INFORMATIC Ă PROIECT INTEL TEACH

1. INFORMATICĂ PROIECT INTEL TEACH

2. Grafuri neorientate • DEFINITIE:GRAFUL este o mulțimeordonată de forma (X,U) în care X,mulțimea vârfurilorsaunodurilor,ediferită de mulțimeavidășiestefinită,iarUestemulțimeamuchiilorsauarcelor,adicămulțimea de perechineordonate de câtedouăelemente din x.

3. Un grafneorientatpoatefireprezentat sub forma uneifigurigeometricealcatuită din puncte(vârfuri,noduri) șiliniidreptesaucurbeceunescacestepuncte(muchii,arce).Așadarpentrugrafurineorientatevomfolositermeniide”varf”si “muchie”.

4. 2 u1 u3 u2 1 u4 3 4 7 5 6 u5 EXEMPLU X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7} U={[1,2],[2,3],[2,4],[3,4]}

5. GRADUL UNUI VÂRFreprezintă numărul muchiilor ce trec prin vârful(nodul) respectiv. • VÂRFUL IZOLAT este vârful care are gradul 0. • VÂRFUL TERMINAL este vârful care are gradul 1. • TEOREMA:Într-un graf G=(X,U)cu n vârfuri și m muchii,suma gradelor tuturor vârfurilor este egală cu 2*numărul muchiilor.

6. Un graf complet este graful G(X,U) în care pentru oricare două vârfuri,există muchii(oricare două vârfuri sunt adiacente). • Graf partial este graful G1=(X,V) în care V mai mic sau egal cu U (este graful inițial din care se scot niște muchii

7. 1 2 Exemplu de graf complet cu 4 vârfuri 4 3

8. 2 2 1 1 3 4 3 4 7 7 5 6 5 6 Exemplu de graf parțial Graful inițial G=(X,U) Graful parțial G1=(X,V)

9. Algoritmi pentru determinarea drumurilor minime Algoritmul Roy - Floyd FieG = (V, E, w), unde V={x1, x2, …, xn}. Algoritmul Roy-Floyd determină atât valorile distanţelor minime între oricare două vârfuri ale grafului, cât şi drumurile minime corespunzătoare şi se bazează pe următoarea teoremă: Exemplul Fie graful din figura 2.2.2.1. Trebuie să găsim costurile minime de transport, între oricare două puncte ale grafului. Cu alte cuvinte, trebuie să se determine matricea valorilor minime dintre vârfurile grafului şi drumurile corespunzătoare acestor trasee optime.

10. Algoritmul Roy-Floyd • #include<fstream.h> • #include<conio.h> • #define inf 10000 // pentru "infinit" • int n,m,W[50][50],WM[50][50],d[50],nr=0; • void citire_graf() • { int i,j,cost,k; • ifstream f("roy.txt"); f>>n>>m; • for(i=1;i<=n;i++) • for(j=1;j<=n;j++) • if(i==j) W[i][j]=0; • else W[i][j]=inf; • for(k=1;k<=m;k++) • { f>>i>>j>>cost; • if ((i!=j)&&(cost<W[i][j])) • W[i][j]=cost; }} • void afisare(int M[50][50],int nM) • { int i,j; • for(i=1;i<=nM;i++) • { for(j=1;j<=nM;j++) • { gotoxy(3*j,wherey()); • if (M[i][j]==inf) cout<<'\354'; • else cout<<M[i][j];} • cout<<endl;}}

11. void Roy_Floyd() // determina matricea WM a distantelor minime • { int k,i,j; • for(i=1;i<=n;i++) • for(j=1;j<=n;j++) WM[i][j]=W[i][j]; • for(k=1;k<=n;k++) • { for(i=1;i<=n;i++) • for(j=1;j<=n;j++) • if(WM[i][k]+WM[k][j]<WM[i][j]) WM[i][j]=WM[i][k]+WM[k][j];}} • void drumuri_minime(int x,int y) // pt. gasirea drumurilor minime d de la x la y • { int z,i; • if (WM[x][y]==inf) cout<<"Nu exista drum!"<<endl; • Else { d[++nr]=x; • if(x==y) • { for(i=1;i<=nr;i++)cout<<d[i]<<" "; // afisare drum minim • cout<<endl;} • else for(z=1;z<=n;z++) • if((z!=x)&&(W[x][z]+WM[z][y]==WM[x][y])) drumuri_minime(z,y); • --nr;} } • void main(void) • { int x,y; • citire_graf(); • cout<<"Matricea distantelor directe:\n"; • afisare(W,n); Roy_Floyd(); • cout<<"Matricea distantelor minime:\n"; • afisare(WM,n); • cout<<"Dati nodul initial: x=";cin>>x; Roy Floyd • cout<<"Dati nodul final: y=";cin>>y; • cout<<"Drumurile minime de la nodul "<<x<<" la nodul "<<y<<":\n"; • drumuri_minime(x,y);}

12. 2.3. Arbori • 2.3.1. Definiţii şi elemente de bază • În clasa grafurilor conexe, arborii reprezintă grafurile cele mai simple (ca structură) şi, de asemenea, cele mai frecvent utilizate în practică. De studiul lor s-au ocupat matematicieni şi fizicieni de seamă: Cayley a studiat arborii pentru aplicaţiile lor în chimia organică, iar Kirchhoff, a studiat accastă categorie de grafuri pornind de la studiul reţelelor electrice. Termenul do arbore a fost introdus de Cayley în 1857, plecând de la o analogie botanică. • Definiţia 2.3.1.1. Se numeşte arbore un graf conex şi fără cicluri. • 2.3.2. Arbore parţial de cost minim. • Fie un graf G =(V, E) conex, V = {1, 2, ..., n}, şi o funcţie C:ER+ asociază fiecărei muchii u, un număr real pozitiv c(u), numit costul său. • Problemă: Să se determine un graf parţial H al lui G care să fie conex şi săaibă costul minim.

13. 2.3.2.1. Algoritmul lui Kruskal • Acest algoritm a fost stabilit de Kruskal în anul 1956 şi de cele mai multe ori referirea la algoritm se face folosind numele autorului • Descrierea algoritmului: Se porneşte iniţial cu un graf parţial al grafului G care nu conţine nici o muchie, deci conţine n vârfuri izolate. Se poate aşadar considera ca sunt n arbori disjuncţi. La pasul k (k=0, 1, ..., n-2) al algoritmului avem n-k arbori disjuncţi. Obţinem astfel prin unificarea a doi dintre arborii existenţi, aleşi intr-un anumit mod, n-k-1 arbori disjuncţi. Alegerea celor doi arbori ce vor fi unificaţi se face în felul următor: dintre toate muchiile nealese încă, se selectează aceea de cost minim care are cele două extremităţi în doua mulţimi diferite (aceasta condiţie se impune pentru ca adăugarea unei muchii să nu provoace apariţia unui ciclu în graful parţial de cost minim ce se construieşte din aproape în aproape). Evident, după pasul n-2 obţinem un singur arbore.

14. 6 7 1 2 5 3 4 Algoritmul lui Kruskal Adaug muchia (1,2) cost 2 2 Adaug muchia (2,3) cost 3 7 3 Adaug muchia (3,5) cost 4 Nu adaug muchia (1,5)!!! 5 Adaug muchia (4,6) cost 6 6 4 8 Adaug muchia (2,4) cost 7 Adaug muchia (6,7) cost 9 12 9 Nu adaug muchiile (3,6); (5,6)!!! Cost total: 2+3+4+6+7+9=31

15. ALGORITMUL LUI KRUSKAL Kruskal

17. ÎN URMA ACESTEI PREZENTĂRI SUNT SIGUR CĂ AM DAT O MÂNĂ DE AJUTOR CELOR CARE NU AU HABAR DE GRAFURI…