MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-et-unième cours ACT2025 - Cours 21

Rappel: • Table d’amortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas ACT2025 - Cours 21

Rappel: • Table d’amortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas • Fonds d’amortissement ACT2025 - Cours 21

Rappel: • Table d’amortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas • Fonds d’amortissement • Montant net du prêt ACT2025 - Cours 21

Rappel: • Table d’amortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas • Fonds d’amortissement • Montant net du prêt • Montant net d’intérêt payé ACT2025 - Cours 21

Rappel: Pour un prêt remboursé par n paiements égaux pour lequel les périodes de capitalisation de l’intérêt et de paiement ne coïncident pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options s’offrent à nous, soit de convertir le taux d’intérêt à un dont la période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer la théorie. ACT2025 - Cours 21

Rappel: Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Supposons qu’il y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est alors ACT2025 - Cours 21

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Rappel: Pour un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons qu’il y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors ACT2025 - Cours 21

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Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliers l’intérêt dû et remboursera complètement le principal L à l’échéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt à l’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des versements de façon telle qu’il accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds d’accumulation (« sinking fund »). Rappel: ACT2025 - Cours 21

Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds. Rappel: ACT2025 - Cours 21

Le montant net d’intérêt payé pendant une période est le montant d’intérêt, auquel nous soustrayons l’intérêt gagné par le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Rappel: ACT2025 - Cours 21

Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt est le taux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la fin de chaque période de capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Ces dépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de capitalisation. La période de capitalisation de l’intérêt du fonds est la même que celle du prêt. Nous obtenons le tableau suivant. Rappel: ACT2025 - Cours 21

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Nous aimerions déterminer le montant total versé (intérêt et dépôt dans le fonds d’amortissement) par l’emprunteur à partir du montant emprunté. ACT2025 - Cours 21

Notons par la valeur actuelle d’une annuité consistant en des paiements de 1$ à la fin de chaque période pour n périodes telle que est le montant d’intérêt payé sur le prêt et est le montant versé dans un fonds à chaque période. ACT2025 - Cours 21

Nous obtenons alors l’équation suivante: Conséquemment ACT2025 - Cours 21

Exemple 1: Reprenons l’exemple 5 du 20e cours. Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i= 5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 3750$ d’intérêt par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Des dépôts de 8434.23 dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ainsi à chaque année, l’emprunteur versera 12184.23$ correspondant à l’intérêt sur le prêt et au dépôt dans le fonds. ACT2025 - Cours 21

Exemple 1: (suite) Si nous utilisons maintenant ce que nous venons de développer et que nous notons par R’: le montant total à verser par l’emprunteur à chaque année pour l’intérêt dû et le dépôt dans le fonds d’amortissement, alors nous avons l’équation de valeur Nous obtenons alors ACT2025 - Cours 21

Nous obtenons alors Donc R’ = 12 184.23$. ACT2025 - Cours 21

Dans le cas où le taux d’intérêt d’un prêt i est égale au taux d’intérêt du fonds d’amortissement j, alors la table d’amortissement d’un prêt au taux d’intérêt i et dont les paiements sont égaux est la même que celle du fonds d’amortissement pour un prêt au taux d’intérêt i et d’un fonds d’amortissement rémunéré au taux i et dont les paiements d’intérêt et les dépôts dans le fonds d’amortissement sont égaux. Nous avons les égalités suivantes: ACT2025 - Cours 21

Le montant net d’intérêt payé à la fin de la ke période dans le cas du fonds d’amortissement est égal à la portion d’intérêt payé dans le ke paiement dans la table d’amortissement du prêt. ACT2025 - Cours 21

Le montant net du prêt après le ke dépôt dans le cas du fonds d’amortissement est égal au solde restant après le ke paiement dans la table d’amortissement. ACT2025 - Cours 21

Si i = j, nous avons aussi que et le total versé (intérêt dû et dépôt dans le fonds d’amortissement) dans le cas du fonds d’amortissement est égal au paiement dans le cas de la table d’amortissement. ACT2025 - Cours 21

Nous pouvons maintenant expliquer la formule À droite, il s’agit du total versé (intérêt dû et dépôt dans le fonds d’amortissement) dans le cas du fonds d’amortissement et, à gauche, du paiement dans le cas de la table d’amortissement. ACT2025 - Cours 21

Nous allons maintenant illustrer cette équivalence entre la table d’amortissement d’un prêt et celle d’un fonds d’amortissement lorsque i = j. ACT2025 - Cours 21

Exemple 2: Considérons un prêt de 10 000$ remboursé par 4 versement égaux à la fin de chaque année, le premier versement étant fait un an après le prêt. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i= 6% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 2885.91$ par année. La table d’amortissement est ACT2025 - Cours 21

Exemple 2: (suite) ACT2025 - Cours 21

Exemple 2: (suite) Considérons maintenant un prêt de 10 000$ remboursé par un versement de 10000$ à la fin de la quatrième année. À la fin de chaque année, l’intérêt dû est payé au taux d’intérêt de i= 6% par année, à savoir 600$ sont payés. Au même moment, des dépôts de 2285.91$ sont faits dans un fonds d’amortissement. Ce dernier est rémunéré au taux effectif d’intérêt i= 6% par année. Ainsi l’emprunteur paiera au total 2885.91$ par année. La table de ce fonds est ACT2025 - Cours 21

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Exemple 3: Un prêt de 5 000 000$ est remboursé par un versement de 5 000 000$ après dix ans et des versements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque année pendant 10 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i= 4% par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 5 000 000$ à la fin de la dixième année. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Les dépôts seront faits à la fin de chaque année pendant 10 ans, le premier est de R dollars et les paiements subséquents augmenteront de 5% avec chaque année. ACT2025 - Cours 21

Exemple 3: (suite) Ainsi l’emprunteur paiera 5 000 000 (0.04) = 200 000$ d’intérêt par année. Déterminons le montant net du prêt après le 6e année, ainsi que le montant net d’intérêt payé à la fin de la 8e année. ACT2025 - Cours 21

Exemple 3: (suite) Déterminons premièrementR. Les dépôts dans le fonds forment une suite géométrique et nous avons alors et nous obtenons alors que R = 350 903.98$ ACT2025 - Cours 21

Exemple 3: (suite) Le montant net du prêt est le montant emprunté, i.e. 5 000 000$, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds d’amortissement. Donc le montant net du prêt à la fin de la 6e année est ACT2025 - Cours 21

Exemple 3: (suite) Le montant net d’intérêt payé est le montant d’intérêt , i.e. 200 000$, auquel nous soustrayons le montant d’intérêt gagné par le fonds d’amortissement pendant la période. Donc le montant net d’intérêt payé à la fin de la 8e année est ACT2025 - Cours 21

CHAPITRE VIIObligations ACT2025 - Cours 21

Une obligation est un titre rapportant de l’intérêt et dans lequel l’emprunteur, appelé l’émetteur, s’engage à verser un montant déterminé à une date future aux prêteurs, appelés les souscripteurs. Les obligations d’épargne sont des obligations de capitalisation ou d’accumulation. L’emprunteur rembourse le principal et les intérêts à l’échéance ou parfois au moment où le souscripteur veut être remboursé. ACT2025 - Cours 21

Nous allons maintenant décrire ce qu’est une obligation négociable. L’émetteur s’engage à verser de l’intérêt à intervalles réguliers et à rembourser un montant déterminé à une date future aux souscripteurs. Celles-ci sont émises dans un marché primaire et ensuite sont transigées sur un marché secondaire. Un investisseur peut acheter ou vendre des obligations via son courtier sur le marché secondaire. ACT2025 - Cours 21

Ces obligation sont souvent dites obligations avec coupon. L’émetteur s’engage à verser aux souscripteurs l’intérêt à intervalles réguliers (ce sont les coupons) et la valeur de remboursement de l’obligation à une date d’échéance déterminée. ACT2025 - Cours 21

Nous voulons maintenant relier le prix de l’obligation à son taux de rendement. Il nous faut donc fixer quelques notations. ACT2025 - Cours 21

Notation: • P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie le souscripteur ACT2025 - Cours 21

Notation: • P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie le souscripteur • F désignera la valeur nominale de l’obligation (« face amount » ou « par value » en anglais). Il s’agit de la valeur inscrite sur l’obligation et qui sert à déterminer le montant d’intérêt à verser régulièrement. ACT2025 - Cours 21

Notation: • P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie le souscripteur • F désignera la valeur nominale de l’obligation (« face amount » ou « par value » en anglais). Il s’agit de la valeur inscrite sur l’obligation et qui sert à déterminer le montant d’intérêt à verser régulièrement. • C désignera la valeur de remboursement, i.e. le montant remboursé à l’échéance. En général, C = F et nous disons que l’obligation est remboursé au pair. Il peut arriver que C ≠ F. ACT2025 - Cours 21

Notation: (suite) • r est le taux d’intérêt par période de capitalisation de l’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). C’est le taux facial. Il est indiqué sur l’obligation et sert à déterminer le montant d’intérêt que l’émetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Ce peut être un taux nominal. En Amérique du Nord, ce taux est souvent un taux nominal capitalisé semestriellement, alors qu’en Europe il s’agit plutôt d’un taux effectif. ACT2025 - Cours 21

Notation: (suite) • r est le taux d’intérêt par période de capitalisation de l’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). C’est le taux facial. Il est indiqué sur l’obligation et sert à déterminer le montant d’intérêt que l’émetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Ce peut être un taux nominal. En Amérique du Nord, ce taux est souvent un taux nominal capitalisé semestriellement, alors qu’en Europe il s’agit plutôt d’un taux effectif. • Fr est le montant d’intérêt versé périodiquement. Ce montant est appelé le coupon. ACT2025 - Cours 21

Notation: (suite) • g est le taux modifié d’intérêt par période de capitalisation de l’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par l’équation Cg = Fr. Si l’obligation est remboursé au pair, alors g = r. ACT2025 - Cours 21

Notation: (suite) • g est le taux modifié d’intérêt par période de capitalisation de l’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par l’équation Cg = Fr. Si l’obligation est remboursé au pair, alors g = r. • i désignera le taux de rendement de l’obligation par période de paiement des coupons en supposant que l’obligation est détenue jusqu’à sa date de maturité ou de rédemption et que les versements de l’intérêt (i.e. les coupons) sont réinvestis aussi au taux i. En général, ce taux est exprimé comme un taux nominal pour lequel la période de capitalisation est celle des coupons. ACT2025 - Cours 21

Notation: (suite) • n est le durée de vie de l’obligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusqu’à la date de maturité ou de rédemption de l’obligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables (« callable bonds ») . Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par l’émetteur de l’obligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. ACT2025 - Cours 21

Notation: (suite) • n est le durée de vie de l’obligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusqu’à la date de maturité ou de rédemption de l’obligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables (« callable bonds ») . Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par l’émetteur de l’obligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. • K désignera la valeur actuelle de la valeur de remboursementC de l’obligation à la date de maturité ou de rédemption calculée au taux de rendement i, c’est-à-dire K = Cn où = (1 + i)-1. ACT2025 - Cours 21

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