William J. Stevenson

OPERATIONSRESEARCH Operations Management Enos William J. Stevenson 8th edition

Dual Selasa, 08 Nopember 2005

Kaidah Transformasi Untuk Memperoleh Dual • Persoalan maksimalisasi selalu terkait dengan persoalan minimalisasi. • Persoalan asal disebut “Primal”, persoalan yang terkait disebut “Dual”

Arah optimalisasi dual selalu berlawanan dengan arah optimalisasi primal: Maksimalisasi dalam primal menjadi minimalisasi dalam dual dan sebaliknya. • Tanda pertidaksamaan dari kendala teknis adalah terbalik. Kendala non-negativitas tidak berubah. • Baris matriks koefisien dari kendala dalam primal berubah menjadi kolom untuk matriks koefisien dalam dual.

Vektor baris dari koefisien dalam fungsi obyektif dalam primal berubah menjadi vektor kolom konstan untuk kendala dalam dual. • Vektor kolom konstan dari kendala primal menjadi vektor baris dari koefisien-koefisien untuk fungsi obyektif dalam dual. • Variabel keputusan primal (xj) menjadi variabel keputusan dual (zi)

Dalil Dual: • Nilai optimal dari fungsi obyektif primal selalu sama dengan nilai optimal dari fungsi obyektif dual, jika terdapat suatu penyelesaian optimal yang memungkinkan. • Jika suatu variabel keputusan primal mempunyai nilai bukan nol, maka variabel slack yang berkaitan dalam program dual harus mempunyai nilai optimal sama dengan nol.

Keunggulan Dual • Jika persoalan minimalisasi dapat diselesaikan berdasarkan prosedur maksimalisasi, langkah-langkah akan lebih sederhana. • Jika soal primal mengandung tiga variabel keputusan, penyelesaian secara dual akan menyederhanakan menjadi dua variabel.

Contoh 1: • Soal Primal: Maksimumkan:  = g1x1 + g2x2 + g3x3 Kendala a11x1 + a12x2 + a13x3  b1 a21x1 + a22x2 + a23x3  b2 a31x1 + a32x2 + a33x3  b3 x1, x2, x3  0

Dual yang bersesuaian:Minimumkan: C = b1z1 + b2z2 + b3z3Kendala a11z1 + a21z2 + a31z3  g1a12z1 + a22z2 + a32z3  g2 a13z1 + a23z2 + a33z3  g3z1,z2,z3  0

Contoh 2: Maksimumkan  = 5x1 + 3x2 Dengan kendala: 6x1 + 2x2  36 5x1 + 5x2  40 2x1 + 4x2  28 x1, x2  0

Dual yang bersesuaian : Minimumkan C = 36z1 + 40z2 + 28z3 Dengan kendala 6z1 + 5z2 + 2z3 5 2z1 + 5z2 + 4z3  3 z1, z2, z3  0

Nilai Marginal dan Lagrangian Multiplier dalam Dual • Fungsi obyektif: • Nilai marginal:

Primal: Maksimumkan:  = g1x1 + g2x2 + g3x3 Kendala a11x1+ a12x2 + a13x3 b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 b3 x1, x2, x3  0

 = g1x1 + g2x2 + g3x3 • a11x1 + a12x2 + a13x3  b1 • a21x1 + a22x2 + a23x3  b2 • a31x1 + a32x2 + a33x3  b3 C = b1z1 + b2z2 + b3z3a11z1 + a21z2 + a31z3  g1a12z1 + a22z2 + a32z3  g2 a13z1 + a23z2 + a33z3  g3z1,z2,z3  0

Dual :Minimumkan: C = b1z1 + b2z2 + b3z3Kendala a11z1 + a21z2 + a31z3  g1a12z1 + a22z2 + a32z3  g2 a13z1 + a23z2 + a33z3  g3z1,z2,z3  0

Contoh: Maksimumkan  = 14 x1 + 12 x2 + 18 x3 Dengan kendala: 2x1+ x2 + x3 2 x1+ x2 + 3x3 4 x1, x2,x3 0

Dual : Minimumkan C = 2z1 + 4z2 Dengan kendala 2z1 + z2 14 z1 + z2  12 z1 +3z2 18 z1, z2  0 2x1 + x2 + x3  2 x1+ x2+3x3 4 x1, x2, x3  0

 Karena persoalan yang diperoleh berbentuk minimalisasi, maka soal tersebut harus diselesaikan dengan langkah-langkah algoritma minimalisasi. 1. Kurangkan variabel surplus (s) dari setiap persamaan kendala 2z1 + z2 14 z1 + z2  12 z1 +3z2 18 -s1 -s2 -s3

Tambahkan variabel Artificial pada setiap persamaan kendala 2z1 + z2 14 z1 + z2  12 z1 +3z2 18 -s1 + A1 -s2 + A2 -s3 + A3

3. Buat tabel simpleks awal: z1z2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 K 2 1 -1 0 0 1 0 0 14 11 0 -1 0 0 1 0 12 1 3 0 0 -1 0 0 118 -2 -4 0 0 0-M-M-M M adalah nilai yang sangat besar untuk menghindari solusi non-feasible Nilai negatif dari fungsi Objective dalam dual

4. Selesaikan kolom yang mengandung variabel A:Tambahkan Mx(I + II + III) ke baris IV z1z2 s1 s2 s3 A1 A2 A3 K 2 1 -1 0 0 1 0 0 14 11 0 -1 0 0 1 0 12 1 3 0 0 -1 0 0 118 -2 -4 0 0 0-M-M-M

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) Z1 2 1 1 4M-2 Z1 2 1 1 -2 -2 +M(2+1+1) = 4M-2

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) Z2 1 1 3 5M-4 Z2 1 1 3 -4 -4 +M(1+1+3) = 5M-4

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) s1 -1 0 0 -M s1 -1 0 0 0 0 + M(-1+0+0) = -M

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) s2 0 -1 0 -M s2 0 -1 0 0 0 + M(0 -1 + 0) = -M

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) s3 0 0 -1 -M s3 0 0 -1 0 0 + M(0 + 0 -1) = -M

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) A1 1 0 0 0 A1 1 0 0 -M -M + M(1 + 0 + 0) = 0

Baris IV + M(baris I + baris II + baris III) K 14 12 18 44M K 14 12 18 - 0 + M(14 + 12 + 18) = 5M-4

Z1 2 1 1 4M-2 Z2 1 1 3 5M-4 s1 -1 0 0 -M s2 0 -1 0 -M s3 0 0 -1 -M A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1 0 K 14 12 18 44M

5. Menentukan elemen pivot • Tentukan nilai baris indikator yang terbesar (tidak termasuk nilai baris indikator pada kolom konstant)  disebut kolom pivot • Tentukan rasio terkecil dari nilai kolom konstan dengan nilai elemen kolom pivot yang seletak  disebut elemen pivot • Baris yang mengandung elemen pivot dikalikan dengan kebalikan nilai elemen pivot. (Jika elemen pivot = a11, maka baris dimana a11 tersebut berada dikali dengan 1/a11

Z1 2 1 1 4M-2 Z2 1 1 3 5M-4 s1 -1 0 0 -M s2 0 -1 0 -M s3 0 0 -1 -M A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1 0 K 14 12 18 44M Karena 5M-4 merupakan nilai terbesar pada baris indikator, maka kolomnya disebut kolom pivot

Z1 2 1 1 4M-2 Z2 1 1 3 5M-4 s1 -1 0 0 -M s2 0 -1 0 -M s3 0 0 -1 -M A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1 0 K 14 12 18 44M Karena 18/3 merupakan rasio terkecil, maka 3 menjadi elemen pivot

Kalikan baris III dengan 1/3 Z1 2 1 1 4M-2 Z2 1 1 3 5M-4 s1 -1 0 0 -M s2 0 -1 0 -M s3 0 0 -1 -M A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1 0 K 14 12 18 44M

Z1 2 1 1/3 4M-2 Z2 1 1 1 5M-4 s1 -1 0 0 -M s2 0 -1 0 -M s3 0 0 -1/3 -M A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1/3 0 K 14 12 6 44M

Tiga nilai elemen lainnya pada kolom yang sama, dijadikan = 0. Tentukan rumusnya dan berlakukan Terhadap elemen-elemen lain pada baris yang sama Z1 2 1 1/3 4M-2 Z2 1 1 1 5M-4 s1 -1 0 0 -M s2 0 -1 0 -M s3 0 0 -1/3 -M A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1/3 0 K 14 12 6 44M

Baris I – 1 x (baris III) • Baris II – 1 x (baris III) • Baris IV – (5M-4) x (baris III) • Jika semua langkah ini telah diselesaikan dan baris indikator masih mengandung elemen yang bernilai positif, maka perhitungan dilanjutkan ke iterasi kedua, ketiga, dan seterusnya.

William J. Stevenson