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LES NOMBRES

LES NOMBRES. Les différentes formes de calcul. Programme de Cinquième : Partie 2 « Nombres et calculs ».

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  1. LES NOMBRES

  2. Les différentes formes de calcul Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  3. Programme de Cinquième : Partie 2 « Nombres et calculs » Toutes les activités numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, automatisé ou réfléchi, calcul posé, emploi d’une calculatrice. Plusieurs objectifs : - prévoir des ordres de grandeur, - opérer en conservant l’écriture fractionnaire, - utiliser le vocabulaire approprié. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  4. Programme de Quatrième : Partie 2 « Nombres et calculs » La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) a pour objectifs : - la maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées, - l’acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres, - la réflexion et l’initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un nombre suivant la situation. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  5. Les formes de calcul Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  6. Nous nous intéressons ici au calcul mental. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  7. Le calcul mental est • utile au quotidien • indispensable pour acquérir des automatismes • indispensable pour un calcul posé • un moyen de vérification de calcul • une aide à la mise en place de relations entre calculs et raisonnement • nécessaire pour acquérir des représentations mentales de certaines notions Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  8. Quels types de travaux en calcul mental ? • calculs élémentaires : techniques opératoires. • enrichissement des conceptions numériques des élèves. • « calcul exact » – « calcul approché » : approximations, ordres de grandeurs… • utilisation des propriétés de l’algèbre pour le traitement mental de calculs divers. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  9. mémorisation des formules (algébriques, géométriques, liées aux grandeurs, ...) • mémorisation de situations d’apprentissage qui ont donné naissance à de nouvelles techniques ou a de nouvelles notions : faciliter les images mentales • utilisation du vocabulaire • utilisation de la calculatrice à bon escient. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  10. Des problèmes en calcul réfléchiDes exemples en Cinquième • Léa collectionne des timbres. Elle en possède 140. Elle en donne 20 %. Combien lui reste-t-il de timbres ? • Simplifier la fraction suivante • Combien faut-il de carrés de 10 centimètres de côté pour recouvrir un carré de 30 centimètres de côté ? • Combien y a-t-il de tiers dans 15 unités ? • 3 cm + 65 mm = • Vrai ou faux ? a) La somme de trois quarts et de un huitième est supérieure à 1.b) La somme de deux entiers négatifs est toujours négative. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  11. Quel nombre dois-je ajouter à -23 pour obtenir 12 ? • Que vaut x dans l’équation : 3x = 17 ? (Le but est de revenir à la définition du nombre a/b) • On divise un nombre par 7. Le quotient est 4 et le reste 5. Quel est ce nombre ? • Alain a mangé un quart du gâteau, sa soeur Béatrice a mangé le tiers du reste. Qui en a mangé le plus ? • Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 2 et par 3. • Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 3 mais pas par 5. • Marie possède x euros. Jean en possède deux fois plus. Combien ont-ils d’euros à eux deux ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  12. Des problèmes en calcul réfléchiDes exemples en Quatrième • Que vaut le carré de 6 ôté du carré de 8 ? • Un carré a une aire de 81 cm2, combien mesure son périmètre ? • Quel est le quotient de 62 par 32 ? • Que vaut 3a - 2b si a = 5 et b = 4 ? • Résoudre les équations 3 x = 7 ; 8 x = 60 (L’objectif est de faire appel à la définition du nombre a/b) • Vrai ou faux ? a) Le quotient de deux entiers de signes contraires est toujours positif. b) Lorsqu’on double la mesure d’un angle aigu on obtient la mesure d’un angle obtus. c) La somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. d) Il existe des nombres dont le carré est égal à leur double. e) Le carré d’un entier pair est divisible par 4. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  13. Calcul mental à la maison.Un exemple de fiche auto-corrigéeClasse de cinquième Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  14. Entrée Sortie (par le bas) Calcul mental et calcul littéral • Si x = 5, calculer 3x ; 4x ; -6x ; 7 + x ; x/2 + x ; 5x – 2,4 • Si a = -3 et b = 2, calculer ab ; b – a ; 5a + 3b ; 2b – 4b • Le labyrinthe Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  15. Programmes de calcul Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  16. Faire fonctionner les deux programmes avec les nombres 1 puis 2 puis 3. • Que peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle vraie ? • J’ai trouvé 118 avec les deux programmes. Quel nombre ai-je choisi au départ ? • (On peut envisager un travail avec le tableur pour répondre aux questions) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  17. Calcul mental : périmètre et aire • Calculer l’aire et le périmètre de chacun des triangles ABC suivants quand cela est possible. • Calculer l’aire et le périmètre du parallélogramme suivant. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  18. Les écritures fractionnaires du cycle 3 au collège Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  19. Programme Cycle 3 • La fraction est liée au partage, au fractionnement d’une grandeur. • Le partage des longueurs peut se faire • par pliage • à l’aide d’un réseau de droites parallèles équidistantes. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  20. Programme Cycle 3 Partage en 3 parties égales Partage en 5 parties égales Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  21. Programme Cycle 3 est lu « sept tiers » et évoque ce qui est obtenu en partageantl'unité en 3 parties égales et en reportant 7 de ces parts. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  22. Programme Cycle 3 Les fractions donnent du sens aux nombres décimaux. En partageant le mètre comme unité : 2,405 m = 2 m + 4 dm + 5 mm = 2 m + 405 mm On prépare l'approche du nombre : On encadre une fraction simple par deux entiers consécutifs. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  23. Programme Sixième • est un nombre. On part d’une situation problème, par exemple : On souhaite partager un segment de longueur 7 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau ? La longueur d'un morceau est « le tiers de sept ». Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  24. Programme Sixième Mais pourquoi « le tiers de sept » est-il égal à « sept tiers » ? 1 unité sept tiers le tiers de sept 7 unités Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  25. Programme Sixième Les nombres en écriture fractionnaire permettent notamment de résoudre certains problèmes de proportionnalité là où les nombres décimaux ne suffisent pas tout en gardant les mêmes procédures de traitement (généralisation du « nombre de fois »)  3 4 kg 12 kg ? 15 €  3 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  26. Programme Sixième Nombre qui, multiplié par 10, donne 12  1,2 ou 10 kg 12 kg 7,23 € ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  27. Programme Sixième  Nombre qui, multiplié par 7, donne 12 7 kg 12 kg 15,47 € ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  28. Évaluation diagnostique en Cinquième Les égalités à trous a) 4  …… = 20 e) 5  …… = 2 b) ……  7 = 7 f) ……  2 = 1 c) 16  …… = 432 g) 0  …… = 3 d) 15  …… = 48 h) 3  …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  29. Les égalités à trous Utilisation des tables : 100% a) 4  …… = 20 e) 5  …… = 2 b) ……  7 = 7 f) ……  2 = 1 c) 16  …… = 432 Réponse exacte : 85 % g) 0  …… = 3 d) 15  …… = 48 h) 3  …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  30. Les égalités à trous a) 4  …… = 20 Recours à la division : 35 % Essais successifs : 25 % Pas de réponse : 25 % e) 5  …… = 2 b) ……  7 = 7 f) ……  2 = 1 c) 16  …… = 432 g) 0  …… = 3 d) 15  …… = 48 Réponse exacte (3,2) : 20 % « Le nombre n’existe pas » : 25 % Pas de réponse : 40 % h) 3  …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  31. Les égalités à trous a) 4  …… = 20 e) 5  …… = 2 b) ……  7 = 7 Réponse juste (quotient fractionnaire) : 0 % Impossible : 55 % Pas de réponse : 35 % f) ……  2 = 1 c) 16  …… = 432 g) 0  …… = 3 d) 15  …… = 48 h) 3  …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  32. Une remédiation Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. 3  ? = 4 … Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ? Quelle égalité peut-on déduire du travail précédent ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  33. Une remédiation Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. 3  ? = 4 … Réponse juste : (avec 3 bonds, elle tombe « sur le point d’abscisse 4 » ): 85 % Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ? Un quart des élèves écrivent l’égalité 3  OA = 4 …Il reste à déterminer OA …. Quelle égalité peux-tu déduire du travail précédent ? …Et à conclure : 3  = 4 (1 élève pense à l’écriture fractionnaire) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  34. Pour favoriser la réussite la technique de multiplication d’un nombre entier par un nombre décimal : • le raisonnement sur le dernier chiffre • l’ordre de grandeur • multiplication par un nombre plus petit que 1 Exemple Le concept d’égalité Valeur exacte et valeur approchée d’un nombre Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  35. Addition de nombres en écriture fractionnaire Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  36. Étape  Complète l’égalité Les élèves eux-mêmes vont démontrer, dès le début de l’apprentissage, que l’intuition première (additionner les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble) est incorrecte. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  37. Étape  Calcule • 12 : 3 + 6 : 2 • 11 : 3 + 7 : 3 • 7 : 3 + 10 : 6 • Changer de stratégies selon les calculs proposés. • Extension de la règle de distributivité de la multiplication sur l’addition à la division : Pour tous les nombres a, b et k avec k  0 a : k + b : k = (a + b) : kD’où une remarque sur la nécessité d’avoir la division par un même nombre. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  38. Fraction proportion Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  39. En cinquième Une écriture fractionnaire peut être utilisée pour désigner une proportion. exprime la relation entre une partie d'une population et la population totale (lien avec la fréquence statistique). Exemple: la proportion de filles dans le collège est Les écritures 6/10 0.6 .6 0,6 60% sont rencontrées pour désigner cette fréquence : elles permettent d'insister sur les diverses écritures d'un même nombre et de préciser leurs utilisations. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  40. En cinquième 1er exemple d’exercice : Le collège de la ville voisine a un effectif de 735 élèves. 315 d'entre eux sont demi-pensionnaires. Le dernier bulletin du conseil général annonce que « 3 élèves sur 7 sont demi-pensionnaires ». Que penser de cette affirmation ? Dans un autre collège de 645 élèves, seulement 129 élèves sont demi-pensionnaires. Comment sera traduite cette information dans le bulletin ? • Découverte de la notion de proportion • Nombres en écriture fractionnaire égaux • Écriture d'une proportion à partir de la donnée d'effectifs Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  41. En cinquième 2e exemple d’exercice : Voici trois situations. Auxquelles peut-on associer la proportion 2 sur 3 ? • Dans la classe, 2 élèves sur 3 habitent à moins de dix minutes du collège. • Dans la classe, 2 filles et 3 garçons sont inscrits à l’UNSS. • Dans la classe, 16 élèves sont demi-pensionnaires et 8 sont externes. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  42. En cinquième 3e exemple d’exercice : Le principal du collège a montré aux parents d'élèves le diagramme circulaire suivant concernant la première langue vivante des élèves de cinquièmes. Alexandre dit : « Trois élèves sur quatre font allemand en LV1» Béatrice dit : « 25% des élèves de 5ème font allemand en LV1» Carole dit : « La fréquence des élèves qui font anglais en LV1 est 0,75 » David dit : « La proportion d'élèves qui font anglais en LV1 est » Que peut-on penser de ces quatre affirmations ? • Lecture et interprétation d'un diagramme circulaire. • Différentes écritures d'une fréquence (décimale, proportion, %). Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  43. À partir du travail du groupe didactique de l’IREM d’AquitaineBrochure Entrées dans l’algèbre 6e et 5e, 2007 Introduction :Les nombres relatifs Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  44. Aperçu historique • Ie siècle : les Chinois utilisaient les négatifs pour des problèmes de comptabilité. • XVe siècle : apparition des négatifs en Occident avec Nicolas Chuquet ; utilisés comme auxiliaires de calcul dans les résolutions d’équations. • Fin du XIXe siècle : En Occident, les négatifs ont un statut de nombre. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  45. Différents contextes ŒContextes concrets : recettes et dépenses, gains et pertes, températures, altitudes, chronologie, ascenseur… Contexte de repérage : -3 est une variation -3 est un repère indiquant un état Contexte interne aux mathématiquesOn résout des équations. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  46. Extrait du document d’accompagnement – Les nombres au collège – Décembre 2006 Il paraît plus fécond d’envisager une approche plus théorique de ces nouveaux nombres, par exemple, comme le suggère le commentaire du programme de cinquième en cherchant des nombres qui rendent la soustraction toujours possible.  Varier les situations pour aborder les différents contextes. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  47. Exemple d’introductionÉtape € : Établir que (a + b) – c = a + (b – c) Exercice 1 : « Margot va à la librairie, elle achète deux articles : un cahier à 2,75 € et un livre à 8,25 €. Le libraire lui fait une réduction de 0,50 € sur le prix du livre. » Calculer le prix total que Margot doit payer de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne. Exercice 2 : Calculer la longueur AC de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  48. Exemple d’introductionÉtape  : Introduction du nombre -2 comme convention pour 0 – 2 Complète les pointillés 7 + … = 11 28 + …. = 85 194 + … =  251 37 + … = 37 6 + … = 4 Cela permet de réactiver la soustraction et la visualisation suivante… Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  49. Illustration de la résolution à l’aide de la demi-droite graduée ; la soustraction est perçue comme un déplacement vers la gauche. On arrive alors naturellement à la droite graduée. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

  50. La dernière égalité 6 + … = 4 Réponses des élèves : Impossible, 4/6, -2 mais aussi des élèves  proposent de remplacer les pointillés par 4 – 6 ou par 2 – 4, ou 0 – 2 car 6 + (4 – 6) = (6 + 4 ) – 6 = 10 – 6 = 4 6 + 4 – 6 = 4 6 + 2 – 4 = 4 6 + 0 – 2 = 4 D’où 4 – 6 = 2 – 4 = 1 –3 = ….. = 0 – 2 Le professeur explique alors que le nombre 0 – 2 sera désormais noté -2. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

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