Teoria dos Grafos – Aula 2

1. Teoria dos Grafos – Aula 2 Profª.: Loana T. Nogueira

2. Matriz de Incidência (v x e)

3. Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes

4. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes

5. Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e2 v1 v2 v1 v2 v3 v4 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6

6. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 1 1 0 0 1 0 1

7. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0

8. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

9. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Incidência (v x e) • MG=[mij] • mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0

10. Matriz de Adjacência (v x v)

11. Matriz de Adjacência (v x v) • AG=[aij] • aij é o número de arestas ligando vi e vj

12. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Adjacência (v x v) • AG=[aij] • aij é o número de arestas ligando vi e vj v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4

13. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Adjacência (v x v) • AG=[aij] • aij é o número de arestas ligando vi e vj v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 0 2 1 1

14. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Adjacência (v x v) • AG=[aij] • aij é o número de arestas ligando vi e vj v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 0 2 1 1 2 0 1 0

15. e1 e2 v1 v2 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6 Matriz de Adjacência (v x v) • AG=[aij] • aij é o número de arestas ligando vi e vj v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 0 2 1 1 2 0 1 0 1 1 0 1

16. Matriz de Adjacência (v x v) • AG=[aij] • aij é o número de arestas ligando vi e vj e1 v1 v2 v3 v4 e2 v1 v2 v1 v2 v3 v4 0 2 1 1 e5 e7 2 0 1 0 e3 1 1 0 1 v4 v3 e4 1 0 1 1 e6

17. Subgrafos

18. Subgrafos • Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G)

19. Subgrafos • Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G) • Quando H  G e H  G, denotamos H  G e dizemos que H é subgrafo próprio de G

20. Subgrafos • Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G) • Quando H  G e H  G, denotamos H  G e dizemos que H é subgrafo próprio de G • Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H

21. Subgrafos • Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G) • Quando H  G e H  G, denotamos H  G e dizemos que H é subgrafo próprio de G • Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H • Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H com V(H) = V(G)

22. Subgrafo Induzido

23. Subgrafo Induzido • Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V’.

24. Subgrafo Induzido • Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V’. • G[V’]: é um subgrafo induzido de G.

25. G[v\v´], denotado por G-V’ • É o subgrafo obtido a partir de G pela remoção dos vértices em V´ e suas arestas incidentes • Se V´={v}, escrevemos G-v ao invés de G-{v}

26. Subgrafo induzido (por aresta) • Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

27. Subgrafo induzido (por aresta) • Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

28. Subgrafo induzido (por aresta) • G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´

29. Subgrafo induzido (por aresta) • G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´ • G+E´: grafo obtido a partir de G adicionando um conjunto de arestas E

30. Exemplo u e a f y v g d b h x w c

31. Exemplo Um subgrafo gerador de G u e a f y v g d b h x w c

32. Exemplo Um subgrafo gerador de G u u e a e f y y v v g g d b d b h x w x w c c

33. Exemplo G – {u,w} u e a f y v g d b h x w c

34. Exemplo G – {u,w} u e a f f y y v v g g d b d b h h x w x w c c

35. Exemplo G – {u,w} u e a f f y y v v g g d b d h h x w x c

36. Exemplo G-{a, b, f} u e a f y v g d h x w c

37. Exemplo G-{a, b, f} u e f y v g d h x w c

38. Exemplo G-{a, b, f} u e f y v g d h x w c

39. Exemplo G-{a, b, f} u e y v g d h x w c

40. Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u e a f y v g d b h x w c

41. Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u u e a f y v v g d b h x w x c

42. Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u u e a f y v v g d b h x w x c

43. Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u e a f y v g d b h x w c

44. Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u u e a e a f y y v v g g d b d h x w x c

45. Subgrafos Disjuntos • Sejam G1, G2 G

46. Subgrafos Disjuntos • Sejam G1, G2 G G1e G2 são disjutos se V(G1)V(G2) = 

47. Subgrafos Disjuntos em aresta

48. Subgrafos Disjuntos em aresta • Sejam G1, G2 G

49. Subgrafos Disjuntos em aresta • Sejam G1, G2 G G1e G2 são disjutos em aresta se E(G1)E(G2) = 

50. União de Grafos