przy obliczaniu granic

1. Twierdzenia o granicy funkcji i ich zastosowanie przy obliczaniu granic Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2. Czy obliczanie granic funkcji jest trudne ? Oczywiście jest to retoryczne pytanie, gdyż wiadomo, że to zależy od postaci funkcji, od znajomości twierdzeń o granicach funkcji, od umiejętności przekształcania wyrażeń dzięki którym otrzymamy wyrażenia o prostszej postaci. Przypomnijmy podstawowe twierdzenia o granicach funkcji, które są analogiczne do twierdzeń o granicach ciągów. Tw. 1 o ile one istnieją Tw. 2 j.w Tw. 3 j.w . Następne twierdzenie najczęściej stosowane Tw. 4 gdzie c - constans W oparciu o te twierdzenia można obliczyć tylko granice bardzo prostych funkcji, ale tu trzeba mieć pewne doświadczenie. 2

3. Jak wiemy obliczając granice bardzo prostych funkcji , np. natrafiamy na granice pewnych typów, które nazwaliśmy symbolaminieoznaczonymi: i inne np. W powyższych przypadkach możemy tak dobrać funkcje, aby ich granicebyły z góry dowolnie zadanymi liczbami. Zatem, w takich sytuacjach, gdy nic więcej nie wiemy o funkcjach tych granic nie możemy wyznaczyć. Granice te zależą od przepisówtych funkcji. W tych przypadkach, należy przekształcić postać funkcji tak, by po skorzystaniu z odpowiednich twierdzeń,pozbyć się granic postaci nieoznaczonej. Przekształcenia te, są zależne od typu granicy i postaci funkcji.

4. Czasem wystarczy wyłączyć przed nawias, innym razem skrócić lub rozszerzyć ułamek ( np. przez sumę czy różnicę ) bądź, rozłożyć na czynniki licznik i mianownik i.t.p. Czasem a szczególnie przy granicach jednostronnych musimy znać twierdzenie : Tw. 5 Zastosujmy powyższe twierdzenia o granicach funkcjiw przykładach: Zad 1. Wyznaczmy granicefunkcji uzasadniając każdy krok.

5. Powyższego zapisu na ogół nie stosujemy, jest on długi, niewygodny i w trakcie obliczeń ciągle wykorzystujemy te same twierdzenia. Dlatego też w następnych przykładach będziemy pisaćkrócej (ale,mam nadzieję, że nie trzeba nikogo przekonywać o konieczności znajomości tych twierdzeńi uzasadnieniu obliczeń ). Ponadto w takich przypadkach jak powyżej, granice wyznaczamy prościej,korzystając z faktu, że funkcja taka jest ciągła w D. Gdy punkt w którym obliczamy granicę należy do dziedziny funkcji ciągłej to granica w tym punkcie jest wartościąfunkcji w tym punkcie. Zad 2. Zad 3. Analizujemy jakiego typu jest to granica Jak widać nie ma problemu ( do czego dążą wyrazy danego wyrażenia ). Zad 4. Typ granicy ? Symbol nieoznaczony W trzech składnikach trzeba pozbyć się nieskończoności. Wyłączyć „największy” składnik przed nawias. Jak ?

6. Czy uwagi, które przekazywałem były Wam potrzebne ? Nie, jeżeli umiecie obliczać granice ciągów bo czynności,przekształcenia wyrażeń są dokładnie takie same. Zad 5. Zad 6. Zad 7. Zad 8. Wykonywaliśmy te same czynności co poprzednio i niestety mamy znowu symbol nieoznaczony. Co zrobić ? Kto pamięta jak obliczaliśmy granice ciągów podobnej postaci, wie. Wyrażenie pomnożyć i podzielić przez sumę wyrażeń.

7. Zad 9 Zad 10. 2 jest pierwiastkiem licznika i mianownika licznik i mianownik rozkładamy na czynniki Zad 11. Zad 12. Spróbujmy rozszerzyć przez ……

8. Zad. 13. Zad. 14 Zad. 15 Pamiętamy takie wyrażenia ? Zad. 16 Rozszerzamy przez sumy Skracamy przez

9. Zad. 17 Po jakich znakach dąży do zera ? Zad. 18 Zad. 19 bo mianownik dąży do 0 po wartościach dodatnich i ujemnych, co widać na wykresie mianownika W takich przypadkach rozpatrujemy granice jednostronne. 19 b. 19 a. Dlaczego w mianowniku przy 0 dopisaliśmy + , _ , widać na wykresie. Podobnie, 19 d. 19 c. Zad. 20

10. Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23

11. W następnych zadaniach będziemy korzystać z twierdzenia o granicy funkcji szczególnej postaci : Dowód w prezentacji : @ Granice szczególnych funkcji @ Zad. 24 Niestety, do tych zadań trzeba znać trygonometrię. Zad. 25 Aby znikł tgx, rozszerzamy przez cosx Zad. 26 ? Zad. 27 Zad. 28

12. Zad. 29 Zad. 30 Pomimo, że obliczyliśmy 30 granic różnych funkcji, chyba zdajemy sobie sprawę z tego, że jak na razie potrafimy obliczać granice funkcji tylko bardzo prostych, funkcji szczególnych postaci ( tak samo było przy granicach ciągów ). Ale, aby można było powiedzieć, że umiemy wyznaczać granice nawet dla niewielkiej rodziny funkcji, należy przerobić trochę ćwiczeń. Proponuję obliczyć granice funkcji : a ) b ) c )

13. d ) e ) f ) g ) h ) i ) Wykonanie tych zadań daje dużą szansę, że na poziomie szkoły średniej obliczanie granic funkcji nie będzie sprawiało kłopotu. Zainteresowani matematyką ( uczniowie klas matematycznych ) poznają później twierdzenia, dzięki którym będzie można obliczyć granice bardziej skomplikowanych funkcji.

14. Na koniec tej prezentacji jeszcze raz lecz w skróconymzapisie, przedstawmy twierdzenia o granicy funkcji w szczególnych przypadkach : Symbol oznacza: dąży do 0 po wartościach dodatnich ( ujemnych ). gdy dąży do 0 po wartościach o różnych znakach Aby widzieć po jakich znakach mianownik dąży do 0 warto narysować jego wykres. Opr. WWW. i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl Koniec prezentacji