiques

4. I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction La cinématique des fluides 2) Description lagrangienne a) Définition

5. P(t0) z (R) R(t0) P(t) R(t) y O x Description lagrangienne

6. I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne a) Définition La cinématique des fluides b) Trajectoire d’une particule

7. Trajectoire d’une particule La trajectoire d’une particule de fluide P est l’ensemble des positions successives prises par la particule fluide supposée ponctuelle au cours du temps.

8. z P(t1) (R) VP(t1) P(t2) P(t3) VP(t2) VP(t3) y O Positions de P aux instants t1, t2 et t3 x Trajectoire

9. I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne La cinématique des fluides 3) Description eulérienne a) Définition

10. P z M (R) rM y O x Description eulérienne Photo à l’instant t :v(M,t) = VP(t) ;T(M,t) = TP(t) ;(M,t) = P(t) ; A l’instant t, les points M et P coïncident

11. P’ z M (R) P rM y O x Description eulérienne Photo à l’instant t’ :v(M,t’) = VP’(t’)  VP(t’) A l’instant t’, les points M et P’ coïncident et les points M et P ne coïncident plus.

12. I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne a) Définition La cinématique des fluides b) Lignes de courant

13. Ligne de courant Les lignes de courant d’un fluide sont les lignes de champ du champ eulérien des vitesses.

14. z M1 (R) v(M1,t0) M2 v(M3,t0) M3 v(M2,t0) y O x Ligne de courant Photo à l’instant t0

15. I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne La cinématique des fluides 4) Écoulements particuliers a) Ecoulement stationnaire

16. Ecoulement stationnaire Un écoulement est stationnaire si l’ensemble de ses champs eulériens, v(M,t), T(M,t), P(M,t) et (M,t), est indépendant du temps, v(M), T(M), P(M) et (M). Ces champs n’ont aucune raison d’être uniformes.

17. I)Description de l’écoulement d’un fluide 1) Introduction 2) Description lagrangienne 3) Description eulérienne 4) Écoulements particuliers a) Ecoulement stationnaire La cinématique des fluides b) Ecoulement incompressible

18. Ecoulement incompressible On dit qu’un écoulement est incompressible si le volume de toutes les particules de fluide P est conservé au cours du mouvement. Comme leurs masses se conservent aussi, les particules de fluide conservent également leurs masses volumiques au cours du déplacement.

19. La cinématique des fluides II)Dérivée particulaire

20. La cinématique des fluides II)Dérivée particulaire 1) Définitions

21. P z M (R) r = R(t) y O x Dérivée particulaire Photo à l’instant t :g(M,t) = gP(t)G(M,t) = GP(t) A l’instant t, les points M et P coïncident

22. z M (R) M’ r = R(t) P r + dr = R(t + dt) y O x Dérivée particulaire Photo à l’instant t + dt :G(M’,t + dt) = GP(t + dt)g(M’,t + dt) = gP(t + dt)

23. L’observateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines : • Si l’écoulement est stationnaire mais nonuniforme, l’observateur notera une variation de g. En effet, entre les instants t et t + dt, P bouge donc il voit, à la date t, g(M) puis, à la date t + dt, g(M’) g(M’)  g(M). Cette variation est liée au caractère non uniforme du champ eulérien g(M).

24. L’observateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines : • Si l’écoulement n’est pas stationnaire et si la particule P reste en M, il notera une variation de g. En effet, en M, à la date t, P voit g(M,t) puis, à la date t + dt, P voit g(M,t + dt). g(M,t + dt)  g(M,t). Cette variation est liée au caractère non stationnaire du champ eulérien g.

25. Dérivée particulaire La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps. La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.

26. II)Dérivée particulaire 1) Définitions La cinématique des fluides 2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive

27. , la dérivée locale de g qui indique un caractère non stationnaire de g. La dérivée particulaire se décompose en deux termes : • (v.grad)g, la dérivée convective de g qui indique un caractère non uniforme de g ;

29. II)Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive La cinématique des fluides 3) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle intensive

30. , la dérivée locale de G qui indique un caractère non stationnaire de G. La dérivée particulaire se décompose en deux termes : • (v.grad)G, la dérivée convective de G qui indique un caractère non uniforme de G ;

31. II)Dérivée particulaire 1) Définitions 2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive 3) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle intensive La cinématique des fluides 4) Application à la vitesse : l’accélération

32. , l’accélération locale qui indique un caractère non stationnaire de la vitesse v. En M, à la date t : • (v.grad)v, l’accélération convective qui indique un caractère non uniforme de la vitesse v ;

33. Autoroute Radar 2 :130 km.h–1 Voie d’accès Radar 1 :90 km.h–1

34. Conclusion : Définition : La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.

35. Conclusion : Interprétation 1 : La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps.

36. Conclusion : Interprétation 2 : La dérivée particulaire fait le lien entre les grandeurs eulériennes qui servent à décrire l’écoulement du fluide et les théorèmes mécaniques et thermodynamiques qui ont une écriture lagrangienne

37. Conclusion : Expressions :

38. La cinématique des fluides II)Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement

39. y D B x A O Cube mésoscopique à l’instant t

40. La cinématique des fluides II)Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy)

41. Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy) AA’ = v1(A).dt = a..dt.uy OA’ = (ux + a.dt.uy). Le point A quitte l’axe des abscisses.

42. Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy) BB’ = v1(B).dt = – a..dt.ux OB’ = (– a.dt.ux + uy). Le point B quitte l’axe des ordonnées.

43. D’ y D B’ B A’ d x A O Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy) a positif

44. Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)

45. Définition : On dit qu’un écoulement est non tourbillonnaire ou irrotationnel si le vecteur tourbillon est partout nul, autrement dit si le champ des vitesses du fluide est à rotationnel partout nul.

46. rotv  = Définition : Par opposition, dans un écoulement tourbillonnaire, ou rotationnel, il existe au moins un point du fluide où  est non nul :

47. Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)

48. II)Dérivée particulaire 5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement a) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy) La cinématique des fluides b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy

49. Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy AA’ = v2(A).dt = a..dt.ux OA’ = (1 + a.dt)ux. Le point A reste sur l’axe des abscisses.

50. Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy BB’ = v2(B).dt = b..dt.uy OB’ = (1 + b.dt)uy. Le point B reste sur l’axe des ordonnées.