Proportion eller förhållande

1. Proportion eller förhållande Hur saker och ting förhåller sig till varann i matematiken

2. Vad menas med förhållande? På bilden ser du ett antal kulor i olika färg. Det är 6 gula och 8 gröna kulor. Förhållandet mellan antalet gula och gröna kulor är Förkortar vi bråket får vi Ett vanligare sätt att skriva detta är: ”förhållande är 3 till 4”3:4

3. Några andra exempel… Förhållande och proportion är samma sak! Blanda saft eller färg är ett par exempel Hallonsaften ska blandas 1 del saft till 7 delar vatten, blandningsförhållandet är 1:7. När man ska blanda till grön färg kan man blanda 1 del gul med 1 del blå. Förhållandet är 1:1. När målaren ska blanda ljusblå färg så blandas 2 delar blått pigment i 9 delar vit färg. Förhållandet är 2:9.

4. Geometriska figurer och förhållande Vilket är förhållandet mellan den kortaste och den längsta sidan i triangeln? Förhållandet: 10 4 8

5. Längdförhållande - längdskala Skala är ett vanligt exempel på ett matematiskt förhållande. Längst ner på bilden visar skal- strecket hur bilden förhåller sig till verkligheten. Hur lång och bred är skolan ungefär?

6. Längdförhållande Matteproblem med längdförhållande. Exempel. Hur förhåller sig sländornas längd till varann? Den stora sländan förhåller sig till den lilla som 8 cm 2 cm

7. Skala och likformighet Om man avbildar något i naturlig storlek är skala 1:1 Då är alla mått lika stora på bilden som i verkligheten. Bilden i mitten visar en förminskning i skala 1:2. Då är alla mått på bilden hälften av måtten i verkligheten. Bilden till höger visar en förstorning i skala 2:1. Då är alla mått på bilden dubbelt så stora som i verkligheten. Naturlig storlek, skala 1:1 skala 2:1 skala 1:2

8. Undersöka längdförhållande GeoGebra – klicka på länken nedan Längdförhållande

9. Samma figur men olika storlek (area) Likformighet Två olika figurer med likadan form men olika storlek är likformiga. Ibland talar man också om areaskala. Arean hos rektanglarna förhåller sig som 1:4.

10. Undersöka likformighet GeoGebra – klicka på länkarna Likformiga rektanglar Likformiga trianglar

11. Ekvationer och förhållande Exempel. I en skola är förhållandet mellan antalet flickor och pojkar 7:9. Sammanlagt är det 336 elever på skolan. Hur många flickor respektive pojkar finns det på skolan? Antag att antalet flickor är 7x och antalet pojkar 9x. Då är 7x + 9x = 336 16x = 336 x = 336/16 = 21 Antalet flickor: 7x = 7 ∙ 21 = 147 Antalet pojkar: 9x = 9 ∙ 21 = 189

12. Ekvationer och förhållande, forts. Exempel Tre tal förhåller sig till varann som 2:5:7. Talet i mitten är 15. Vilka är de andra talen? Antag att de tre talen är 2x, 5x och 7x. Vi vet att 5x = 15 x = 15 / 5 = 3 2x = 2 ∙ 3 = 6 7x = 7 ∙ 3 = 21

13. Ekvationer och förhållande, forts. Exempel I en rätvinklig triangel förhåller sig två av vinklarna (A & C) som 3:5. Hur stora är vinklarna i triangeln? 90⁰ Antag att A = 3x och C = 5x. Vi vet att A + B + C = 180⁰ Då blir 3x + 90⁰ + 5x = 180⁰ 8x + 90⁰ = 180⁰ 8x = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ x = 90⁰ / 8 = 11,25⁰ 3x = 3 ∙ 11,25⁰ = 33,75⁰ 5x = 5 ∙ 11,25⁰ = 56,25⁰ A = 33,75⁰ & C = 56,25⁰ B A C 5x 3x

14. Det gyllene snittet,  Ett förhållande som förekommer på många platser runt omkring oss är det gyllene snittet eller .

15. Det gyllene snittet, 

16. Det gyllene snittet, 

17. Undersök själv! Finns gyllene snittet på din kropp? Mät avståndet mellan långfingrets spets och armvecket. Multiplicera detta mått med 0,618. Mät sedan avståndet mellan armvecket och handleden. Resultat? Mät avståndet mellan foten och höften. Mät sedan avståndet mellan foten och ditt knä. Dividera det större med det mindre talet. Resultat?

18. Fibonacci Fibonaccis talföljd: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … Börja på 1. Nästa tal i serien är också 1. Resten av talen är sedan summan av de två föregående talen: 1+1 = 2, 1+2 = 3, 2+3 = 5 osv. Skriv de första 20-30 talen i serien. Undersök sedan vad kvoten av två på varandra följande tal blir! Resultat?

19. 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155

20. Phi’s the limit… 4 minuter om Gyllene snittet

21. 5 kontrollfrågor • Vilket är längdförhållandet mellan den stora och den lilla kvadraten? • 2:1 • 3:2 • 3:1 • 4:1 • 4:3 3 cm 9 cm

22. 5 kontrollfrågor • Vilket är areaförhållandet mellan den lilla och den stora rektangeln? • 1:2 • 1:1 • 1:3 • 1:4 • 3:4 6 cm 3 cm 7 cm 14 cm

23. 5 kontrollfrågor • Vad blir blandningsförhållandet mellan röd och vita färg när man gör en rosa blandning på 1,5 L av 5 dl röd färg och resten vit färg? • 1:1 • 1:2 • 1:3 • 1:4 • 2:3 5 dl 1,5 L

24. 5 kontrollfrågor • På en karta är det 4 cm mellan två byar. I verklig-heten är det 4 km mellan dem. Vilken skala har kartan? • 1:10 000 • 1:20 000 • 1:200 000 • 1:100 000 • 1:50 000 Alhärad Bredtorp 4 cm på kartan

25. 5 kontrollfrågor • Talet 2 förhåller sig till 3 som talet x förhåller sig till 9. Bestäm x! • x = 2 • x = 3 • x = 4 • x = 5 • x = 6

26. 5 kontrollfrågor Rätta svar: • c) 3:1, den stora kvadraten är 3 ggr så bred som den lilla • d) 1:4, man kan lägga 4 små rektanglar i den stora • b) 1:2, 5 dl rött blandas med 10 dl vitt dvs 1 del rött till 2 delar vitt • d) 1:100 000, 1cm motsv 1 km = 1 000 m = 1 00000 cm • e) x = 6, 2/3 ≈ 0,67 och 6/9 ≈ 0,67 alternativt: 2*9 = 3x, 18 = 3x, x= 6