Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Chemicznych w Poznaniu • ID grupy: • 97/39_mf_g1 • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • Kongruencje i zastosowania • Semestr/rok szkolny: • trzeci/2010-2011

3. Kongruencja

4. Co to jest kongruencja? Kongruencja to relacja, która dzieli zbiór na klasy abstrakcji o tej samej reszcie przy dzieleniu przez określoną liczbę. Kongruencja określona jest w zbiorze liczb całkowitych i nazywana jest też przystawaniem liczb modulo . Liczby całkowite a i b przystają modulo n, co zapisujemy: a ≡ b (mod n), jeżeli ich różnica a - b dzieli się bez reszty przez n. Równoważnie: jeśli liczby a i b dają w dzieleniu przez n taką samą resztę.

5. Kongruencje O tym samym module można dodawać, odejmować lub mnożyć stronami. Przenosić wyrazy z jednej strony kongruencji na drugą, zmieniając ich znaki Obie strony kongruencji można podnosić do tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku). Nie można natomiast dzielić stronami kongruencji.

6. Własności kongruencji zwrotność: dla dowolnej liczby całkowitej a: a ≡ a (mod n), symetryczność: jeżeli dla liczb całkowitych a i b: a ≡ b (mod n), to: b ≡ a (mod n). przechodniość: jeśli dla liczb całkowitych a, b i c: a ≡ b (mod n) i b ≡ c (mod n), to: a ≡ c (mod n).

7. Własności kongruencji kongruencja sumy: jeżeli a ≡ p (mod n) i b ≡ q (mod n), to (a+b) ≡ (p+q) (mod n) kongruencja iloczynu: jeżeli a ≡ p (mod n) i b ≡ q (mod n), to a · b ≡ p · q (mod n)

8. Gaussa teoria liczb - kongruencja, czyli przystawanie Definicja:Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b - dowolnymi liczbami (całkowitymi - rozmawiamy wyłącznie o liczbach całkowitych). Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy. Jeżeli różnica a - b jest podzielna przez n:

9. Na przykład

10. Zadanie 1. Obliczymy ostatnią cyfrę liczby 2100. Rozwiązanie: Łatwo stwierdzić, że 62≡6(mod10), poprzez indukcję matematyczną można stwierdzić, że 6k≡6(mod10). Dalej 24≡6(mod10), a więc 2100≡6 250≡6 (mod10). Ostatnią cyfrą liczby 2100 jest zatem 6.

11. Zadanie 2. Obliczymy resztę z dzielenia liczby 2100 przez 3. Rozwiązanie: 22≡1(mod3), skąd 2100≡150(mod3), czyli 2100≡1(mod3). Reszta z dzielenia liczby 2100 przez 3 jest więc 1.

12. Zadanie 3. • Liczba kostek w bardzo dużej czekoladzie równa jest x. • Jeśli podzielić czekoladę na 3 części, to zostanie 1 kostka. Przy • podziale na 5 części zostaną 3 kostki, a w przypadku podziału na • 7 części zostaną 2 kostki. Ile kostek ma czekolada?

13. Rozwiązanie zadania 3. • Należy rozwiązać układ trzech kongruencji: • Analizujemy pierwszą kongruencję. • x ≡1 (mod 3)  x = 3t + 1 • Wstawiamy tak obliczone x do drugiej kongruencji i wyliczamy t. • 3t + 1 ≡3 (mod 5) 3t ≡2 (mod 5) t ≡4 (mod 5) t = 5u + 4 • Zatem x = 3(5u + 4) + 1 = 15u + 13. • Wstawiamy to do trzeciej kongruencji. • 15u + 13 ≡ 2 (mod 7)  u − 1 ≡ 2 (mod 7)  u ≡ 3 (mod 7)  u = 7s + 3 • Ostatecznie x = 15(7s + 3) + 13 = 105s + 58. • Odp. Liczba kostek czekolady równa jest 58.

14. Zadanie 4. Wykaż, że jeżeli m≡n (mod 4), to liczba 53m − 33n jest podzielna przez 10. Rozwiązanie: Zauważmy najpierw, że 53n − 33m ≡ 3n − 3m (mod 10). Jeśli n = 4k + m, to 3n−3m = 34k+m−3m= 3m((34)k-1)=3m((81)k−1)≡3m(1-1)(mod10).

15. Zadanie 5. Znajdź wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1!+2!+...+n! była kwadratem pewnej liczby naturalnej. Rozwiazanie: 1! = 1 = 12, 1! + 2! = 3, 1! + 2! + 3! = 9 = 32, 1! + 2! + 3! + 4! = 33 Jeśli n ≥ 5, to (5! + … + n! jest podzielne przez 5) 1! + 2! + 3! + 4! + 5 ! + … + n! ≡ 1! + 2! + 3! + 4! ≡ 3 (mod5), 1! + 2! + 3! + 4! ≡3 (mod 5), a kwadraty liczb naturalnych przystają modulo 5 jedynie do 0, 1 lub 4. Odp. Jedynie dla n = 1 oraz n = 3 liczba 1! + 2! + ... + n! jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.