Teoría de Grafos

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA SEDE : UNI-NORTE INVESTIGACION DE OPERACIONES II Teoría de Grafos Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés I semestre 2009

2. GRAFOS CONTENIDO • Introducción • Definición de grafo • Conceptos importantes • Grafos dirigidos • Grafos no dirigidos • Ejemplos

3. GRAFOS • La Teoría de Grafos nace del análisis sobre una inquietud presentada en la isla Kueiphof en Koenigsberg (Pomerania) ya que el río que la rodea se divide en dos brazos. • Sobre los brazos estaban construidos siete puentes y para los habitantes era motivo de distracción descubrir un itinerario de manera que pudieran regresar al punto de partida, después de haber cruzado por los siete puentes pero pasando sólo una vez por cada uno de ellos. INTRODUCCION

4. GRAFOS Grafo: Definición • Es un conjunto de vértices o nodos y un conjuntos de arcos. Se representa por G = (V, A). G, grafo; V, vértice y A, arco. • Es una estructura no lineal que representa un conjunto de objetos donde no hay restricción a la relación entre ellos. • Es un concepto matemático que se utiliza para representar circuitos eléctricos, redes transporte, de alcantarillado, redes de comunicaciones, mapa de carreteras, etc. • La teoría de los grafos se aplica en el estudio de problemas complejos que surgen en áreas como la informática, investigación operativa, química, ingeniería eléctrica, etc. • Los grafos se clasifican en dirigidos y no dirigidos.

5. GRAFOS Bogotá 1.500 kms Brasilia 800 kms Lima 900 kms Montevideo Santiago 2.000 kms Buenos Aires G = (V, A) V(G) = nodos o vértices (ciudades) A(G) = arcos o aristas (medio de conexión) EJEMPLO

6. Grafos dirigidos. • Un grafo es dirigido si los pares de nodos que forman los arcos son ordenados,es decir, un nodo puede ser apuntado por otros nodos, se representa con u v • El conjunto de vértices V = {C,D,E,F,H} yel conjunto de arcos A = { (C,D), (D,F), (E,H), (H,E), (E,C) } forman el grafo dirigido G = {V, A}.

7. Grafos no dirigidos. • Un grafo no dirigido es el que tiene los arcos formados por pares de nodos no ordenados, un nodo está relacionado con otro nodo, se representa con u v • El conjunto de vértices V = {1,4,5,7,9} y el conjunto de arcos A = { (1,4), (5,1), (7,9), (7,5), (4,9), (4,1), (1,5), (9,7), (5,7), (9,4) } forman el grafo no dirigidoG = {V, A}.

8. GRAFOS CONCEPTOSIMPORTANTES Vértice Longitud de un camino Arista Grafo completo Camino simple Grafo Valorado Grafo conexo Grado de un nodo Bucle Orden

9. Grafos. Conceptos. • Vértice: también es llamado nodo. • Arista: es la conexión de un nodo con otro adyacente. • Camino: secuencia de aristas recorridas para ir desde un nodo origen hasta uno destino. • Un camino simplees un camino desde un nodo a otro en el que ningún nodo se repite (no se pasa dos veces). Si el camino simple tiene como primer y último elemento al mismo nodo se denomina bucle. • Longitud de un camino: es el número de arcos que componen el camino.(es la suma de los valores numéricos asociados a los arcos que lo constituyen) • Bucle: camino que une un nodo consigo mismo. Comienza y termina en el mismo nodo. • Orden: es el número de nodos (vértices) del grafo.

10. Grafos. Conceptos. • Nodos Adyacentes: dos nodos son adyacentes si comparten la misma arista. • Grado de un nodo x: en un grafo no dirigido, es el número de aristas que contiene a x. En un nodo dirigido grado de entrada, es el número de arcos que llegan a x, y grado de salida es el número de arcos que salen de x. • Grafo valorado: cuando los arcos tienen asociados un factor de peso. • Grafo conexo: es un grafo no dirigido tal que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une.

11. Grafos. Conceptos. • Grafo finito: un grafo es finito si su numero de nodos es finito. • Multigrafo: es un grafo con varias aristas entre sus nodos. • Grafo regular: un grafo es regular si todos sus nodos tienen el mismo grado. • Un camino es cerrado si sus nodos extremos coinciden. Un ciclo es un camino cerrado. • Grafo fuertemente conexo: es un grafo dirigido tal que para cualquier par de nodos existe un camino que los une.

12. Grafo completo, disperso y denso. • Según el número de aristas que contiene, un grafo es completo si cuenta con todas las aristas posibles (es decir, todos los nodos están conectados con todos), disperso si tiene relativamente pocas aristas y denso si le faltan pocas para ser completo. • El número de distintos pares de vértices (v(i), v(j)), con v(i) <> v(j), en un grafo con n vértices es n*(n-1)/2. Este es el número máximo de arcos en un grafo no dirigido de n vértices. Un grafo no dirigido que tenga exactamente n*(n-1)/2 arcos se dice que es un grafo completo. En el caso de un grafo dirigido de n vértices el número máximo de arcos es n*(n-1).

13. Ejemplos de grafos Grafo conexo: es un grafo no dirigido tal que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une. Grafo fuertemente conexo: es un grafo dirigido tal que para cualquier par de nodos existe un camino que los une.

14. Ejemplos de grafos Grafo valorado: cuando los arcos tienen asociados un factor de peso. Grafo valorado dirigido: cuando los arcos tienen asociados un factor de peso.

15. GRAFOS f a b e c d EJEMPLO • Los nodos c y e tienen grado 4, el nodo d tiene grado 6 y los demás nodos tiene grado 5 • Existe un lazo o bucle en el nodo d • Es multigrafo ya que existen dos aristas que unen los vértices a y b • Existen varios caminos que unen el nodo a y el nodo d Ej. a-b-c-d-a, a-e-d , a-d o a-c-d • El camino a-c-d-a es un camino cerrado • El camino a-c-d-a es un camino simple, mientras que a-c-b-d-c no lo es. • El camino a-c-d-a es un camino cíclico • No es un Grafo conexo ya que todos los nodos no tienen un camino a otro nodo • No es un Grafo completo ya que todos los nodos no se conectan con los demás • El nodo f es un nodo aislado