Geometria euclidea, affine e proiettiva

1. Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2008/09 Presentazione del corso g.e.a.p. 08/09 1

2. Quante geometrie? Felix Klein, 1872, “Programma di Erlangen” S, insieme di punti G, gruppo di trasformazioni di S una teoria geometrica di S consiste nello studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppoG g.e.a.p. 08/09 1

3. Figure equivalenti rispetto a G Dati • F, F’ sottoinsiemi di S, figure • φЄG, φ: S → S bigettiva (trasformazione) diremo che • F è equivalente a F’ rispetto a G , F G F’ se F = φ(F’) Esercizio • La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva g.e.a.p. 08/09 1

4. Dal programma di Klein segue: se la geometria dello spazio S dotato del gruppo G è la ricerca e lo studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G, allora figure equivalenti rispetto a G hanno le stesse proprietà geometriche. g.e.a.p. 08/09 1

5. Trasformazioni in natura: ombre • Raggi del sole a perpendicolo: figura e ombra hanno lati e angoli uguali (isometria, trasformazione euclidea) • Lampada sulla verticale: figura e ombra sono simili • Figure da M. Menghini g.e.a.p. 08/09 1

6. Altre ombre e trasformazioni • Ombra prodotta dai raggi del sole: i quadrati diventano parallelogrammi, trasformazione affine • Ombra da una lampada: i quadrati si proiettano in quadrilateri generici, proiettività • Figura da M. Menghini g.e.a.p. 08/09 1

7. Perché la geometria proiettiva? E’ il modello matematico che spiega l’insieme delle tecniche – la prospettiva-trovate dai pittori del Rinascimento • Leon Battista Alberti, De pictura, 1435 • Piero della Francesca, De prospectiva pingendi, 1482 • Albrecht Dürer, L’arte della misura, 1525 g.e.a.p. 08/09 1

8. Pittura e geometria poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principi a tutti i giovani che vogliono apprendere l’arte...(A. Dürer) • Dürer è in Italia, dove, a Venezia nel 1505 viene stampata Ottica, di Euclide • Gli studi sulla prospettiva trovano compimento nell’opera di Desargues, La prospettiva, 1636 • http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html g.e.a.p. 08/09 1

9. Che cosa è la prospettiva? • Per farcene un’idea, cominciamo osservando alcuni quadri • Molte fra le immagini che seguono sono tratte dal CD allegato al testo “Le geometrie della visione” di Catastini-Ghione • Per i disegni, è stato usato un software di geometria g.e.a.p. 08/09 1

10. Confrontate questo dipinto… Duccio da Boninsegna (ca. 1255-1319) Nozze di Canaan g.e.a.p. 08/09 1

11. …con questo dipinto Raffaello Sanzio (1483-1520) Sposalizio della vergine g.e.a.p. 08/09 1

12. g.e.a.p. 08/09 1

13. g.e.a.p. 08/09 1

14. Il modello della piramide visiva(figura da E.Danti, 1536-1586) g.e.a.p. 08/09 1

15. I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in un piano g.e.a.p. 08/09 1

16. Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta g.e.a.p. 08/09 1

17. Corrispondenza tra retta osservata e retta immagine • Supponiamo che l’occhio segua un punto P che si muove lungo una retta… • C:\Documents and Settings\daprile1\Documenti\geap0809\rettaguardata.fig • La corrispondenza P P’ è una bigezione tra le due rette? g.e.a.p. 08/09 1

18. Ci sono delle eccezioni • C’è un punto I sulla retta guardata che non ha corrispondente sul quadro e c’è un punto J sul quadro che non è immagine di nessun punto sulla retta osservata. • Le eccezioni sono dovute all’esistenza di rette parallele. • Come vengono viste nel quadro due rette parallele del pavimento? g.e.a.p. 08/09 1

19. Rette parallele sono visteincidenti g.e.a.p. 08/09 1

20. Il punto di fuga g.e.a.p. 08/09 1

21. Punti all’infinito • Le immagini di due rette parallele si intersecano in un punto, il punto di fuga • che si può pensare come immagine di un punto lontano, dove convergono le due rette parallele, il punto all’infinito delle due rette • La proiezione dall’occhio, corrispondenza quasi biunivoca tra una retta e la sua immagine, diviene bijettiva con l’introduzione dei punti all’infinito g.e.a.p. 08/09 1

22. In linguaggio simbolico Siano: • r la retta osservata dall’occhio O • r’ la retta sezione del piano del quadro con il piano di O ed r • nel fascio di centro O, p la retta parallela ad r, p’ la parallela ad r’ • I = rp’, J =r’p • R il punto all’infinito di r • R’ il punto all’infinito di r’. g.e.a.p. 08/09 1

23. Proiezione di centro O È l’applicazione O: r  r’, definita come segue • se Pr, PI, P R, O(P) = P’ , tale che O,P,P’ siano allineati • se P = I, O(P) = R’ • se P = R, O(P)= J O è una bijezione g.e.a.p. 08/09 1

24. La proiezione, come funzione dallo spazio al quadro • Ogni punto P, diverso da O, ha una immagine P’ sul quadro • se la retta OP è parallela al quadro, l’immagine di Pè un punto della retta limite, o orizzonte • Ogni punto P’ del quadro è immagine di infiniti punti, appartenenti alla retta OP’ g.e.a.p. 08/09 1

25. Da un’applicazione non iniettiva… Siano: S lo spazio,  il piano del quadro,  un piano che non passi per O. L’applicazione non iniettiva “proiezione da O” O: S \   induce un’applicazione O|:  , che è iniettiva se ai due piani si aggiungono i punti impropri g.e.a.p. 08/09 1

26. La proiezione del pavimento • Ogni puntoP’ del quadro è immagine di un solo P del piano del pavimento: la proiezione da O è biunivoca tra pavimento e quadro • Linea di terra: retta comune ai due piani; i punti della linea di terra hanno come immagine se stessi • I punti all’infinito del pavimento hanno come immagine i punti “di fuga”, o punti della retta “limite”, o dell’”orizzonte” g.e.a.p. 08/09 1

27. Il pittore disegna su un semipiano • Gli interessa la corrispondenza tra il pavimento al di là del quadro e il quadro • Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua immagine nel quadro descrive un segmento g.e.a.p. 08/09 1

28. Iniziare dal pavimento • La raffigurazione del pavimento è un espediente per dare la sensazione di profondità • Alle tecniche empiriche usate nelle botteghe del suo tempo, Piero della Francesca sostituisce una tecnica basata sullo studio di una trasformazione della geometria proiettiva, detta “omologia” g.e.a.p. 08/09 1

29. L’omologia di Piero della Francesca g.e.a.p. 08/09 1

30. Il pavimento e le alzate g.e.a.p. 08/09 1

31. Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi g.e.a.p. 08/09 1

32. La città ideale(scuola di Piero della Francesca o L. B. Alberti ?) g.e.a.p. 08/09 1

33. Scopo del corso • Conoscere i fondamenti della geometria proiettiva • Classificare le trasformazioni del piano proiettivo in sé, riconoscendo tra queste l’omologia di Piero • Studiare le geometrie affine ed euclidea come sottogeometrie della geometria proiettiva • Costruire le classificazioni proiettiva, affine, metrica delle curve piane del secondo ordine (coniche) g.e.a.p. 08/09 1

34. Indice indicativo • Il piano proiettivo come ampliamento del piano della geometria elementare • Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, proiettività tra rette • Spazi proiettivi, dualità • Proiettività del piano, omologia • Affinità, isometrie • Polarità, coniche e quadriche • Classificazioni proiettive e affini g.e.a.p. 08/09 1

35. Prequisiti al corso • Geometria analitica elementare: • equazioni cartesiane e parametriche di rette e coniche nel piano, • di rette, piani, cilindri, sfere nello spazio. • Sistemi lineari: • il teorema di Rouché-Capelli, autosoluzioni di un sistema lineare omogeneo. • Algebra lineare: • spazi vettoriali, sottospazi, dimensioni, formula di Grassmann, • applicazioni lineari e matrici associate, nucleo e immagine di un’applicazione lineare, relazione tra rango della matrice e dimensioni del nucleo e dell’immagine dell’applicazione associata alla matrice; • autovalori e autovettori g.e.a.p. 08/09 1

36. Testi • Beltrametti, Carletti, Gallarati, Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino, 2002 • Catastini-Ghione, Le geometrie della visione, Springer, 2003, http://www.mat.uniroma2.it/mep • Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989 • Stillwell, The four pillars of geometry, Springer, New York, 2005 g.e.a.p. 08/09 1

37. Siti utili • Siti di storia: • http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html • http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Architecture.html • Altri siti di geometria • www.treccani.it/site/Scuola/Zoom/prospettiva/scuola_zoom.htm • Appunti ed esercizi del corso e altri materiali http://www.mat.unical.it/%7Edaprile/Materiali.htm g.e.a.p. 08/09 1

38. Aiuti allo studio • Un compito a casa ogni settimana (per sette volte, possibilmente) • esercitazione scritta a metà corso influiscono sul voto finale Proposta, basata sull’esperienza dell’anno scorso: indicato con v il voto della prova intermedia, • Se v < 18 , non ha nessun effetto sul voto finale • Se 18  v  26 , viene aggiunto 1 punto al voto finale • Se 27 v  30 con lode , vengono aggiunti 2 punti al voto finale. • A chi consegna almeno la metà dei compiti , viene aggiunto un punto • Se invece almeno quattro compiti a casa erano corretti, due punti g.e.a.p. 08/09 1

39. Aiuti allo studio Ricevimento lunedì dalle 14.30 alle 16, sesto piano (livello ponte carrabile) per appuntamento: tel. 0984/496452, posta el.m.daprile@unical.it • Esame scritto e orale sugli argomenti svolti nelle lezioni. E’ obbligatoria la prenotazione https://didattica.unical.it/ • Tutor? g.e.a.p. 08/09 1