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2 土中应力计算. 【职业能力目标】通过本章学习能准确计算土的自重应力、基底压力及土中的附加压力，能够灵活运用角点法计算出地基工程中的任意点的附加应力，为计算地基变形及地基承载力提供可靠数据。 【学习目标】能理解自重应力、基底压力及附加应力的基本概念，并掌握其计算方法，同时要注意地下水对其的影响。重点掌握在矩形、条形均布荷载作用角点下土中附加应力的计算及在实际工程的运用。. 2 土中应力计算. 2.1 土中自重应力 2.1.1 自重应力计算公式
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2土中应力计算 【职业能力目标】通过本章学习能准确计算土的自重应力、基底压力及土中的附加压力，能够灵活运用角点法计算出地基工程中的任意点的附加应力，为计算地基变形及地基承载力提供可靠数据。 【学习目标】能理解自重应力、基底压力及附加应力的基本概念，并掌握其计算方法，同时要注意地下水对其的影响。重点掌握在矩形、条形均布荷载作用角点下土中附加应力的计算及在实际工程的运用。
2土中应力计算 2.1土中自重应力 2.1.1自重应力计算公式 在计算土中自重应力时，假定天然地基是均质、连续、各向同性的半无限空间体，则在土体自重作用下，在z处水平方向上各点的自重应力均相等且无限分布。所以在自重应力作用下地基只产生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形。故认为土体中任意垂直面及水平面上只有正应力而无剪切应力存在。
2土中应力计算 如图2.1所示的土柱微体，当天然地面以下深度为z（m），土柱微体底面积为A（m2），土的天然重度为γ（kN/m3），则产生在z处单位面积上的自重应力为： σcz=γz （2.1） 由上式可见，均质土的自重应力与z成正比，随深度按直线分布，如图2.1（a）所示。 当深度z范围内有多层土组成时，则z处的自重应力为各土层自重应力之和。
2土中应力计算 （2.2） 式中n——从天然地面起到z的土层数； γi——第i层土的重度； zi——第i层土的厚度。 由式（2.2）计算出各土层分界处的自重应力，然后在所计算竖直线的左边用水平线段按一定比例表示各点的自重应力值，再用线加以连接（图2.1（b）中abcd所示），所得折线称为土的自重应力曲线。
2土中应力计算 2.1.2地下水对自重应力的影响 地下水位以下的土，一般呈饱和状态，由于受到水的浮力作用，其重度会减小。计算自重应力时，应采用水下土的浮重度γ′=γsat-γw（γsat为土饱和重度，γw为水重度）。如图2.2中A点自重应力为 σcA=γ1z1+γ2z2+γ′3z3 （2.3） 注：当地下水位有可能下降时，在水位变化部分，无黏性土采用天然重度计算；黏性土因其透水性能不好，可采用饱和重度γsat计算，计算结果偏于安全。
2土中应力计算 2.1.3不透水层的影响 岩石或只含强结合水的坚硬黏土层可认为是不透水层。在不透水层中不存在浮力作用，所以对不透水层层面以下部分的土的自重应力σcz进行计算时，应取上覆土和水的总重。如图2.2中 B点自重应力为 σcB=γ1z1+γ2z2+γ3′z3+γ4′z4 +γw（z3+z4）（2.4） 【例2.1】某工程地质柱状图及土的物理性质指标如图2.3所示。试求各土层界面处自重应力，并画出自重应力分布图。
2土中应力计算 2.2 基 底 压 力 2.2.1基底压力的分布 自重应力一般不会引起地基变形，正常固结的土在自重作用下的压缩变形早已完成。但有些堆积年代不久的土层（如新填土、冲填土等），可能有自重作用下的变形问题。附加应力则是建筑物沉降的主要原因，必须重点进行研究。 计算土中的附加应力，首先要知道基底压力分布。基底压力也称接触压力，是建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地基反作用于基础底面的反力。
2土中应力计算 基底压力分布很复杂，它与基础的刚度、地基土的性质、基础埋深及荷载大小等有关。当基础为绝对柔性时，抗弯刚度为零，基础随地基一起变形，其压力分布与荷载分布相同，变形为中间大两边小，如图2.4所示。基础为绝对刚性时，抗弯刚度为无限大，基础受荷后仍保持平面，各点沉降相同，基底压力分布为两边大而中间小，如图2.5所示。随着荷载进一步增加，基础两端地基土塑性变形不断发展，绝对刚性基础的基底压力分布将由马鞍形逐步发展为抛物线形和钟形，如图2.6所示。
2土中应力计算 图2.4绝对柔性基础压力分布 图2.5绝对刚性基础压力分布
2土中应力计算 图2.6刚性基础基底压力的分布形态
2土中应力计算 2.2.2基底压力的简化计算 2.2.2.1轴心受压基础的基底压力作用在基础上的荷载合力通过基础底面形心时为轴心受压基础，基底压力为均匀分布，如图2.7所示。 （2.5） 式中pk——基础底面处平均压力（kN/m2）； Fk——相应于荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面竖向力值（kN）；
2土中应力计算 Gk——基础自重设计值及其上填土的重力标准值（kN），Gk=γGAd 其中γG——基础及回填土的平均重度，一般为20kN/m3，但地下水位以下应取浮重度； d——基础埋深（m），当室内外标高不同时取平均高度； A——基础底面积（m2），矩形基础A=bl，b和l分别为基础的短边和长边，对荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取长度方向l=1m，A=b（m2），而对于Fk和Gk则为每延米的相应值（kN/m）。
2土中应力计算 2.2.2.2偏心受压基础的基底压力在基底的一个主轴平面内作用的偏心力或轴心力与弯矩同时作用时，则为偏心受压基础（图2.8）。 图2.8 偏心受压基底反力
2土中应力计算 （2.6） 式中pkmax、pkmin——相应于荷载效应标准组合时，基础底面最大、最小边缘压力（kN/m2）； Mk——相应于荷载效应标准组合时，作用于基础底面力矩值（kN·m）； e——偏心距（m）， e=Mk/（Fk+Gk)； l——垂直于力矩作用方向的基础底面边长（m）; W——基础底面的抵抗矩（m3），W=bl2/6。
2土中应力计算 由式（2.6）可见: 由于基底与地基之间不能承受拉力，故部分基底脱离于地基，使基底面积减小，基底压力重新分布。根据偏心荷载与基底反力平衡条件，荷载合力为（Fk+Gk），应通过三角形反力分布图的形心，得
2土中应力计算 （2.7） 式中a——偏心距合力作用点到pkmax处的距离（m）， b——基础底面宽度（m）。 2.2.3基底附加压力 在地基上的土开挖前，可认为地基土在自重应力作用下变形已稳定，地基上的土开挖后则可以认为自重应力消失。
2土中应力计算 建筑物建造后，作用于基底上的平均压力减去基底处原先存在于土中的自重应力，便得基底处的附加压力p0，见图2.9。 图2.9基底压力与基底附加压力
2土中应力计算 （2.8） 式中p0——相应于荷载效应准永久组合时，基底平均附加压力（kN/m2）； σcz——基底处的自重应力（kN）； γ0——基底标高以上土的加权平均重度（kN/m3），其中地下水位以下取浮重度 γ0=(γ1h1+γ2h2+…+γnhn)/h1+h2+…+hn； d——基础埋深（m），一般从天然地面算起，d=z1+z2 +…+zn；
2土中应力计算 p——相应于荷载效应准永久组合时，上部结构传至基础底面处的压力值。 2.3 土中附加应力 在外荷载作用下，土中各点均产生附加应力，且通过土料之间的传递向水平与深度方向扩散，附加应力逐渐减小，如图2.10所示。一般认为，在建筑工程中，应力增量不大，附加应力可以按弹性力系进行计算，即假定地基土是均匀、连续、各向同性的半无限线性变形体来计算土中附加应力。该假定与实测的地基应力值相差不大，所以工程上普遍应用这种理论。
2土中应力计算 2.3.1竖向集中力作用下土中附加应力 当在匀质的各向同性的半无限线性变形体表面上作用着一个竖向集中力P时，其内部离作用点一定距离的任意一点M（x，y，z）（图2.11）的应力和位移，由法国学者布辛奈斯克（J.Boussinesq）首先求解。图2.11集中力作用下土中M点应力计算现略去推导过程，列出深度方向的压应力公式 （2.9） 式中K——集中应力作用下土中附加应力系数，由式（2.10）求得或由表2.1查得
2土中应力计算 （2.10） R——M点与坐标原点的距离 利用式（2.9），可求出地基中任意点的附加应力值。
2土中应力计算 1.集中力作用线上σz 的分布 在集中力作用线上，r=0，由式（2.9）可知。当z→0时，σz→∞。表明集中力作用点附近σz很大，同时，也表明上式不适用于集中力作用处及其附近。因此，在选择计算点时，不能过于接近集中力作用点。 当z→∞时，σz→0。由此可知，在P的作用线上σz随深度增加而减小，如图2.12所示。 2.在任一水平线上σz的分布 此时z为定值。当r=0时，σz取最大值，随着z的增大，σz逐渐减小。若z增加，集中力作用线上σz减小,如图2.12所示。
2土中应力计算 图2.12集中力作用下土中附加应力分布
2土中应力计算 3.在r>0的竖直线上σz的分布 当z=0时，σz=0，随着z的增加，σz从零逐渐增大，至一定深度时，达到最大值，以后又逐渐减小，如图2.12所示。将地基中σz相同的点连接起来，可得如图2.13所示的σz等值线，其空间形状如泡状，称为应力泡。图中离集中力作用点越远，附加应力越小，这种现象称为应力扩散。 若地基表面有若干集中力，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，再根据应力叠加原理将它们相加，就得到了若干集中力共同作用产生的附加应力，如图2.14中。
2土中应力计算 图2.14附加应力叠加 图2.13应力泡
2土中应力计算 2.3.2均布矩形荷载作用下的附加应力 2.3.2.1均布矩形荷载角点下的附加应力 基础传给地基表面的压力都是面荷载。在面荷载作用下，土中附加应力可取一微元面积dxdy上的荷载表示集中力。在地基表面有一短边为b、长边为l的矩形面积，其上作用均布矩形荷载（图2.15），需求角点下的附加应力。
2土中应力计算 图2.15矩形均布荷载角点下附加应力
2土中应力计算 设坐标原点Ｏ在荷载面角点处，在矩形面积内取一微元面积dxdy，距离原点O为x、y，微元面积上的分布荷载以集中力dp=p0dxdy代替，则在角点下任意深度z处的M点，由该集中力引起的竖向附加应力dσz，可由有关公式计算出
2土中应力计算 2.3.2.2均布矩形荷载任意点下的附加应力 在实际工程中，常需求地基中任意点的附加应力。如图2.16所示的荷载平面，求O点下任意深度的应力时，可通过O点将荷载面积划分为几块小矩形面积，使每块小矩形面积都包含有角点O点，分别求角点O点下同一深度的应力，然后叠加求得，此方法称为角点法。 图2.16用角点法计算均布矩形荷载下的附加应力
2土中应力计算 （1） 矩形荷载面边上O点以下的附加应力(如图2.16（a）所示) （2） 矩形荷载面内O点以下的附加应力(如图2.16（b）所示) 当四块矩形面积相同，即在荷载面中点下时： （3） 矩形荷载面边缘外O点以下的附加应力(如图2.16（c）所示)
2土中应力计算 （4） 矩形荷载面角点外侧O点之下，如图2.16（d）所示，此时附加应力 以上计算在查表2.2时，矩形小面积长边取l，短边取b。 【例2.2】某荷载面积为2×2（m2），其上作用均布荷载p=200kPa，如图2.17所示。求荷载面积上点A、E、O以及荷载面积外点J、I各点下z=2m处的附加应力。 【解】（1）A点下的附加应力 A点是矩形ABCD的角点，其m=l/b=1，n=Z/b=1，由表3.3得Kc=0.1752。 则σA=αCP=0.1752×200=35.04KPa
2土中应力计算 图2.17 例2.2附图
2土中应力计算 （2）E点下的附加应力 通过E点将矩形荷载面积分成两个相等的矩形EBCG和EADG。对于面积EBCG，l=2mb=1m则m=l/b=2，n=Z/b=2，αc1=0.1202 则σE=2αC1P=2×0.1202×200=48.08KPa (3) O点下的附加应力 通过O点将矩形荷载面积分成4个相等的矩形，每个矩形l=1m，b=1m，则m=1，n=2，查表2.2得αc1=0.0840。 则σA=4αC1P=4×0.0840×200=67.2KPa
2土中应力计算 （4）J点下的附加应力 通过J点作矩形JIAH、JHDK、JIBF、JFCK。对于矩形JICH和JHDK，l=3m，b=1m，则有m=3，n=2，查表2.2得αc1=0.1314，对于矩形JFCK和JIBF，l=1m，b=1m，则有m=1，n=2，查表2.2 得αc2 =0.0840 。 则σJ=2（αC1-αc2）P=2×（0.1314-0.0840）×200=18.96KPa (5) I点下的附加应力 通过I点作矩形IADK和IBCK，对于IADK，l=3m，b=2m，m=1.5，n=1，查表2. 2得αc1=0.1933，对于IBCK，l=2m，b=1m，m=2，n=2，查表3.3得αc2 =0.1202 则σI=（αC1-αc2）P=2×（0.1933-0.1202）×200=14.62KPa
2土中应力计算 2.3.3均布条形荷载作用下土中附加应力计算 2.3.3.1均布线形荷载作用下土中附加应力计算地基表面作用线形均布荷载，如图2.18所示求地基中任意点M的附加应力。在线荷载上取微元dy，其上荷载dy可看成集中力，将它在M点引起的附加应力dσz在长度上积分，即得线荷载作用下地基中任意点的附加应力的弗拉曼（Flaman）解
2土中应力计算 图2.18均布线形荷载作用下土中附加应力图 图2.19均布条形荷载作用下土中附加应力图
2土中应力计算 2.3.3.2均布条形荷载作用下土中附加应力计算 地基表面作用宽度为b的条形均布荷载p且沿y轴无限延伸，如图2.19所示，求地基中任意点M的附加应力时，可由式（2.15）在宽度方向积分得到
