Abstraction des trajectoires d'un système continu en un automate temporisé

1. Abstraction des trajectoires d'un système continu en un automate temporisé Application au diagnostic d'un procédé de digestion anaérobie A. Hélias S3: Surveillance, supervision, diagnostic des systèmes à événements discrets (25 mai 2004)

2. Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

3. LBE-INRA Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement Equipe Automatique,INRA Narbonne Jean-Philippe Steyer Contexte (1) UPR GREEN Gestion des REssources renouvelables et de l’ENvironnement Gestion des Déchets Organiques,Cirad-Tera Réunion François Guerrin Projet Telemac (www.ercim.org/telemac) Projet Comore contrôle et modélisation de ressources renouvelables Olivier Bernard

4. Contexte (2)

5. Partie continue  modèle discret • Formalisme : l’automate temporisé • Procédure d’abstraction Une modélisation continue/discrète dynamique modulaire générique Les systèmes dynamiques hybrides • Domaine développé depuis  1990 • De nombreux formalismes • Fortes connexions entre les différentes approches Permet la simulation mais limité au niveau de l’analyse

6. Particularités Formalisme discret à temps continu Modèles continus imprécis Utilisation d’intervalles Seuils par connaissance experte Etats qualitatifs du système Procédure « à la demande » Selon la propriété à vérifier

7. Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

8. garde reinit {X} s0 s1 inv (X) inv (X) reinit {X} garde L’automate temporisé (Alur et Dill, 1994) a b Les horloges : Synchronisation Discontinuités par réinitialisation Associations de contraintes Modularité : composition d’automates

9. a ; x  4h ; y := 0 s0 s1 y  2h b ; y  1h Exemple Gestion des horaires sur un lieu de travail : s0 : Présence sur le lieu de travail s1 : Pause de la mi-journée Au moins 4 heures de présence avant la pause Entre 1 et 2 heures de pause

10. s1,s4 c ; y2 1 b ; y1 1 s1,s3 s2,s4 a ; x1 4 ; x2 4 ; y1 2 y1:= 0 ; y2:= 0 y2 2 b ; y1 1 c ; y2 1 s3,s2 Réalisé automatiquement Produit d’automates Deux personnes partent au même moment mais retournent sur le lieu de travail séparément a ; x1 4 ; y1:= 0 a ; x2 4 ; y2:= 0 s1 s2 s3 s4 y1 2 y2 2 c ; y2 1 b ; y1 1

11. Vérification par model-checking Propriété vérifiée Contre- exemple Quand Model-checking (TCTL) Système réel Comportements du système à vérifier Modèle du système Spécifications de fonctionnement • Atteignabilité : depuis l’état de départ, le système peut-il atteindre un état vérifiant une propriété p1 ? • Réponsebornée : atteignabilitédans un temps contraint? • KRONOS (http://www-verimag.imag.fr/TEMPORISE/kronos/)

12. -- Trace #1 -- < 0, X=Y>--- A_B --->< 1, 1<=X and X<=2 and X=Y>--- B_C --->< 2, 1<=X and Y<=3 and X=Y>-- Trace #2 -- < 0, X=Y>--- --->< 2, Y<=3 and X=Y> Moments d’atteignabilité Kronos [-allpath -FULLDFS]... Existence d’une horloge non réinitialisée dans l’automate Résolution par programmation linéaire (min et max) min f(x), max f(x) A.x  b

13. Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

14. Système continu Imprécisions sur les entrées et l’état initial  et   définis de telle sorte que chaque enveloppe de chaque intervalle d’entrée soit affectée selon son influence sur la valeur des dérivées

15. xi t Double système Propriété Coopérativité (Smith 1995) Alternative : maillage

16. Etat discret : franchissement de seuil orienté Partition de l’espace d’état Seuils sur les variables d’états Division de l’espace en cellules l1,3 l1,3 l1,2 l1,2 l3,3 l3,3 l3,2 l3,2 x2 x2 x2 li,1 l2,2 l2,3 li,1 l2,2 l2,3 x3 x3 x3 x1 x1 x1

17. ³ t x min £ t x max s1 s2 "wD" "vD" Franchissement d’un seuil - Sens de franchissement selon le signe des dérivées Xi Xi + - x x i i v v - + x x i i t t tmin tmax tmin tmax - Date au plus tôt, garde de l’arc - Date au plus tard, invariant du sommet précédent

18. "vD" x  x  x  x  "0" Xi + - x x i i + + - - - + tw tw tv tv tv tv v w t + - t tv tv 0 Xi "vD" x  + - x x i i v "wD" x  w "0" t + + - - t tw tv tw tv 0 Cas Particuliers Premier franchissement de seuil Deux seuils successifs

19. x  Xi "vD" x  + x i v "0" "w" w - x + + - tw tw tv i x  t t + - tv tw 0 Xi + x i "vD" v - x i "0" t t + tv 0 Cas Particuliers Non franchissement d’un seuil Chaque enveloppe franchit un seuil différent

20. "v2D" "vD" Xi Xi + + - - x x x x i i i i x  x  x  x = x  v "0" "0" v x  x  x  x  x = "v1D" "v" + + - + + - + - - + - + t0 t0 t0 t t t t t t t t t t t t t t 0 0 v v v v v v v v v v v v t t 1 1 2 1 3 2 1 3 2 Cas Particuliers Plusieurs franchissements d’un même seuil Espace d’état initial supérieur non compris dans une cellule

21. Evolution du système dans deux dimensions + + x x i i - x i + x - i x - v v v x i i X2 X2 X2 w w w X1 X1 X1 "0" "0" "0,0" + + - x  x  x  t t t - - x  x  t t v w v - x  t v w w   "vD,0" "0,wD" + + x  x  t t v w - - x  x  t t w v "vD" "wD" "vD,wD" + + x  x  t t w v

22. Continu  Discret Pour chaque dimension seuils franchissables à t0 Pour chaque borne simulation seuils franchissables  Sommets sens  Propositions instants t min  Arcs et gardes t max Invariants Produit des automates : A1 A2 …  An Automate temporisé de la dynamique continue imprécise

23. volume (m3) volume (m3) s1 s1 "0" x162 100 "0" x 206 90 x 141 x  132 75 s2 s2 "300" "75" x  243 x  154 s3 "90" x  267 x  169 N total (kg) N total (kg) 132 141 s4 154 162 169 "100" 206 300 243 267 temps (jours) temps (jours) Exemple: stock de lisier

24. "0,0 " s1,1 s1 s1 x 162 "0" x 162 "0" x  141 x  132 x 206 x  141 "0,300" "75,0" s1,2 s2,1 x  132 x  206 x 162 s2 s2 "300" "75" x  132 x  141 x  154 x  243 "75,300" "90,0" s2,2 s3,1 x  154 x  243 x 162 s3 x  154 x  141 x  169 "90" x  267 "90,300" "100,0" s3,2 s4,1 x  267 x 162 x  169 s4 x  169 x  141 s4,2 "100" "100,300" Automate temporisé

25. Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

26. Macromolécules hydrolyse enzymatique bactéries hydrolytiques Monomères Hydrolyse et Acidogénèse bactéries acidogènes Acides organiques, Alcools, ... bactéries acétogènes Acétogénèse Acétate CO2+H2 bactéries homoacétogènes bactéries bactéries Méthanogénèse méthanogènes méthanogènes acétoclastes hydrogénophiles CH4+CO2 CH4 La digestion anaérobie

27. Membrane d’UF CH4/CO2 TOC = 2.35 Analyseur COT H2 Pression Capteur titrimétrique (AT, AP, AGVtot, Bic) Débit de gaz Spectromètre InfraRouge (DCOs, COT, AGVtot, AGVC3, AT, AP, CO2d) Biogaz Réacteur en lit fixe de 1 m3 NaOH Spectromètre UV (DCOs, COT, AGVtot) Eau Réchauffeur Sortie Eaux usées Echangeur de chaleur Température pH Système de dilution Débit de recirculation pH Débit d'alimentation Pilote du LBE-INRA

28. Pilote du LBE-INRA

29. Bernard et al, 2001 Monod Haldane

30. Simplifications les biomasses sont considérées constantes l’inhibition du taux de croissance de X2 par la production d’AGV n’est pas prise en compte

31. Coopérativité Jacobienne:

32. Encadrement

33.  0 S1  0 50 100 normale élevée critique S2  0 100 faible élevée Z  0 75 faible élevée C 5  0 2 10 faible normale élevée critique DCO  0 200 400 faible normal élevé qGaz Seuils sur les variables

34. Relations

35. Prévision des entrées sur 4 jours S1in S2in 25 150 20 gDCO. L-1 mmol eqacétate. L-1 15 100 10 5 0 50 0 24 48 72 96 0 24 48 72 96 Zin Cin 300 60 mmol eqH+. L-1 200 40 mmol eqH+. L-1 100 20 0 0 0 24 48 72 96 0 24 48 72 96 temps (h) D 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 24 48 72 96 temps (h)

36. Simulation S1 S2 12 250 9 mmol eqacétate. L-1 gDCO. L-1 6 100 3 50 0 0 0 24 48 72 96 0 24 48 72 96 Z C 270 200 mmol eqH+. L-1 mmol eqH+. L-1 75 100 50 0 0 24 48 72 96 0 24 48 72 96 DCO qGaz 25 600 400 mmol.h-1 gDCO. L-1 10 200 5 2 0 0 0 24 48 72 96 0 24 48 72 96 temps (h) temps (h)

37. Vérification Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions 118 atteignables Exemple : DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ?

38. Vérification  0 S1  0 normale 50 élevée 100 critique S2  0 bas 100 élevée Z  0 bas 75 élevée C  0 bas 2 normale 5 élevée 10 critique DCO  0 bas 200 normal 400 élevée qgaz

39. Vérification Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions 118 atteignables Exemple : DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ? Entre [2449] et [8496] heures • Prévoir le fonctionnement du systèmes (avec prise en compte d’imprécisions) • Opérations de maintenance à réaliser

40. Plan de l’exposé Contexte, objectifs Formalisme Cadre théorique Discrétisation D’un système EDO à un automate temporisé Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie Conclusions, perspectives

41. Système continu  modèle discret Prise en compte des imprécisions : plusieurs éléments (entrées, état initial) sont estimés par des intervalles que deux systèmes EDO extrémaux, Partition de l’espace d’état : définition de seuils sur les variables d’état connaissance experte, « à la demande » états discrets : franchissements des seuils construction automatique, 1 automate pour chaque dimension produit des automates,

42. Limites et perspectives Limites : le système oscille autour d’une valeur de seuil le nombre de seuils définis est élevé (e.g., supérieur à la centaine) approximations des instants de franchissement Perspectives modéliser les différents sous-systèmes du pilote (e.g., système de régulation de la température, bac de dilution en amont, capteurs…) seuils flous

43. Merci