Tests paramétriques sur variabilités et moyennes

1. Tests paramétriquessur variabilités et moyennes UE 45.2 CHIV Pierre MORETTO, Université Paul Sabatier, Toulouse III.

2. Tests paramétriques Les étapes • Normalité de la distribution (²) • Comparaison des distributions • Test « F » de Fisher-Snedecor • Comparaison des moyennes • Test « t » de Student • Données appariées • Données Non appariées

3. Détermination graphique Anamorphose Droite de Henry Calcul de la pente • Si la distribution est normale à ±2 correspond 95.5% de la population. • Intervalle entre 2.28% et 95.5% correspond à 4. • Pente=(Q95-Q2.28)/ 4 • PThéo=(95.5-2.28)%/4=0.23

4. Normalité d’une distribution /Indices • Une distribution est normale si: • Les indices centraux sont confondus • Mode=Médiane=Moyenne • 68.25% de la population à ± 1  • 95.5% de la population à ± 2  • Si ces faits sont retrouvés à partir des données expérimentales alors, la distribution peut être considérée comme « Normale »

5. Normalité d’une distribution • Normalité d’une distribution • Détermination graphique • Détermination / indices • Test du ²

6. Test du ² • Le test du ² permet de comparer 2 distributions. • Si il est appliqué à la comparaison de la distribution de la donnée expérimentale et d’une distribution normale (au sens Gaussien), il permet de vérifier très précisément la normalité de la distribution expérimentale.

7. Test du ² Principe • Comparer 2 fréquences • Expérimentale (rouge) • Normale (Bleu) • Quantifier la somme des différences/classes • Règle de décision / valeur théorique

8. Test du ² Quantifier la différence • Calculer l’écart centré réduit pour chaque centre de classe Xi • Trouver la probabilité associée dans la table de la Loi Normale Centrée Réduite

9. Test du ² Quantifier la différence • Calculer l’écart centré réduit pour chaque centre de classe Xi • Trouver la probabilité associée dans la table de la Loi Normale Centrée Réduite

10. Test du ² Quantifier la différence • Pour chaque classe,  une fth et une fobs(ni/N) • Calculer la différence de ces fréquences pour chaque classe

11. Test du ² Calcul de l’indice Carré des différences Rapportée à Fth Somme « Surface entre les 2 courbes »

12. Test du ² Règle de décision • Une table des valeurs de ² • La valeur est lue pour un Degrès De Liberté (ddl=N-1) • A un risque choisi (10%, 5%, 1%)

13. Test du ² Règle de décision Si ²Théorique> ²Calculé au risque choisi les distributions diffèrent significativement. Sinon elles sont statistiquement semblables.

14. Test du ² Exemple Table du ² • Le ² calculé sur un échantillon de 19 sujets est de 32.5. • La distribution est-elle normale au risque 5% ? • La distribution est-elle normale au risque 1% ?

15. Test du ² Correction Table du ² • Le ²théorique à P=0.05 pour un ddl=18 est de 28.87 • 32.5 > 28.87 donc ²calculé >²théorique • Les distributions observées (expérimentale) et théorique (Loi Normale) ne diffèrent pas à P<0.05 • La distribution expérimentale est « normale » au risque P<5%

16. Test du ² Correction Table du ² • Le ²théorique à P=0.01 pour un ddl=18 est de 34.80 • 32.5 < 34.8 donc ²calculé <²théorique • Les distributions observée (expérimentale) et théorique (Loi Normale) ne sont pas semblables à P<0.01 • La distribution n’est pas normale au risque P<1% • Risque inférieur entraîne une décision plus sévère

17. Comparaison d’échantillons paramétriques UE 45.2 CHIV Pierre MORETTO, Université Paul Sabatier, Toulouse III.

18. Comparaison d’échantillons • Règles de décisions et orientations • Les distributions des échantillons A et B sont-elles normales (Gaussiennes) ? • Si OUI, tests paramétriques • Si NON, • Transformation (racine, log ..) et retour à • Tests Non paramétriques (Ch V)

19. Comparaison d’échantillons paramétriques • Méthodologie générale: Distributions normales

20. Comparaison d’échantillons paramétriques Comparaison des variances des échantillons de distributions normales A (²A) et B (²B)

21. Comparaison des variances Echantillon A Echantillon B

22. Comparaison des variances • Le test est appelé « Test F de Fisher-Snedecor » • Il est basé sur le rapport (F) des variances des échantillons A et B • Donc • si les variances sont semblables le rapport F est proche de 1 • si les variances diffèrent le rapport F s’éloigne de 1 • Dans les 2 cas … l’objectivité impose de savoir de combien et à quel risque ?

23. Test F de Fisher-Snedecor • Soit 2 échantillons : • L’hypothèse (H0) du test est que les variances sont comparables donc que :

24. Test F de Fisher-Snedecor • La comparaisons de 2 variances (²A et ²B avec ²A> ²B ) d’échantillons d’effectifs nA et nB est basée sur le rapport F= ²A/ ²B. • F est comparé à une valeur théorique Fs donnée par la table du F à un seuil /2. La lecture se fait à l’intersection de la colonne (nA-1) et de la ligne (nB-1). • Si F<Fs les 2 variances ne diffèrent pas significativement au seuil 

25. Test F de Fisher-Snedecor à /2 = 2.5% La lecture se fait à l’intersection de la colonne (nA-1) et de la ligne (nB-1)

26. Test F de Fisher-Snedecor Exemple: 2 méthodes de dosage du Lactate (mmol/l) ont été répétées à partir d’un même échantillon sanguin, 25 fois avec la méthode A, 30 fois avec la méthode B On trouve: Dans la table de « F » au risque =2.5% ….. Fs,2.5%=2.15 Le rapport F= ²A/ ²B=5.16/1.96=2.63 et F> Fsd’où ……. Les variances diffèrent significativement au risque 5%

27. Test F: comparaison de variance • Intérêt: • Distributions différentes des échantillons A et B • Si A et B sont 2 méthodes de mesure • La plus faible variabilité d’une mesure à l’autre renseigne sur la précision de l’outil de mesure.

28. Comparaison d’échantillons paramétriques Comparaison des moyennes des échantillons de distributions normales A et B

29. Comparaison de moyennes • Les échantillons sont de distributions normales • Les variances ne diffèrent pas significativement • Test « t » de Student permet la comparaison des moyennes

30. Comparaison de moyennes • Si les échantillons A et B sont indépendants • Test « t » adapté aux variables non appariées • Si les échantillons A et B sont dépendants • Test « t » adapté aux variables appariées • Ex: avant/après entraînement

31. Test « t » de Student Non Apparié • Soit 2 variables distribuées selon la Loi Normale • Les moyennes diffèrent-elles ? • Le test porte sur la différence des moyennes

32. Test « t » de Student Non Apparié • La comparaison entre 2 moyennes mA et mB observées sur nA et nB cas est basée sur l’écart réduit  avec : • Si <1.96 la différence n’est pas significative au risque =5% • NB: cette formule est utilisable nA.nB>30

33. Test « t » de Student Non Apparié • Exemple: • Comparaison des notes obtenues en statistique entre 2 groupes A (Relit ses cours) et B (Ne relit pas) • De sorte que:

34. Correction • Si <1.96 la différence n’est pas significative au risque =5% • Ici =2.6 >1.96 donc la différence de moyenne est significative à 5% • CCl: Relire ses cours avant d’arriver en TP semble significativement influencer le résultat à l’examen

35. Test « t » de Student Apparié • Soit 2 variables dépendantes distribuées selon la Loi Normale • Les moyennes diffèrent-elles ?

36. Test « t » de Student Apparié • Dans les cas où les données des séries X et Y sont dépendantes (Appariées; qui vont par paires), le test n’est pas construit sur la différence des moyennes mais sur les différences de chaque paire.

37. Test « t » de Student Apparié • La comparaison entre 2 moyennes appariées mA et mB observées sur nA et nB cas est basée sur l’écart réduit  avec : • Si <1.96 la différence n’est pas significative au risque =5% • NB: cette formule est utilisable nA.nB>30