Logique combinatoire

2. Logique combinatoire M. Delebecque

3. Algèbre logique • Boole, George (1815-1864), mathématicien et logicien anglais. • Il décrit un système algébrique qui sera plus tard connu sous le nom d’algèbre booléenne. Dans ce système, les propositions logiques sont indiquées par des symboles et peuvent être exécutées par des opérateurs mathématiques abstraits qui correspondent aux lois de la logique.

4. Niveaux logiques Les états ou niveaux logiques sont caractérisés par des valeurs de tensions dont les limites sont précisées dans les documents constructeurs. État 0 : niveau bas, absence de tension (low level, L) État 1 : niveau haut, présence de tension (high level, H)

5. S=e Fonctions logiques de base • Fonction NON (inverseur) • Fonction OUI • (identité) e S e S 1 1 S S e e 0 0 1 0 1 1 1 0 S=e

7. Fonctions logiques de base e1 • Fonction ET (AND) & S e2 e1 e2 S • Pour que la sortie soit à 1 : Il faut que e1 ET e2 soient à 1 0 0 0 0 • Pour que la sortie soit à 0 : 0 1 Il suffit qu’une entrée soit à 0 1 0 0 1 1 1 S = e1 . e2

9. Fonctions logiques de base e1 • Fonction OU (OR) >1 S e2 • Pour que la sortie soit à 1 : Il suffit qu’une entrée e1 OU e2 soit à 1 e1 e2 S 0 0 0 • Pour que la sortie soit à 0 : 0 1 1 Il faut que toutes les entrées soient à 0 1 1 0 1 1 1 S = e1 + e2

11. Fonctions logiques de base e1 • Fonction ET-NON (NAND) & S e2 e1 e2 S • Pour que la sortie soit à 0 : Il faut que e1 ET e2 soient à 1 1 0 0 0 • Pour que la sortie soit à 1 : 1 1 Il suffit qu’une entrée soit à 0 1 0 1 1 1 0 S = e1 . e2

13. Fonctions logique de base e1 • Fonction OU-NON (NOR) >1 S e2 • Pour que la sortie soit à 0 : Il suffit qu’une entrée e1 OU e2 soit à 1 e1 e2 S 1 0 0 • Pour que la sortie soit à 1 : 0 0 1 Il faut que toutes les entrées soient à 0 0 1 0 0 1 1 S = e1 + e2

15. Fonctions logique de base e1 • Fonction OU Exclusif (XOR) =1 S e2 • Pour que la sortie soit à 1 : Il faut que e1 OU e2 soit à 1 Mais pas les 2 e1 e2 S 0 0 0 • Pour que la sortie soit à 0 : 0 1 1 Il faut que les entrées soient au même niveau logique 1 1 0 1 1 0 S = e1.e2 + e1.e2 S = e1 + e2

17. Fonctions logique de base e1 • Fonction « ET Exclusif » =1 S e2 • Pour que la sortie soit à 0 : Il faut que e1 OU e2 soit à 1 Mais pas les 2 e1 e2 S 1 0 0 • Pour que la sortie soit à 1 : 0 0 1 Il faut que les entrées soient au même niveau logique 0 1 0 1 1 1 S = e1.e2 + e1.e2 S = e1 + e2

18. Algèbre logique • Relations b . a Commutativité => a . b = =>a + b = b + a Associativité =>a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Distributivité => a ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c) a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

19. Algèbre logique • Relations (répondre par a, 0 ou 1) a + 0 = a . 0 = a + a = a . a = a + 1 = a . 1 = a + a = a . a =

20. Algèbre logique • Relations a + 0 = a a . 0 = 0 a + a = a a . a = a a + 1 = 1 a . 1 = a a + a = 1 a . a = 0

21. Algèbre logique • Théorème de De Morgan a . b = a + b a + b = a . b Application principale : Transformation d’une somme en produit et inversement

22. Algèbre logique • Exemple d’application : Recherche d’équation a >1 a + b.c b b.c & & = c.(a + b.c) S c Simplification : S = a.c + b.c.c S = a.c + b.c S = c (a + b) S = c (a + b)

23. Algèbre logique • Exemple d’application : création d’un logigramme S = ( a + b.c ).d Equation logique de départ : Règle de construction : Toujours partir de la sortie, rechercher l’opérateur logique qui sépare l’équation

24. Algèbre logique • Exemple d’application : création d’un logigramme S = ( a + b.c ).d Equation logique de départ : a a b >1 a + b.c & b.c S & c d d

25. ET à 3 entrées S = E1 . E2 . E3 • E1 E2 E3 S • 0 0 0 0 • 0 0 1 0 • 0 1 0 0 • 0 1 1 0 • 1 0 0 0 • 1 0 1 0 • 1 1 0 0 • 1 1 1 1

26. OU à 3 entrées S = E1 + E2 + E3 E1 E2 E3 S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

27. NAND à 3 entrées S = E1 . E2 . E3 E1 E2 E3 S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

28. NOR à 3 entrées S = E1 + E2 + E3 E1 E2 E3 S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

29. à faire

30. à faire