Fenómenos de transporte

1. Fenómenos de transporte Resolución de EDO utilizando métodos numéricos con ayuda de computadora Dr. Edgar Ayala Herrera

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias SoluciónNumérica

3. EDO- EcuaciónDiferencialOrdinaria • EcuacionDiferencial: Ecuacionesqueinvolucran variables dependientes y susderivadascon respecto a las variables independientes son llamadasecuacionesdiferenciales. • EcuacionDiferencialOrdinaria: ecuacionesdiferencialesqueinvolucransolamente UNA variable independiente son llamadasecuacionesdiferencialesordinarias. • EcuaciónDiferencialParcial: : ecuacionesdiferencialesqueinvolucran dos o mas variables independiente son llamadasecuacionesdiferencialesparciales.

4. Soluciones de EDOs Analítica y Numérica Método de Solución Numérica Método de Solución Analítica

5. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias • La solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria así como ecuaciones diferenciales parciales se llama la " solución de la forma cerrada” • Esta solución requiere que las constantes de la integración estén evaluadas usando valores prescritos de variable(s) independiente(s).

6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias • En el mejor de los casos, solamente algunas ecuaciones diferenciales se puede solucionar analíticamente en una forma cerrada. • En la mayoría de los problemas prácticos de la ingeniería que implican ecuaciones diferenciales requieren el uso de métodos numéricos.

7. Metodos de un solo paso • El objetivo consiste en solucionar una EDO en forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir de un punto anterior (xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h) h y yi+1 yi y(x) x xi xi+1

8. h y yi x Metodo de Euler • Permite resolver una EDO de primer orden de la forma: yi+1 xi xi+1 Valor nuevo= Valor anterior + (Tamañodel paso) x (Pendiente)

9. Metodo de Euler • La primera derivadaproporciona un estimadodirecto de la pendiente en xi • La ecuaciónesaplicadaiterativamente, un paso a la vez, sobreunadistanciapequeñaparareducir el error • Poresto se conocecomométodo de un solo paso.

10. EJEMPL0 Para la condición inicial y(1)=1, determine y para h = 0.1 analíticamente y usando el método de Euler:

12. C.I.. Tamaño del paso dy/dx Recordar la solución analítica fue 1.4413.Si reducimos el tamaño del paso a 0,05 y aplicamos Euler dos veces

13. Obtenemos: Recordar la solución analítica es 1.4413

14. Método del Disparo Sea la ecuaciondiferencial de segundoorden con condiciones de frontera: Consiste entransformar el problema de valor frontera en un problema de valor inicial, suponiendounapendientes, luego se desarrolla un métodonuméricoparaencontraruN(s), se compara con B, siestosvalores no son aproximados se siguesuponiendopendienteshastadar en el blancoB.

15. Método del Disparo El problema de valor inicialresultante:

16. Método del Disparo

17. Método del Disparo

18. Método de Disparo Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria: y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1. Solución.- Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:

19. Método de Disparo Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla:

20. Método de Disparo Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:

21. Método de Disparo Calculando una nueva pendiente aproximada s1:

22. Método de Disparo Mediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:

23. Condiciones de frontera. • Para fluidos en movimiento se considera dos puntos importantes: • 1. En la interface sólido-líquido (paredes) la capa del fluido pegada al as paredes no se mueve, sin embargo, adquiere la velocidad con la que se desplaza la pared. • τ=τmax

24. 2. En el centro del perfil: la velocidad en este punto es máxima, por lo que el esfuerzo de corte es cero (τ=0).

25. Flujo a través de un tubo circular

29. Esta ecuación establece la relación que existe entre la velocidad volumétrica de flujo y las fuerzas que lo originan, para poder usar esta ecuación se tienen que usar las siguientes condiciones: • 1. Flujo laminar • 2. Densidad constante • 3. Estado estacionario • 4. Fluido Newtoniano • 5. Efectos finales despreciables • 6. Medio continuo • 7. No hay deslizamiento en la pared

30. FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO NEWTONIANO EN UNA TUBERIA HORIZONTAL • OBJETIVO. Resolución de balance de momentos para obtener el esfuerzo cortante y los perfiles de velocidad para un fluido Newtoniano, en flujo laminar en una tuberia horizontal y comparación de las resoluciones numéricas y analíticas.

31. MÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS • Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden simultaneas, empleando una técnica de disparo para converger en las condiciones frontera deseadas, utilización de variables combinadas.

32. ELEMENTO DIFERENCIAL PARA EL TRATAMIENTO DEL FLUJO LAMINAR EN UNA TUBERIA HORIZONTAL

33. Un balance de momento de una capa de líquido para un volumen de control en la tubería da lugar a una ecuación diferencial. ecu. (1) Donde r esta en m y τ para el radio r esta en kg/ms2 , ΔP caída de presión kg/ms2 , longitud L en m. Para un fluido Newtoniano el esfuerzo cortante (o momento o impulso de flujo) esta linealmente relacionado con el gradiente de velocidad por.

34. ecu. (2) • Donde µ esta en kg/m s. • Las condiciones frontera para las ecu. 1 y 2 • rτrx = 0 a r = 0 (3) • Vx = 0 a r = R (4)

35. EJERCICIO • Resuelva numéricamente las ecu. 1 y 2 con las las condiciones frontera dadas en las ecu. 3 y 4 para el agua a 25 0C, con µ = 8,937x10-4 kg/ms, ΔP=500 Pa, L = 10m y R=0.009295m. • Utilizar un solucionador de EDO con una técnica de disparo y emplear una técnica para converger en la condición frontera dada. • Compare el esfuerzo cortante calculado y los perfiles de velocidad con las condiciones frontera dadas.

36. SOLUCION • La ecu.2 puede escribirse de la forma: • (5) • No hay necesidad de utilizar la regla de la cadena de cálculos diferenciales para resolver la derivada para resolver la ecu. 1 con objeto de separar la derivada dτrx/dr. En lugar de seguir este procedimiento en este caso y en la mayoría de los problemas, se recomienda que se retenga la variable combinada τrx, y que se utilice la ecu. Algebraica para calcular las variables independientes. En este caso la ecu. Algebraica es: (6) La resolución de las ecuaciones diferenciales requiere de una condición inicial para vx=0 para r=0, para las condiciones frontera dadas para vx=o se cumplan para r=R. Se utilizara el método de disparo para determinar esta condición inicial.

37. Como primera prueba • Se puede utilizar una condición para vx, como primera prueba, siendo vx=2.0, para integrar las ecuaciones y calcular el error en la condición frontera para v, a r=R, este error se puede definir como Є, que es la diferencia entre la solución numérica y el valor final deseado de vx a r=R. • En este problema, vx=0 indica que no hay velocidad en la pared de la tubería

38. CODIGO POLYMATH Línea Ecuación • d(Vx)/d(r)=-TAUrx/mu • d(rTAUrx)/d(r)=deltaP*r/L • deltaP=500 • L=10 • TAUrx=if(r>0)then(rTAUrx/r)else(0) • mu=8,937e-4 • R=,009295 • err=Vx-0 • r(0)=0 • Vx(0)=1,20842 • rTAUrx(0)=0 • r(f)=0,009295