Popločavanja, kristali, kvazikristali

1. Popločavanja, kristali, kvazikristali Franka Miriam Brückler Vladimir Stilinović

2. Kristali • Idealni kristali su oblika konveksnih poliedara. • Stalnost kutova • In plano axis laterum et numerum et longitudinem varie mutari, non mutatis angulis. • N. Stensen, 1669.

3. Jesu li kristali stvarno periodični? R. J. Haüy (1743.–1822.) 1801. Kristali se sastoje od sićušnih paralelepipeda koji se slažu jedan do drugoga – kristali su periodične građe. • Jesu – dokazano činjenicom da difraktiraju rentgensko zračenje.

5. Ako su kristalografi u pravu... • Neka je struktura periodična... • simetrija objektaX je izometrija f (euklidskog) prostora obzirom na koju je objekt invarijantan tj. f(X) = X • može se opisati kao f(x) = Ax+b s |det(A)| = 1 • f je rotacija ako je b=0 i det(A)=1 tj. ASO(3) • Eulerov teorem: u R3 to je stvarno rotacija u oko neke osi • najmanji mogući kut rotacije (koja je simetrija objekta)  > 0   najveći nN takav da je n = 2p– govorimo o osi rotacije reda n

6. Ako su kristalografi u pravu... • translacija za vektor b: tb(x) = x + b • objekt X u euklidskom prostoru posjeduje translacijsku simetriju ako postoji vektor b pripadnog vektorskog prostora t. d. tb(X) = X • obzirom na kristalografe, zanimaju nas objekti koji u n-dimenzionalnom prostoru posjeduju simetrije u n linearno nezavisnih smjerova e1,...,en (periodičnost) • ako je X takav i OX, onda X mora sadržavati beskonačno mnogo točaka tj. bar sve točke T takve da je predstavnik nekog vektora oblika s cjelobrojnim koeficijentima

7. Ako su kristalografi u pravu... • rešetka u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru, generirana nekom bazom {e1,...,en} tog prostora, je skup • često se gleda točkovna rešetka u euklidskom prostoru, uz odabrani koordinatni sustav (O; {e1,...,en}):

8. Ako su kristalografi u pravu... • Teorem (kristalografska restrikcija): Neka je X E3 objekt koji je periodičan. Ako X kao simetriju posjeduje rotaciju reda n, onda je n{1,2,3,4,6}. • Dokaz: • X periodičan obzirom na bazu {e1,...,en} kao podskup sadrži rešetku L’; neka je A rotacija reda n koja mu je simetrija (BSO: oko z-osi) za kut [0, • ona mora sve točke s cjelobrojnim koordinatama preslikavati u isto takve  obzirom na {e1,...,en} ima matricu s cjelobrojnim elementima • trag matrice je invarijanta  2cos()+1Z  {0,/3,/4,/2,}

9. Jesmo, u pravu smo... Na kristalima se zamjećuju samo određeni elementi simetrije: Centar inverzije (“simetrije”) Zrcalne ravnine Osi 2., 3., 4. i 6. reda.

10. Što su popločavanja? • popločavanje prostoraR2 (R3) je (prebrojiva) familija T zatvorenih skupova pi R2 (R3) prostora takva da vrijedi • pi = R2 (R3) • i,j int pi  int pj =  • moguće je dodatno zahtijevati da pločice osim geometrijskih imaju i neka druga svojstva (npr. boje) • generirajući skup je minimalni podskup PT sa svojstvom da nikoja dva elementa iz P nisu sukladna; elementi od P se zovu protopločice

11. Nije sve normalno... • moguća su čudna popločavanja • popločavanja kojima nisu sve pločice topološki diskovi, npr. pločice s rupama • popločavanja u kojima se (bar) dvije pločice sijeku u nepovezanom skupu • popločavanja u kojima (bar jedna) pločica nije uniformno ograničena • popločavanja u kojima nema takvih anomalija: normalna popločavanja

12. Još malo o popločavanjima • najčešće protopločice: poligoni (ne nužno konveksni) – obično se zahtijeva da nijedan vrh neke pločice ne leži unutar nekog brida neke druge • za dani kvadrat stranice 2r mogu se definirati brojevi t(r), e(r), v(r), kao brojevi pločica, bridova, strana popločavanja koje se nalaze u “dijelu popločavanja određenom tim kvadratom” (skupu svih pločica koje imaju neprazan presjek s tim kvadratom i sve koje su potrebne da njihova unija bude jednostavno povezan skup) • popločavanje je metrički uravnoteženo ako za r+ postoje limesi izraza t(r)/4r2, e(r)/4r2, v(r)/4r2 i nezavisni su o izboru kvadrata tj. možemo definirati broj vrhova, bridova i strana po jediničnoj površini

13. Periodična popločavanja • jednostavnosti radi gledamo euklidsku ravninu E2 • postoje dva nekolinearna vektora a i b te ograničen podskup ravnine (“jedinična ćelija”) C sa svojstvom da za svaku točku T postoje cijeli brojevi m, n te točka TCC takvi da je TCT = ma+nb • pripadna rešetka generirana je paralelogramom P određenim vektorima a i b • svako normalno periodičko popločavanje je metrički uravnoteženo

15. Koja je prava?

16. Kristalni sustavi • Postoji konačno mnogo tipova rešetki, obzirom na odnose baznih vektora tj. obzirom na simetrije rešetki – pet u ravnini, sedam u 3D-prostoru • a,b,c duljine baznih vektora, α,β,γ kutevi između po dva od njih

17. Kako klasificirati periodična popločavanja? • 17 grupa tapeta – prema simetrijama

18. Određivanje grupe tapeta: Odredi maksimalni red n rotacije i utvrdi postoji li bar jedno zrcaljenje. 1, da  postoje li klizna zrcala koja nisu zrcala: cm ,pm 1, ne  postoji li klizno zrcaljenje: pg, p1 2, da  postoje li zrcaljenja u dva različita smjera? da  postoje li centri rotacije na zrcalima: pmm, cmm ne  pmg 2, ne  postoji li klizno zrcaljenje: pgg, p2 3, da  jesu li svi centri rotacije na zrcalima: p3m1, p31m 3, ne  p3 4, da  postoje li zrcala koja pod kutem 45°: p4m, p4g 4, ne  p4 6, da  p6m 6, ne  p6

19. U trima dimensiama • prostorne grupe (230 komada) • određene mogućim kombinacijama simetrija koje imaju jednu fiksnu točku i simetrija rešetke • različite kompozicije simetrijskih operacija: tzv. složeni elementi simetrije (klizne ravnine, vijčane osi...)

20. Kvaziperiodična popločavanja • vrsta neperiodičnih popločavanja, no: iako nemaju translacijsku simetriju, nije potpuno nepravilno • svaki ograničen podskup takvog popločavanja (neprecizno, ali praktično, dakle kristalografima draže...) se ponavlja beskonačno mnogo puta

21. Penroseova popločavanja • 1974. – sir Roger Penrose (1931.-) • najpoznatija kvaziperiodična popločavanja svi uzorci su određeni s 5 smjerova pravaca pod međusobnim kutevima 72°, a susjedni pravci svakog smjera su udaljeni za jednu od 2 dužine koje su u omjeru Φ

22. Nekoliko zanimljivosti o Penroseovim popločavanjima • uvijek neperiodično • beskonačno mnogo različitih, nijedan konačan dio ne određuje cijelo popločavanje • svaki ograničen dio nekog PP se ponovno pojavljuje u tom PP (i u svakom drugom PP) • omjer zmajeva i strijela je Φ • može imati simetriju reda 5 (no kao i svako popločavanje, može imati samo jedan centar simetrije reda 5) • statistička simetrija reda 10

23. KVAZIKRISTALI A postoji li takovo što, zapravo? Though this be madness, yet there is a method in’t... Poligonalnog oblika ali s osima 5, 8, 10... reda. Difraktiraju rentgensko zračenje Kvaziperiodične strukture KRISTALI ???

24. Tako kažu !!! • Nova definicija kristala (IUCr, 1992): "by crystal we mean any solid having an essentially discrete diffraction pattern, and by aperiodic crystal we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent" KRAJ ... ?