MEDELVÄRDE, MEDIAN & TYPVÄRDE

1. MEDELVÄRDE, MEDIAN & TYPVÄRDE En learning study i skolår 8 & 9 Thorildskolan våren 2008 Veronica Johansson, Gisela Larsson & Susanne Westin

2. Varför? • Ett område som våra elever brukar ha svårigheter med på de nationella proven.

3. Lärandets objekt • Eleven ska kunna analysera och värdera de olika lägesmåttens användning. (Ur Be-Ma-pärmen, kravnivå för år 9)

4. Förtest uppgift 1 Carolina och Linus kastar pil. De kastar 5 pilar var. Resultatet blev: Carolina 9, 10, 8, 9, 9 Linus 8, 7, 10, 10, 5 • Bestäm bådas medelvärde. Vem har bäst medelvärde? • Bestäm bådas median. Vem har bäst median? • Bestäm bådas typvärde. Vem har bäst typvärde?

5. Resultat förtest uppgift 1 De flesta elever kan räkna ut medelvärdet. Exempel på felsvar: • Räknar ut total poängsumma • Division med 2 istället för 5 I en klass kan de flesta beräkna median. I övriga två klasser är det enstaka elever som vet hur de ska göra. Många elever svarar inte på frågan. En elev visste vad typvärde var innan undervisningen startade.

6. Förtest uppgift 2 Eleverna i en klass svarade på frågan ”Hur många syskon har du?” Svaren sammanställdes i följande tabell: • Bestäm medelvärde, median och typvärde. Visa hur du tänker!

7. Resultat förtest uppgift 2 • Många varianter av svar, få är rätt… • Eleverna använder värden i tabellen utan att förstå vad de gör.

8. Förtest uppgift 3 Jenny och hennes familj är ute och äter middag. Förutom Jenny är de här personerna med på middagen: mormor, morfar, mamma och Jennys två bröder. Medelåldern för personerna på middagen är 36 år. Ge ett exempel på hur gamla de olika personerna kan vara.

9. Förtest uppgift 4 12 personer vaskar guld. Efter en timme vägde de hur mycket guld de hade lyckats vaska per person. Resultatet ser du i tabellen. 0,15 g 2,96 g 0,23 g 0,62 g 0,43 g 0,36 g 0,16 g 0,28 g 0,32 g 0,19 g 0,26 g 0,30 g • Bestäm medelvärde och median för hur mycket guld de vaskade på en timme. • Förklara varför det blir så stor skillnad mellan medianen och medelvärdet. (Uppgift från NP ma år 9, 2007)

10. Resultat förtest uppgift 4 • Få elever kan förklara varför det blir så stor skillnad på median och medelvärde. Många elever väljer att inte svara. 0,15 g 2,96 g 0,23 g 0,62 g 0,43 g 0,36 g 0,16 g 0,28 g 0,32 g 0,19 g 0,26 g 0,30 g Exempel på elevsvar för beräkning av median eftertest år 8: 151619232628303236436296 (0,15 0,16…) (0,28 0,30)

11. Identifierade svårigheter • Bristande förståelse för begreppet medelvärde kan visa sig på följande sätt: • Eleven dividerar alltid med 2 • Felaktig hantering av värdet 0 • Eleverna vill ha svaret till ett heltal • Svårigheter att använda värden i en frekvenstabell för att beräkna medelvärdet • Eleven anser att medelvärde alltid är bättre än median

12. Identifierade svårigheter • Bristande förståelse för begreppet median kan visa sig på följande sätt: • Eleven storleksordnar inte talen • Svårighet vid beräkning av median med jämt antal värden • Felaktig hantering av värdet 0 • Svårigheter att använda värden i en frekvenstabell för att beräkna median • Eleven anser att medelvärde alltid är bättre än median

13. Identifierade svårigheter • Bristande förståelse för begreppet typvärde kan visa sig på följande sätt: • Eleven anser att den som har flest antal likadana värden har högst typvärde vid jämförelse

14. Genomförande Lektion 1 – Skolår 9 Lektion 2 – Skolår 9 Lektion 3 – Skolår 8

15. Lektionsupplägg • Ett hus med olika typer av familjer • Lönestatistik • Sammanfattning

16. Huset • En bild på ett hus med 19 lägenheter där det bor olika typer av familjer.

17. Så såg det ut på tavlan… Antal barn/familj Frekvenstabell Vad behöver man veta? Antal barn Frekvens Hur många familjer: 19 st 0 4 0 Hur många barn: 30 st 1 5 5 2 6 12 Medelvärde = 30/19 = 1,6 3 3 9 4 1 4 Om vi avrundar till 2 barn/familj: Antal familjer 19 st 15 barn  30 familjer Antal barn 30 st 19 familjer  38 barn

18. Så såg det ut på tavlan… 3 2 2 1 3 2 0 1 2 4 1 2 2 0 3 1 0 0 1 Frekvenstabell Antal barn Frekvens 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 0 4 0 1 5 5 2 6 12 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 3 3 9 1,5 4 1 4 1+2 = 1,5 Antal familjer 19 st 2 Antal barn 30 st

19. Mera medelvärde • Välj en av familjerna. I familjen är medelåldern 17 år. Ge exempel på hur gamla de olika familjemedlemmarna kan vara.

20. Lönestatistik • En uppgift hämtad ur Be-Ma-pärmen med lönestatistik från ett företag. • Vilket mått, medelvärdet eller medianen, beskriver bäst de anställdas löner?

21. Sammanfattning • En avslutande sammanfattning som på tredje lektionen utgick ifrån en frekvenstabell med antal mål/match för ett fotbollslag.

22. Resultat lektion 1 – år 9 • Bra resultat på medelvärde och median för enklare uppgifter. • Ungefär hälften av eleverna vet vad typvärde är efter lektionen. Ingen av dem kunde det innan lektionen. Ett vanligt felsvar går att härleda till en felsägning från läraren. • Svårigheter att utgå från värden i en frekvenstabell. • Många elever kan förklara att medelvärde och median kan skilja sig mycket på grund av ett avvikande resultat.

23. Nya identifierade svårigheter • Tolkning att den med flest antal likadana värden har högst typvärde vid jämförelse. • Svårigheternär medelvärdet på sådant som i verkligheten inte går att dela, t.ex. antal barn eller antal mål, inte blir ett heltal.

24. Förändringar inför lektion 2 • Ökad struktur och tydlighet • ”Vända och vrida” på begreppen mer

25. Lektion 2 – år 9 • Fler elever kan hantera begreppet typvärde. • Eleverna är något bättre på att läsa av från en frekvenstabell men ingen större skillnad.

26. Förändringar inför lektion 3 • Sammanfattningen förändras och utgår nu från en frekvenstabell som handlar om fotboll.

27. Lektion 3 – år 8 • Sämre förkunskaper än de två klasserna i år 9. • Förbättring, men ännu inte helt bra.

28. Sammanfattning • Eleverna har blivit säkrare på att bestämma medelvärde, median och typvärde. • Det är svårt för eleverna att bestämma medelvärde, median och typvärde utifrån en frekvenstabell. • Fler elever kan förklara hur avvikande resultat kan påverka beräkning av medelvärde och median.

29. Kritisk aspekt För att kunna analysera och värdera de olika lägesmåttens användning behöver man ha förståelse för lägesmåtten.

30. Tankar om arbetet • Eleverna lärde sig en hel del! • Vi valde ett för stort område för att hinna med det på en lektion på ett bra sätt • Det var för korta träffar (ca 50 min/gång)