Matematisk spådom: en inledning till spelteori

1. Matematisk spådom: en inledning till spelteori Kathryn Hess Département de mathématiques Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

2. Syftet med spelteori • Att analysera och förutspå deltagarnas beteende i alla slags konflikter

3. Tillämpningar • Ekonomi • Statsvetenskap • Antropologi • Etologi • Biologi

4. Ett spel består av... • åtminstone två spelare; • en lista över varje spelares tillåtna drag; • fastställande av en spelrundas utgång, som beror på spelarnas dragval; • utbetalning till varje spelare av en belöning, som beror på spelrundans utgång.

5. En oumbärlig förutsättning • Alla spelare anses vara fullständigt förståndiga: • de analyserar läget helt logiskt, sökande efter bästa sättet att göra maximal sin belöning.

6. Spelteoretikerns mål • Att fastställa vilka utgånger är mest sannolika.

7. Dagens exempel • Ickekooperativa spel med precis två spelare: Rakel och Konrad. • Rakel har m tillåtna drag. • Konrad har n tillåtna drag.

8. Matriser • är en matris med m rader och n kolonner. Vi skriver även

9. Belöningsmatriserna • Matriser med m rader och n kolonner • och där

10. Kommentar • Det kan hända att (eller ) är negativ för vissa i och j. • Detta betyder bara att Rakel (eller Konrad) förlorar enheter (kronor eller marknadsdelar eller poäng, osv) när hon väljer sitt i:te drag och Konrad väljer sitt j:te drag.

11. Fångarnas Dilemma: Inledning I • Konrad och Rakel är två förbrytare som tillsammans har förövt ett avskyvärt brott. • Nu har de arresterats av polisen och sitter i var sitt fängelsehål.

12. Fångarnas Dilemma: Inledning II • Där får de veta att om den ena erkänner allt, och den andra förnekar, då ska den första friges omedelbart, medan den andra får sitta nio år i fängelset.

13. Fångarnas Dilemma: Inledning III • Om båda två erkänner, ska bådadera sitta sex år i fängelset. • Om ingen av dem erkänner, kommer polisen endast att kunna bevisa att de begick ett mindre brott. Då ska båda avtjäna bara ett års straff.

14. Fångarnas Dilemma:Rakels Belöningsmatris • Konrads Drag • Förneka Erkänna • Förneka • Rakels • Drag • Erkänna

15. Fångarnas Dilemma:Konrads Belöningsmatris • Konrads Drag • Förneka Erkänna • Förneka • Rakels • Drag • Erkänna

16. Opera eller bio?: Inledning • Rakel och Konrad är sambor. • Liksom varje lördag, måste de förhandla om vad de kommer att ägna kvällen åt.

17. Opera eller bio?:Spelarnas önskemål • Idag vill Rakel gå på bio för att se Bridget Jones Dagbok för tredje gången. • Konrad skulle hellre gå på Operan för att se den nya uppsättningen av Rigoletto.

18. Opera eller bio?:RakelsBelöningsmatris • Konrads Drag • Opera Bio • Opera • Rakels • Drag • Bio

19. Opera eller bio?:KonradsBelöningsmatris • Konrads Drag • Opera Bio • Opera • Rakels • Drag • Bio

20. Presidentvalet: Inledning • Både Konrad och Rakel vill bli USA:s president. Men... • …för ett antal år sen begick Konrad ett hemskt brott. • Rakel har hört talas om det och kan även bevisa att Konrad är en vulgär brottsling. Och det vet Konrad.

21. Presidentvalet: Kampanjstrategi I • Ska Rakel: • starkt betona Konrads brottsliga förflutna • eller • inte säga ett knyst om det?

22. Presidentvalet: Kampanjstrategi II • Ska Konrad: • erkänna gråtande och skenbart ångerfull i en TV intervju med Oprah • eller • vägra säga ett enda ord om affären • eller • förneka bestämt att historien är sann?

23. Presidentvalet: Politisk analys • Konrads och Rakels politiska rådgivare har beräknat att följande belöningsamatris representerar nettobelopp röster som Konrad skulle vinna, beroende på bådas dragval.

24. Presidentvalet: Belöningsmatriser • Konrads Drag • Erkänna "No comment" Förneka • Betona • Rakels • Drag • Tyst • Detta är Konrads belöningmatris, men det är klart att det räcker att växla + med - för att få Rakels belöningsmatris.

25. Televisionchefernas Batalj: Inledning • Konrad och Rakel är cheferna på konkurrerande TV-kanaler. • De måste bestämma vilka program ska sändas nästa måndag kl. 20.

26. Televisionchefernas Batalj: Strategi I • Ska Rakel välja att sända • Emil i Lönneberga • eller • en två timmars hyllning till Abba • eller • Sex in the City: the movie?

27. Televisionchefernas Batalj: Strategi II • Ska Konrad sända • Vita lögner • eller • en footbollsmatch: AIK mot Djurgården • eller • Expedition Robinson?

28. Televisionchefernas Batalj: Marknadsanalys • Rakels och Konrads assistenter har arbetat hårt för att förespå tittarsiffrorna beroende på vilka program sänds. • De har kommit fram till följande matris, där koefficienterna står för Rakels kanals tittarsiffror minus Konrads kanals tittarsiffror.

29. Televisionchefernas Batalj:Belöningsmatriser • Konrads Drag • Rakels • Drag

30. Analysera ett spel • För att det ska vara sannolikt att Rakel och Konrad väljer drag ri och kj, måste båda tycka att sin belöning inte kan förbättras genom att välja ett annat drag, om den andra spelare inte förändrar sitt dragval. • Sannolikhet kräver stabilitet.

31. Nashjämvikt • Ett par dragval (ri,kj) är en Nashjämvikt om • för alla s, och • för alla t.

32. Nashjämvikter i våra exempel • Fångarnas dilemma • Opera eller bio? • Presidentvalet • Televisionchefernas batalj

33. Sammanfattning och slutsatser • Matriser kan användas för att beskriva tydligt icke-kooperativa spel med två spelare. • Ett sätt att hitta sannolika utgånger är att räkna ut Nashjämvikter. • Ett spel kan ha en eller flera Nashjämvikter, eller inga Nashjämvikter alls. • Vi behöver alltså andra begrepp för att föra analyset vidare och djupare.

34. Hej då! Lycka till!

35. Televisionchefernas Batalj Paret (Sex in the City, Expedition Robinson) är alltså den enda Nashjämvikten i detta spel.

36. Presidentvalet Alltså finns det inga Nashjämvikteri detta spel. Dess analys kräver andra begrepp.

37. Fångarnas dilemma Den enda Nashjämvikten är paret (Erkänna, Erkänna)!!

38. Opera eller bio? Det finns alltså två Nashjämvikter: paren (Opera, Opera) och (Bio, Bio)