Monte-Carlo simulacija radioaktivnog raspada jezgri

1. NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE Monte-Carlo simulacija radioaktivnog raspada jezgri Jelena Luetić 10.06.2008.

2. Ukratko • radioaktivni raspad • radioaktivni raspad bizmuta i polonija • analitičko rješenje • općenito o MC metodi • postupak numeričkog rješavanja • struktura programa i dijelovi koda • zaključak

3. Radioaktivni raspad Radioaktivni raspad je proces u kojem nestabilne atomske jezgre gube energiju u obliku čestica ili EM – zračenja. Raspad nestabilne jezgre je nasumičan i nemoguće je predvidjeti kada će se pojedini atom raspasti. Broj raspada u jedinici vremena je proporcionalan početnom broju čestica N. Vjerojatnost raspada dana je sa:

4. Radioaktivni raspad • rješavanjem prethodne jednadžbe dobije se: • N0 je broj jezgara u trenutku t=0 •  je konstanta raspada, tj. recipročna vrijednost srednjeg vremena života čestice • aproksimativno rješenje • eksponencijalna funkcija kontinuirana • nasumičan proces

5. Problem • Promatramo radioaktivni raspad jezgara bizmuta i polonija

6. Problem Moramo riješiti 2 vezane diferencijalne jednadžbe: • bizmut • polonij • Srednje vrijeme života bizmuta je 7 dana, a polonija 200 dana

7. Slika 1. Radioaktivni raspad210Bi za NBi(0)=100 Analitičko rješenje • Prva jednadžba ne ovisi o drugoj, a rješenje je:

8. Analitičko rješenje • Uvrstimo to rješenje u izraza za raspad polonija: • Rješenje ove diferencijalne jednadžbe je: Slika 2. Radioaktivni raspad 210Po

9. Analitičko rješenje • Zajednički prikaz rezultata: Slika 3. Zajednički prikaz radioaktivnog raspada 210Bi i 210Po

10. Monte-Carlo metoda • široka primjena • kemija • fizika • biologija • medicina • ekonomija • statistička simulacija – bilo koja metoda koja koristi nizove nasumičnih brojeva • fizikalni procesi simulirani direktno, nema potrebe za rješavanjem diferencijalnih jednadžbi

11. Monte-Carlo metoda • trebamo znati funkciju gustoće vjerojatnosti • generator nasumičnih brojeva • provodi se mnogo simulacija, a konačan rezultat je prosjek po broju simulacija • radioaktivni raspad je klasičan primjer primjene Monte-Carlo metode

12. Problem Pretpostavimo da na početku imamo N(0) jezgara 210Bi koje se mogu radioaktivno raspadati u 210Po. Nakon vremena t imamo N(t) neraspadnutih čestica 210Bi. Vjerojatnost raspada u jedinici vremena dana je s Bi. Međutim raspadnute čestice 210Po mogu se dalje raspadati u 206Pb s vjerojatnošću Po u jedinici vremena.

13. Rješenje Ideja: • uzmemo svaku česticu pojedinačno • za svaki trenutak provjerimo je li se raspala • ponovimo postupak n puta • za konačno rješenje uzimamo prosjek po broju ponavljanja eksperimenta u svakom vremenskom trenutku

14. Grafički prikaz koda

15. Kod // za svaki vremenski korak provjerava svaku cesticu for( np = 1; np <= particle_limit; np++) { //generira se nasumicna vrijednost i provjerava je li manja od vjerojatnosti raspada if( ran0(&idum) <= bi_vjeroj) { bi_unstable=bi_unstable-1; po_unstable=po_unstable+1;}} //za raspadnute cestice postupak se ponavlja broj_po=po_unstable; for(np = 1; np <= broj_po; np++){ if(ran0(&idum)<=po_vjeroj&&po_unstable>=1){ po_unstable=po_unstable-1; } }// kraj petlji po cesticama

16. Rezultati Slika 4. Prikaz rezultata za NBi(0)=1000 i 300 MC ciklusa

17. Slika 6. 10 čestica, 100 koraka Slika 5. 10 čestica, 10 koraka Slika 7. 10 čestica, 5000 koraka Ovisnost o broju MC koraka

18. Slika 8. 10 čestica, 100 koraka Slika 9. 100 čestica, 100 koraka Slika 10. 1000 čestica, 100 koraka Ovisnost o broju čestica

19. Maksimum • još jedna provjera valjanosti rješenja • tražimo u kojem trenutku broj čestica 210Po dosegne svoj maksimum • analitičko rješenje: tmax = 24.318 dana • MC simulacija je, ovisno o parametrima, davala rezultat između 23 i 25 dana

20. Zaključak • provođenje eksperimenta • radi za veliki broj čestica • veliki broj Monte-Carlo ciklusa • ne trebamo rješavati diferencijalne jednadžbe

21. Literatura • W.H.Press: Numerical Recepies, chapter 8. • http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactivity • http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method