Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)

1. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) • Analitik Ortalamalar • Aritmetik • Geometrik • Harmonik • Kareli ortalama • Analitik olmayan ortalamalar • Mod • Medyan • Kartil, Desil ve Santiller

2. I. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) • Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır. Ortalamaların Faydaları: Ortalamaların faydaları kısaca şöyle özetlenebilir. • Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir. • İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir. • Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya imkan tanır. • Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

3. Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta incelenir. Analitik (Hassas ortalamalar) Verideki bütün değerleri dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap tarzına göre dört farklı şekilde elde edilir. 1.1. Aritmetik ortalama 1.2. Geometrik ortalama (G) 1.3. Harmonik ortalama (H) 1.4. Kareli ortalama (K).

4. Aritmetik ortalama serideki gözlem değerleri toplamının toplam gözlem sayısına oranıdır. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride Xi : i. gözlem değeri fi : i. değerin frekansı mi : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı 1.1. Aritmetik ortalama

5. Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

6. ÖrnekBir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

7. ÖrnekBir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

8. Tartılı Aritmetik Ortalama • Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir. • Basit seride • Tasnif edilmiş seride • Gruplanmış seride

9. Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız.

10. ÖrnekBir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna bu işletmede ortalama saat ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız.

11. Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler - Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır. - Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır. - Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır. ÖrnekBir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu tezgahlarının ürettiği mamul kütlesinin kusurlu oranını bulunuz.

12. Aritmetik ortalamanın özellikleri 1 - Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir. 2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin toplam değeri elde edilir. 3- Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı sıfır olur. 4- Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur. 5- Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir. 6-Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur.X =Y +Z

13. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması • Aritmetik ortalamayı SPSS’teanalyze menüsünün Reports kısmından hesaplamak mümkündür. Bunun için Analyze, Reports ve Casesummaries tıklanır.

14. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması • Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve Statistics tıklanır. Gelen ekranda Cellstatistics kısmına Mean atanır. Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Sonuç çıktı ekranında şöyle görüntülenir.

15. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması • Aritmetik ortalamanın belli bir değişkenin kategorilerine göre hesaplanması: Bunun için otomobilin ağırlığının aritmetik ortalamasını ülke orjinine göre hesaplayacağız. Analyze menüsünden Reports ve Casesummaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına ağırlık, Groupingvariable(s) kısmına ülke orjini değişkeni girilir ve statistics tıklanır ve gelen ekranda Mean girilip Continue ve OK tıklanır.

16. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması • Sonuçlar SPSS ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

17. SPSS te Aritmetik Ortalama • SPSS’te aritmetik ortalamayı hesaplayabilmek için Analyze menüsünden Descriptive Statistics seçeneği tıklanır.

18. SPSS te Aritmetik Ortalama • Gelen ekranda Variable(s) kısmına ortalamasını hesaplamak istediğimiz değişkenleri ( Alınanyol, Motorhacmi, Beygirgücü, Ağırlık) girilir. Options tıklanır ve gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) işaretlenir ve Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.

19. SPSS te Aritmetik Ortalama • Sonuçlar aşağıdaki şekilde elde edilir. En küçük değerler En büyük değerler Verinin toplamı Aritmetik ortalama

20. SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması • Önce tasnif edilmiş bir seri oluşturalım. Bunun için öğrencilerin 0-10 arasındaki notların dağılımını SPSS sayfasına giriş yapalım. Bunun için veri ekranının 1. sütununa notları, 2. sütununa öğrenci sayılarını girelim. File menüsünden New ve Data tıklanır ve yeni bir veri sayfası ekrana gelir. Bu sayfaya veriler girilir. Variable view sayfasından değişken isimleri girilir.

21. SPSS’te Tasnif edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması • Öğrenci sayılarını frekans olarak tanımlayabilmek için Data menüsünden Weightcasestıklanır ve gelen ekranda Weightcasesbykısmına öğrencisayısı değişkeni girilir böylece frekans tanımlanmış olur.

22. SPSS’te Tasnif edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması • Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve statistics tıklanır. Gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) seçilir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.

23. SPSS’te Tasnif edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması Sonuçlar aşağıdaki gibi görüntülenir.

24. SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması • Analyze menüsünden Descriptive statistics kısmından Descriptive tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) için Notlar girilir.Options tıklanır Mean işaretlenip Continue ve OK tıklanır

25. SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması • Sonuçlar çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir. Öğrenci sayısı Endüşük not Enyüksek not Notlar toplamı Aritmetik ortalama

26. 2- Geometrik Ortalama (G) • Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır. • olup yazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır. Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.

27. ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; olup düzenlenirse, Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.

28. Tasnif edilmiş seride; logaritmik olarak; olur. Gruplanmış seri için; Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür.Geometrik bir diziye logaritması alınarak aritmetik diziye dönüşür.

29. ÖrnekBir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz.

30. Örnek 1.10)Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. =13,918 G=13,918 parça

31. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu • Basit serinin geometrik ortalaması • Basit bir serinin geometrik ortalamasını SPSS’te bulabilmek için Analyze menüsünden Reports ve casessummary tıklanır.

32. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu • Gelen ekranda geometrik ortalaması bulunacak değişken(ler) Variables kısmına taşınır (Gidilenyol). Statistics tıklanır ve gelen ekranda Geometricmean seçilir, continue ve OK tıklanır. Sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Sonuçlar çıktı ekranda aşağıdaki gibi görüntülenir.

33. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu • Tasnif edilmiş serinin geometrik ortalaması • Tasnif edilmiş bir serinin geometrik ortalamasını SPSS’te bulabilmek için serinin frekansının tanımlanması gerekir. Bilindiği gibi bunun için Data menüsünden Weightcases seçeneği tıklanıp frekans değişkeni Weightcasesby kısmına taşınarak tanımlanmaktadır. Geometrik ortalama için diğer işlemler yukarıda anlatıldığı gibi yapılmaktadır. • Öğrencilerin notlarının geometrik ortalaması SPSS’te hesaplanacaktır. İlgili ekranlar aşağıdaki gibi görüntülenir.

34. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu Frekans tanımlama işlemi aşağıdaki gibi yapılır

35. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu Geometrik ortalama çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

36. Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla Kullanımı Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. Bir malın fiyatı için: Po: başlangıç dönemi değeri, Pn: n. Dönemin değeri, r : bir dönemlik değişim yüzdesi şeklinde olur.

37. ÖrnekBir X malının 1995 yılı fiyatı 10000 TL , 2003 yılı fiyatı 300000 TL olduğu bilindiğine göre; Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız 2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz 1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilir 1999 yılı fiyatını tahmin ediniz Hangi yılda fiyatlar 50000000 TL olur? Çözüm P1995 = 10000 P2003 = 300000 n= 8 (2003-1995) Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53 b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir. P2010 = P2003(1,53)(2010-2003) P2010 = 300000(1,53)7 = 300000(19,626) P2010 = 5887800 TL olur.

38. Geometrik ortalamanın özellikleri 1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin çarpımı elde edilir. GN = X1X2X3XN GN = Xi 2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları çarpımı 1’e eşittir. 3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur (logXi - logG) = 0 logXi - NlogG = 0 4) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas değildir.

39. 5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur.6) Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz.7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.)

40. 3- Harmonik Ortalama • Harmonik ortalama bir serideki gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersine eşittir. Basit bir seri için bu ifade şöyle gösterilebilir. • Tasnif edilmiş seride • Gruplanmış seride

41. Örnek Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar şöyledir. Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik ortalama ile bulunuz H=70,33 kelime

42. Harmonik ortalamanın SPSS’te hesaplanması SPSS’te bir önceki slayttaki örneğin Harmonik ortalamasını hesaplamak için Anayze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır.

43. Harmonik ortalamanın SPSS’te hesaplanması • Gelen ekranda Variables kısmına kelimesayısı değişkeni girilir ve statistics tıklanır. Cell statistics kısmına Harmonicmean girilir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır. Sonuç çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

44. Örnek:Sakarya ilinde aylık yağışların dağılımı ile ilgili yapılan çalışmada aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle aylık yağışların harmonik ortalamasını bulunuz. Harmonik ortalamanın gruplanmış seride hesaplanması

45. Harmonik ortalamanın SPSS’te hesaplanması • Kategorik veriler için her bir kategorinin harmonik ortalamasını hesaplamak için Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda variables kısmına ortalaması hesaplanacak değişken (ağırlık), groupingvariable(s) kısmına kategori değişkeni (ülke orjini) girilip Statistics tıklanır. Gelen ekranda Cell statisticskısmına Harmonicmeangirilip continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Çıktı ekranı

46. Harmonik ortalamanın kullanıldığı yerler Harmonik ortalamanın kullanıldığı yerler Harmonik ortalama az kullanılan ortalamalardan biri olup, özellikle oran şeklinde ortaya çıkan verilerin ortalamasında kullanılır. Bir seride sabit ve değişken unsurun yer değiştiriyorsa, yani sabit unsur, değişken, değişken unsur sabit oluyorsa böyle durumlarda harmonik ortalama kullanılır. Hız → yol (km)/zaman(saat):zaman sabit, alınan yol değişken Verim → zaman/parça:üretilen parça sabit,zaman değişken Fiyat → ödenen para(TL)/miktar(kg): miktar sabit, ödenen para değişken olarak ifade edilir. Bu ifadeler tam ters şekilde; yani sabit unsuru değişken, değişken unsuru sabit tutmak sureti ile de ifade edilebilir. Hız → zaman/yolşeklinde ters olarak ifade edilebilir. (Belli uzunluktaki bir yolun ne kadar zamanda alındığı ifade edilebilir.) Verim → parça/zaman:Belli bir zamanda ne kadar parça üretildiği Fiyat → miktar/ödenen para:Para miktarı sabit iken, bu paraya alınabilecek değişen mal miktarı şeklinde düşünülebilir Bu gibi durumlarda harmonik ortalama en uygun sonucu verir.

47. Örnek:Bir işletmede çalışan ve aynı parçayı işleyen 4 işçinin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu işçiler hep birlikte bu parçayı 4 saat süre ile Ürettiklerinde ürettikleri parçaların Ortalama üretim süresini bulunuz. Çözüm: Üretim süresi 4*60=240 dakika İşçinin üretimi 240/5=48 parça İşçinin üretimi 240/6=40 parça, İşçinin üretimi 240/10=24 parça, İşçinin üretimi 240/20=12 parça. İşçilerin 4 saatteki toplam üretimi 48+40+24+12=124 parça Toplam işçilik süresi 4*240=960 dakika Parçanın ortalama üretim süresi: 960/124=7,74 dakika/parça

48. Yukarıdaki örneğin Harmonik ortalama ile çözümü: Harmonik ortalamanın özellikleri - Harmonik ortalama seride sıfır değeri varsa hesaplanamaz, • Seride farklı işaretli değerler varsa harmonik ortalama mantıklı olmayan sonuçlar verir. • Xi: -2, 5,10,20 serisinin harmonik ortalaması • olup sonuç mantıksızdır.

49. 4. Kareli Ortalama (K) • Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküdür.Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

50. Örnek: Bir otomobil servis istasyonuna günlük olarak gelen araçların dağılımı aşağıda verilmiştir.