LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE

LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUE Nadia KABACHI Maître de Conférences UFR d’Informatique Nadia.Kabachi@univ-lyon1.fr

PLAN LE COURS DE LOGIQUE EST BASE SUR LE COURS DE NARENDRA JUSSIEN • INTRODUCTION • LOGIQUE DES PROPOSITIONS • LOGIQUE DU PREMIER ORDRE • PROLOG

Définition

Historique

Logique des propositions Notion de proposition

Logique des propositions Notion de valeur de vérité

Logique des propositions Étude du calcul propositionnel • Comment écrire les formules? Aspects syntaxiques • Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? Aspects sémantiques • Existe-t-il un lien entre logique et mathématique? Aspects algébriques (Mr G. Boole) • Comment démontrer (automatiquement) de nouveaux résultats ? Aspects déductifs Quatre étapes

Logique des propositions Aspects syntaxiques Les données

K Logique des propositions Aspects syntaxiques F l’ensemble des formules du calcul propositionnel

Logique des propositions Aspects syntaxiques Règles d’élimination des parenthèses • Supprimer les parenthèses entourant les variables • Tenir compte de la priorité des connecteurs ordre standard : ¬, ∧, ∨, →, ↔ • Considérer qu’un opérateur unaire l’«emporte» toujours sur un opérateur binaire

Logique des propositions Aspects sémantiques Valeurs de vérité

Logique des propositions Aspects sémantiques Table de vérités

Logique des propositions Aspects sémantiques

Calcul propositionnel 0 1 1 1  0 1 0 1  0 1 0 1 p q ¬ p ¬ q p  q ¬ ( p  q ) (¬p  ¬ q) F 0 0 0 1 1 0 1 1  0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ? 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0

Logique des propositions Aspects sémantiques Formules particulières • NB : on dit aussi que F est consistante.

Logique des propositions Aspects sémantiques Exemple : On considère : (¬p → q) ∧ (q ↔ r)

Logique des propositions Aspects sémantiques Formules particulières

Logique des propositions Aspects syntaxiques • p → q et ¬p ∨ q sont tautologiquement équivalentes. On peut donc écrire : ├ (p → q) ↔ (¬p ∨ q).

Logique des propositions Aspects syntaxiques Équivalences tautologiques bien connues

Logique des propositions Aspects syntaxiques Formes normales • NB : si dans chaque Hi ﬁgurent toutes les variables ou leur négation, on parle de forme canonique

Logique des propositions Aspects syntaxiques Forme normale disjonctive A faire pour le TD

Logique des propositions Aspects syntaxiques Forme normale conjonctive A retenir : La forme normale conjonctive est aussi appelée forme clausale

Logique des propositions Aspects déductifs Notion de conséquence NB : Une conséquence logique de ∅ est une tautologie

Logique des propositions Aspects déductifs Notion de conséquence

Logique des propositions Aspects déductifs Systèmes formels

Logique des propositions Aspects déductifs Systèmes formels : Démonstrations et théorèmes NB : Différence entre conséquence logique et démonstration

Logique des propositions Aspects déductifs Prise en compte d’hypothèses NB : On dit aussi que J est un modèle de A.

Logique des propositions Aspects déductifs Principales règles d’inférences

Logique des propositions Aspects déductifs Propriétés d’un système formel : théorèmes • Un système formel est correct ssi si Aalors A • tout ce qui est démontrable est vrai • Un système formel est complet ssi si Aalors A • tout ce qui est vrai est démontrable

Logique des propositions Aspects déductifs Limites du calcul propositionnel

Logique des propositions Aspects déductifs Être plus proche du langage naturel • NB : dans un langage du second ordre, on peut aussi quantiﬁer les relations et les fonctions

Logique du premier ordre Calcul des prédicats • Comment écrire les formules ? • Aspects syntaxiques • Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? • Aspects sémantiques • Comment démontrer de nouveaux résultats ? Aspects déductifs

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Une modélisation • Les chandelles sont faites pour éclairer • Quelques chandelles éclairent très mal • Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très mal

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Syntaxe Alphabet

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Vocabulaire • Les termes • les variables et les constantes sont des termes • f(t1, …, tn) est un terme si • les ti sont des termes • f est un symbole de fonction d’arité n • Les atomes • R(t1, …, tn) est un atome si • les tisont des termes • R est un symbole de relation d’arité n

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Formules • Un atome est une formule • Si F et G sont des formules et xune variable, alors les expressions suivantes sont des formules • (F) • (F)  (G) et (F)  (G) • (F)  (G) et (F)  (G) • x (F) et x (G)

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Formules

Calcul des prédicats Logique du premier ordre

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Occurrence d’une variable • Une occurrence d’une variable x dans une formule F est un endroit où x apparaît dans F sans être immédiatement précédée par  ou  • Une occurrence libre de x dans F est définie :

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Occurrence libre

Calcul des prédicats Logique du premier ordre Caractéristiques des variables • Une variable est dite libre dans une formule F si elle a au moins une occurrence libre (sinon on dit qu’elle est liée) • Une formule n’ayant pas de variable libre est dite close

Calcul des prédicats Logique du premier ordre

Logique du premier ordre Suite en TD

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