C(r) całka korelacji:

1. WYMIAR KORELACYJNY D2to wymiar uogólniony rzędu drugiego, liczony za pomocą całki korelacji C(r) całka korelacji: – norma badanej wielkości fizycznej N– analizowana liczba wartości H – funkcja Heaviside’a,

2. Wymiary korelacyjne sejsmiczności indukowanej pracami górniczymi Dane zawierają 1992 1 3 3 31 0 4.000 18742 -1930 -725 1992 1 3 9 0 0 3.477 18781 -1907 -733 • 1 3 14 42 0 4.000 18789 -2025 -700 Halemba 5 - Wymiary korelacyjne „Czas wystąpienia wstrząsu”D2=0.89; „Log(Energia)”D2=0.86; „XY – rozkład epicentrów”D2=1.7;

3. KWK Halemba

4. Zmienność wymiaru korelacyjnego w czasie liczona z 'XY' • Od: zdarzenie numer: 1 Data: 3 styczeń 1992 , 03:31:00 • Do: zdarzenie numer: 450 Data: 6 luty 1993 , 04:23:00 Szerokość okna : 50 zdarzeń. Przesunięcie okna : 25 zdarzeń. • 1-50 1.45 301-350 1.4 • 26-75 1.38 326-375 1.4 • 51-100 1.42 351-400 1.39 • 76-125 1.34 376-425 1.43 • 101-150 1.37 401-450 1.4 • 126-175 1.36 • 151-200 1.46 • 176-225 1.46 • 201-250 1.43 • 226-275 1.38 • 251-300 1.33 • 276-325 1.5 Halemba 5

6. Odwzorowanie logistyczne • Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą się eksponencjalnie z rozwojem czasu. Rozwój rozwiązań jest przewidywalny jedynie w sensie statystycznym. Warunkiem koniecznym by rozwiązanie było chaotyczne jest by równanie było nieliniowe. • „Chaos to losowe zachowanie występujące w układzie deterministycznym, a więc chaos to nieregularne zachowanie całkowicie rządzone przez prawo”. • Przykładem rozwiązania chaotycznego jest rozwiązanie odwzorowania logistycznego:

7. Odwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości a. Jest ono prostą reprezentacją dynamiki populacji jakiegoś gatunku. xn to ilość osobników w roku n, a średnie tempo reprodukcji. Zbadajmy funkcję: • f(x) = ax(1-x) • Punkty stałe tej zależności: xs = f(xs ) xs = 0 i xs = 1 - 1/a W zależności od zachowania f(x) w otoczeniu punktów stałych punkt ten będzie stabilny lub nie. Rozwiązania będą zbieżne do stabilnych punktów stałych i rozbieżne względem niestabilnych (odwzorowanie będzie dążyć (ewoluować) do tych punktów).

8. Zbadajmy sekwencję iteracji odwzorowania logistycznego dla a=0.8.Przyjmijmy x0 = 0.5 i kolejno przecięcie linią pionową wykresu funkcji wyznacza jej wartość, pozioma linia z punktu przecięcia przecina przekątną pierwszej ćwiartki (prosta o tg=1) i zmienia xn+1 na xn. Pionowa linia przecina parabolę itd. Ciąg iteracji zmierza do stabilnego stałego punktu xs = 0. Dla a = 2.5. Przekątna pierwszej ćwiartki przecina parabolę w obu punktach stacjonarnych: xs = 0 i xs = 0.6. Punkt xs = 0 jest niestabilny, xs = 0.6 a=0.8 a=2.5

9. Dla a=3 zachodzi bifurkacja. Oba punkty stałe są niestabilne i iteracje zbiegają się do cyklu granicznego oscylującego miedzy xs1 i xs2. Wartości xs1 i xs2 obliczane są z wzoru: • xs2 = a xs1(1- xs1) xs1 = a xs2(1- xs2) Okres oscylacji podwaja się z jednej dla a<3 do dwu iteracji, dla a>3. Iteracje o podwójnym cyklu granicznym można śledzićhttp://members.lycos.co.uk/ququqa2/Fractalspl/Bifurcation.html Cykl graniczny oscyluje miedzy xs1 = 0.558 i xs2 = 0.765. Graniczny cykl n=2 zachodzi w przedziale 3<a<3.449479. Dla a = 3.449479 zachodzinastępny rzut bifurkacji, okres znów się podwaja. Iteracje oscylują miedzy xs1 = 0.403, xs2 = 0.835, xs3 = 0.479 i xs4 = 0.866. Cykl z n =4 zachodzi w przedziale 3.449479 < a < 3.544090. Dla dużych wartości a zachodzą cykle graniczne wyższego rzędu: 3 < a < 3.449499 n=23.449499 < a < 3.544090 n=4 3.544090 < a < 3.564407 n=83.564407 < a < 3.568759 n=16 3.568759 < a < 3.569692 n=323.569692 < a < 3.569891 n=64 3.569891 < a < 3.569934 n=128............

10. Rzut podwajania okresu bifurkacji zachodzi dla ciągu ak, który aproksymacyjne spełnia zależność Feigenbauma: ak =4.669202 - 2.6372 F-k gdzie F = 4.669202 jest stałą Feigenbauma. Aproksymacja jest tym lepsza im wyższe k. Ta zależność wskazuje na fraktalne - niezmiennicze ze względu na skalę, zachowanie dla ciągu podwajania okresu bifurkacji. Relacja Feigenbauma może być zapisana w postaci: a = (Fak+1- ak)/(F-1) Wartości ciągu podwajania okresu mogą być użyte do przewidzenia zachowania chaotycznego w a. Dla wartości a > a wchodzi się w rejon w którym aperiodyczne i periodyczne atraktory są naprzemienne. Dla atraktorów aperiodycznych występuje chaos.

11. Zachowanie chaotyczne może być opisane ilościowo w terminologii wykładnika potęgowego Lyapunowa l. Jest on miarą prędkości z jaką rozbiegają się trajektorie w przestrzeni fazowej. Gdy dxn przyrost po n-tej iteracji, dx0 przyrost wartości początkowej definiuje się go: dxn = dx02ln Gdy wykładnik Lyapunowa jest ujemny, rozwiązania są zbieżne i deterministyczne, gdy jest dodatni rozwiązania rozchodzą się potęgowo i pojawia się chaos. Dla odwzorowania logistycznegowykładnik Lyapunowa wynosi http://www.janthor.de/Lyapunov/second.html WykładnikLyapunowa l

12. Wykres wykładnika Lyapunowadlaodwzorowania logistycznego dla przedziału 3.4 < a < 4.0 Dobrze zilustrowane jest okno zachowania chaotycznego dla przedziału 3.569946 < a < 4.0, gdzie l jest dodatnie. Wykładnik Lyapunowa spada do zera w każdym rzucie bifurkacji.

13. Dla a = 4 iteracje odwzorowania logistycznego: • xn+1= 4xn (1-xn ) dla x [0,1] można wyrazić analitycznie obierając • x0 = sin2pb ( 0<b<1 ) Z podstawienia otrzymujemy: • x1 = 4sin2pb (1 - sin2pb) = sin2 2pb • W n-tej iteracji: • xn = sin22npb Przyjmując, że b nie jest liczbą całkowitą wartości xn zmieniają się losowo i otrzymuje się w pełni chaotyczne zachowanie. Iteracje dla a=4 dxn=2sin(2npb)cos(2npb)2npdb dx0=2sinpbcospbpdb Stąd: wykładnik Lyapunowa dla tego specyficznego przypadku jest 1 - iteracja jest w pełni chaotyczna.