Equazioni e problemi di 1° grado

1. Equazioni e problemidi 1° grado Introduzione all’U.D. 5: a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@istruzione.it

2. Contenuti • equazioni come enunciati aperti e come modello di un problema • insieme di definizione e di verità di un’equazione: equazioni proprie ed improprie • classificazione delle equazioni • equazioni equivalenti: principi di equivalenza per le equazioni e trasformazione di equazioni razionali in forma normale • risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado in una incognita e di equazioni fratte ad esse ri-conducibili • risoluzione di problemi numerici di 1° grado

3. Obiettivi didattici • Conoscenze: • conoscere le definizioni, i principi e le proprietà presentate • riconoscere l’equivalenza tra due equazioni • classificare un'equazione e individuare il suo insieme di esistenza • riconoscere se un'equazione è determinata, indeterminata, impos-sibile • Competenze: • saper applicare i principi di equivalenza per trasformare un’equa-zione razionale in forma normale • saper risolvere equazioni numeriche di 1° grado in un’incognita • Capacità: • stabilire se un’equazione è modello matematico di un problema • saper tradurre il testo di un problema risolubile mediante un'unica equazione di 1° grado in un'incognita nel suo modello matematico

4. Obiettivi minimi • saper classificare le equazioni e individuare il loro insieme di esistenza in semplici casi • data un'equazione in un'incognita, verificare per so-stituzione se un numero appartiene al suo insieme di verità • conoscere i principi di equivalenza per le equazioni e applicarli: • per trasformare in forma normale semplici equazioni razionali (intere/fratte) • per risolvere correttamente semplici equazioni numeriche di 1° grado in un'incognita, riconoscendo quando esse so-no determinate, indeterminate, impossibili • impostare correttamente il modello matematico di semplici problemi

5. Prerequisiti • Enunciati aperti • insieme universo e insieme di verità di un enunciato aperto • enunciati aperti equivalenti • enunciati propriamente detti • Calcolo algebrico • semplificazione di espressioni razionali intere e fratte • Nomenclatura degli insiemi numerici • N (naturali), Z (interi), Q (razionali), R (reali), N0 (naturali privati dello 0), Z+ (interi posiviti) Z– (interi negativi), Z+ (interi non negativi), …. 0

6. In questa lezione…. • Impareremo che un’equazione è un enunciato aperto, in grado di fornire il modello matema-tico di un problema • Proveremo a formalizzare semplici situazioni problematiche mediante opportune equazioni • Impareremo un po’ di terminologia ed alcuni elementi utili alla classificazione delle equa-zioni • Impareremo a verificare se un numero appar-tiene all’insieme di verità di un’equazione

7. Un primo esempio…. Problema: Determina il numero positivo che elevato al quadrato e addizionato al suo doppio dà 3. x è il numero positivo che elevato al quadrato e addi-zionato al suo doppio dà 3. x2 + 2x = 3, con xR+ Gli elementi che appartengono all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a tutte le possibili soluzioni del problema dato.

8. Un altro esempio… Problema: La mamma di Ada è nata nel 1965; Ada ha un terzo degli anni di sua mamma; quanti anni ha Ada? Ada ha x anni, pari ad un terzo degli anni di sua mamma, che è nata nel 1965. Gli elementi che appartengono all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a tutte le possibili soluzioni del problema dato.

9. h 8 m Ora un esempio geometrico… Problema: Un triangolo ha la base lunga 8 m ed ha l’area che misura 12 m2. Qual è la sua altezza? Un triangolo di altezza h e base lunga 8 m, ha una area di 12 m2. Gli elementi che appartengono all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrispondono a tutte le possibili soluzioni del problema dato.

10. … e quindi uno con due incognite Problema: La somma di due numeri positivi è 17, mentre il loro prodotto è uguale a 72. Quali sono i due numeri? La somma di due numeri positivi x ed y è uguale a 17, mentre il loro prodotto è uguale a 72. (x + y = 17)  (xy = 72), con (x, y)R+ R+ Ogni coppia di numeri che appartiene all’insieme di verità dell’enunciato aperto così ottenuto corrisponde ad una delle possibili soluzioni del problema dato.

12. Ed ora un po’ di terminologia… Un’equazione è un enunciato aperto in cui compaiono due espressioni in una o più variabili, legate tra loro dal predicato “ = “. Le due espressioni vengono dette membri del-l’equazione: quello a sinistra del segno “ = “ si dirà primo membro, quello a destra secondo membro. Le variabili di un’equazione vengono chiamate in-cognite. L’insieme universo di un’equazione prende il nome di insieme di esistenza (o anche insieme di definizione) e si indica con E.

13. L’insieme di verità V di un’equazione è costituito da TUTTI e SOLI gli elementi del suo insieme di esi-stenza che, sostituiti alle incognite, la trasformano in una proposizione (una uguaglianza) VERA. Gli elementi dell’insieme di verità di una equazione vengono detti soluzioni o radicidell’equazione e so-no quelli che verificano l’equazione. Esempio: Sia data l’equazione x + 1 = – 5, con E  Q vale che – 6  V, poiché (– 6) + 1 = – 5 Diremo: – 6 è una soluzione dell’equazione – 6è una radice dell’equazione – 6verifica l’equazione

14. In particolare: • se V  E (insieme di verità e di esistenza coincidenti) l’equazione verrà detta identità • se VE  V  (l’insieme di verità è un sottoinsieme proprio di quello di esistenza) parleremo di equazione propria • se V   (l’insieme di verità è vuoto) l’equazione verrà detta contraddizione

15. x2 + 2x = 3 , con xR+ L’equazione data è il modello matematico anche di questo problema: Sommando tra loro l’area di un rettangolo di base 2 dm e l’area di un quadrato, il cui lato è uguale all’altezza del rettangolo, si ottiene una area di 3 dm². Quanto è lungo il lato del qua-drato? x 2 dm

16. L’equazione data è il modello matematico anche del seguente problema: In un magazzino ci sono 2011 mele; una parte di queste viene suddivisa in tre casse. Sapendo che nel magazzino sono restate 1965 di mele, quante mele conterrà ciascuna cassa?

17. L’equazione data è il modello matematico anche di questo problema: Una piazza ha forma di rombo ed una delle sue diagonali è lunga 8 dam. Sapendo che la super-ficie complessiva della piazza è di 12 dam2, qual è la misura dell’altra diagonale?

18. (x + y = 17)  (xy = 72), con (x, y)R+ R+ La coppia di equazioni considerate costituiscono il modello matematico anche di questo problema: Un rettangolo ha il semiperimetro che misura 17 cm e l’area pari a 72 cm². Quanto sono lunghi base e altezza del rettangolo?

19. Cosa faremo adesso? Cercheremo di “trasformare” il testo del problema in una affermazione nella quale sia gli elementi noti, sia gli elementi incogniti (= non conosciuti, ignoti) verranno trattati come se fossero tutti noti….