LA FRAZIONE COME OPERATORE

1. LA FRAZIONE COME OPERATORE

2. Finora hai usato i numeri naturali (N) per indicare le quantità ed hai operato con essi risolvendo le operazioni aritmetiche. Ci sono situazioni però in cui i numeri naturali non sono adatti per esprimere una certa quantità. In questi casi ci vogliono strumenti più potenti, cioè numeri con un aspetto nuovo: sono le frazioni. Vediamo di cosa si tratta.

3. Sei andato in pizzeria con gli amici ma non hai molta fame e delle 4 fette in cui hai suddiviso la tua pizza ne mangi solo 3. Puoi esprimere tutto questo dicendo che hai mangiato i tre quarti della pizza.

5. 3 — 4 Due numeri così scritti formano una frazione e si leggono " tre quarti " oppure " tre fratto quattro ". In una frazione si distinguono: 3 — 4 NUMERATORE: indica quante parti dell’intero si considerano LINEA DI FRAZIONE: corrisponde all’operazione di divisione DENOMINATORE: indica quante parti uguali è stato diviso l’intero

6. UNITA’ FRAZIONARIA Considera una torta e immagina di dividerla in 4 parti uguali; ciascuna parte è un quarto della torta e per indicarlo si scrive così 1—4 Considera un rettangolo e immagina di dividerlo in 5 parti uguali; ciascuna parte è un quinto del rettangolo e per indicarlo si scrive così 1—5

7. Considera un quadrato e immagina di dividerlo in 9 parti uguali; ciascuna parte è un nono del rettangolo e per indicarlo si scrive così 1—9 1—9 1—4 1—5 Chiamiamo unità frazionarie e diamo la definizione

8. L‘ "OPERATORE" FRAZIONE Pensa alla torta di prima e immagina di volerne mangiare 3 fette Pensa al rettangolo di prima e immagina di volerne considerare 2 parti

9. Pensa al quadrato di prima e immagina di volerne considerare 7 parti

11. Una frazione agisce (opera) anche sui numeri: Calcoliamo di 12 Applicare a 12 vuol dire dividere 12 in tre parti uguali e considerare una soladi queste parti, quindi di 12 significa calcolare 12:3x1 ESEMPIO

12. 1 X 12 = 4 3 Divido i 12 cioccolatini in tre gruppi uguali , ogni gruppo contiene 4 cioccolatini

13. IN QUESTA UNITA' DIDATTICA IMPARI: • FRAZIONI PROPRIE • FRAZIONI IMPROPRIE E APPARENTI • FRAZIONI COMPLEMENTARI

14. FRAZIONI PROPRIE Proviamo a considerare i 3/5 di una cioccolata Per fare ciò dobbiamo dividere la cioccolata in 5 PARTI uguali e considerarne 3. Il risultato che si ottiene è una grandezza minore dell'intera cioccolata.Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una parte più piccola dell'intero, si chiamano "frazioni proprie".Esse hanno ilnumeratore minore del denominatore.

15. FRAZIONI IMPROPRIE Proviamo a considerare i 5/2 di una cioccolata.

16. Il risultato che si ottiene è una grandezza maggiore di un'intera cioccolata: in questo caso sono state considerate due cioccolate e mezza.Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una parte più grande, si chiamano"frazioni improprie".Esse hanno il numeratore maggiore ma non multiplo del denominatore

17. FRAZIONI APPARENTI Proviamo a considerare i 6/2 di una cioccolata.

18. Una frazione si dice apparente se, operando con essa su una grandezza, si ottiene una grandezza omogenea congruente o multipla di quella data. Una frazione apparente presenta il numeratore uguale  o multiplo del denominatore.

19. DATA LA FRAZIONE N D N<D ? FRAZIONE PROPRIA si no N=nxD? FRAZIONE APPARENTE si no FRAZIONE IMPROPRIA

20. FRAZIONI COMPLEMETARE Due frazioni sono complementari quando insieme formano l'intero, cioè una completa l'altra. 8 8 3 8 5 8 4 4 1 4 3 4 = + + =

21. CONFRONTO DI FRAZIONI Se due frazioni hanno lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore 4 5 3 5 > Se due frazioni hanno lo stesso numeratore è maggiore quella con denominatore minore 5 6 5 8 >

22. 4 5 Fra una frazione propria ed una frazione impropria è maggiore la frazione impropria 6 5 4 5 6 5 < Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore o lo stesso numeratore o non sono una propria e l’altra impropria si procede trovando frazioni equivalenti a quelle date attraverso il m.c.m. dei denominatori e l’applicazione della proprietà invariantiva (numero razionale e classi di equivalenza)

23. Definizione (confronto in Qa) Dati due numeri razionali a = [m/n] e  b = [p/q], si dice che  a<b se e solo se  mq<np. Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che l'esito del confronto non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b.

25. FRAZIONI EQUIVALENTI E LORO APPLICAZIONI • Frazioni riducibili e irriducibili • Semplificazione di una frazione: metodi • Riduzione di una frazione ai minimi termini • Trasformazione di una frazione in altra equivalente di denominatore assegnato • Riduzione di più frazioni al minimo comune denominatore

26. FRAZIONI RIDUCIBILI E FRAZIONI IRRIDUCIBILI 6 8 Consideriamo la frazione proviamo ad applicare ad essi la proprietà invariantiva dividendo i loro termini per uno stesso numero: 3 4 6 8 6:2 8:2 = = possiamo applicarla perchè 8 e 10 ammettono come divisore comune 2.

27. 3 8 Consideriamo ora la frazione non possiamo applicare la proprietà invariantiva perchè 3 ed 8 non ammettono divisori comuni, essendo numeri primi tra loro. Diremo che è una frazione RIDUCIBILE. Diremo che è una frazione IRRIDUCIBILE. 6 8 3 8 Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore hanno divisori comuni. Una frazione si dice irriducibile se numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, cioè non hanno divisori comuni.