Modèle mathématique (simplifié) d’un vélo

Modèle mathématique (simplifié) d’un vélo Guy Gauthier ing. Ph.D. SYS-823 Été 2011

Paramètres définissant la géométrie du vélo

Paramètres définissant la géométrie du vélo Centre de masse du vélo Prolongement de la fourche Points de contact avec le sol

Référentiels

Bicyclette version simplifiée – cas #1 • L’angle λ = 0. • Fourche avant verticale. • Ce qui implique que c = 0.

Vitesse de rotation duréférentiel xyz • Vitesses • Roue arrière du vélo = V0; • Centre de gravité = V. • Vitesse de rotation du référentiel: V Vo

Vitesse du centre de gravité • A partir des deux équations précédentes: • Composante en y:

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo • Dynamique: • Avec:

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo • De plus: • Ainsi:

Bilan • C’est l’équivalent d’un pendule: • Deux types de forces entrent en jeu: • Force centrifuge, proportionnelle à: • Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:

Linéarisation • Ce qui donne: • En Laplace

Localisation des pôles et zéros • Pôles: • Zéros: Un des pôles est instable !

Valeurs numériques • h = 1.3 m; • a = 0.4 m; • b = 1.2 m; • m = 75 kg; • Jp ≈ mh2.

Bilan • Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo. • La position du zéro dépend de la vitesse. • Pole instable à plus lent si h est grand. • Plus facile de conduire un vélo d’adulte qu’un vélo d’enfant.

Comment rendre le vélo stable ? • La clé, c’est la fourche avant: • Typiquement c = 4 à 8 cm.

Comment rendre le vélo stable ? • Cela introduit une rétroaction: • Ainsi, on obtient:

Comment rendre le vélo stable ? • Pour que ce soit stable, il faut que: • Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo. • Vélo stable si vitesse suffisamment élevée. • Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.

Cas ou la roue commandée est à l’arrière • Schéma de principe: • Regardez la direction du vecteur V !

Préliminaires • Équations: • Dynamique:

Suite du modèle • Avec: • Qui dérivé donne:

Nouvelle dynamique • Qui est: • En linéarisant:

Transformation de Laplace • La voici: • Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! • Gros risque de problème.

Transformation de Laplace • Et avec une fourche avant:

Bilan avec la conduite arrière • Système toujours instable. • La conduite arrière introduit un zéro dans le plan droit. • Ce zéro rend le contrôle très difficile, sinon impossible. • Un très mauvais design.

Modèle mathématique (simplifié) d’un vélo