LOGICA E PROBLEMI DI LOGICA

1. LOGICAEPROBLEMI DI LOGICA

2. Un’inferenza è una successione di n proposizioni tale che se le prime n – 1 proposizioni fossero vere, allora la n-ma proposizione sarebbe vera.

3. queste prime n – 1 proposizioni sono dette PREMESSE la n-ma proposizione è detta CONCLUSIONE

4. Schema di inferenza Successione di schemi di proposizione che garantisce la validità dell’inferenza

5. Schema di inferenza

6. Schemi sillogistici. Esempi:

7. Gli Stoici scopronoaltrischemi di inferenzavalidi

8. Se piove, allora la strada è bagnata Piove La strada è bagnata

9. Se piove, allora la strada è bagnata La strada non è bagnata Non piove

10. Il Modus Ponens Se p, allora q p q

11. Il Modus Tollens Se p, allora q non q non p

12. MA NON Se p, allora q ERRORE !!! non p non q

13. Infatti … Se piove, allora la strada è bagnata Non piove E R R O R E !!! La strada non è bagnata Magari è bagnata, perché è stata lavata

14. I Modi stoici e la relativa fallacia sono al centro del Wason selection task (o four-card problem) il rompicapo logico inventato da Peter Cathcart Wason nel 1966

15. Wason selection task «Le carte che hanno un numero pari su una faccia hanno l’altra faccia rossa» Per controllare la verità della frase quali carte si devono girare?

16. Wason selection task «Le carte che hanno un numero pari su una faccia hanno l’altra faccia rossa» L’otto e la carta marrone

17. Wason selection task Le carte che hanno un numero pari su una faccia hanno l’altra faccia rossa Se la carta x ha un numero pari su una faccia, allora x ha l’altra faccia rossa E dunque: Se la carta x non ha una faccia rossa, allora x non ha un numero pari sull’altra

18. La logica studia la validità delle inferenze rese possibili dal significato di alcune parole non legate a uno specifico campo semantico, ma di impiego generale (dette costanti logiche): p.es. “ogni”, “il”, “oppure”, “non”.

19. tra queste parole: Le parole che servono per generare proposizioni da altre proposizioni: i CONNETTIVI P.es: “non”, “se …, allora …”, “e” (nella grammatica o avverbi o congiunzioni) studiati dalla LOGICA PROPOSIZIONALE

20. tra queste parole: Parole che accompagnano nomi, aggettivi e verbi dentro la proposizione specificandola quantitativamente: i QUANTIFICATORI P.es: “ogni”, “qualche”, “nessuno” (nella grammatica aggettivi o pronomi indefiniti) studiati dalla LOGICA DEI PREDICATI

21. I connettivi studiati dalla logica proposizionale somigliano per significato a certi avverbi e congiunzioni del linguaggio ordinario, ma con una differenza importante: sono tutti VEROFUNZIONALI

22. Connettivi verofunzionali Sono connettivi che per il loro significato generano una proposizione il cui valore di verità dipendesolo dal valore di verità delle proposizioni cui si applicano … … ma non dal senso delle proposizioni cui si applicano.

23. p.es. La congiunzione “e” del linguaggio ordinario è già verofunzionale nel suo uso comune

24. “e”, connettivo verofunzionale Il “Copernico” è un liceo e ha più di mille studenti VERO perché entrambi i congiunti sono veri Il “Copernico” è un liceo e il numero 5 è maggiore di 3 VERO perché entrambi i congiunti sono veri Il “Copernico” è un liceo e il numero 5 è minore di 3 FALSO perché uno dei congiunti è falso

25. ma non è verofunzionale … p.es. “poiché”, nel significato ordinario: Infatti NON BASTA NEPPURE che i due congiunti siano veri per rendere vero il composto Il numero 18 è pari, poiché è divisibile per due Il numero 18 è pari, poiché ha un successore

26. I connettivi basilari •  , “non”: proposizione generata vera s.se quella cui si applica è falsa. •  , “e”: proposizione generata vera s.se le due cui si applica sono vere. •  , “o”: proposizione generata vera s.se almeno una delle due cui si applica è vera. • , “implica”, “se …, allora”: proposizione generata falsa s.se l’antecedente è vero e falso il conseguente. •  , “equivale”, “se e solo se”: proposizione generata vera s.se le due cui si applica hanno lo stesso valore di verità

27. Il significato di un connettivo verofunzionale è definito interamente dalla sua tavola di verità Negazione:

28. Congiunzione:

29. Disgiunzione:

30. Implicazione:

31. Equivalenza:

32. Gli alberi di Beth Un albero di Beth è un diagramma formato da • una sequenza ramificata di proposizioni, in cui • la radice è rappresentata da una certa proposizione, • ad ogni proposizione seguono le sue conseguenze logiche, • proposizioni di significato disgiuntivo danno luogo a una ramificazione che conduce ai due disgiunti, • un ramo si chiude quando compare la negazione di una proposizione precedente nella sequenza.

33. Un esempio

34. Regole di costruzione

35. Leggi logiche proposizionali sono proposizioni sempre vere in virtù del significato logico dei connettivi

36. alcune delle più notevoli • Modus Tollens: ((pq) q)  (p) • Terzo escluso: p  (p) • Doppia negazione: ( (p))  p • Leggi di De Morgan: (  (p  q))  ((p)  (q)) (  (p  q))  ((p)  (q))

37. Metodi di controllo logico Metodi per controllare: • se una certa proposizione è una legge logica; • se una certa inferenza è logicamente valida. • Due fondamentali: • il metodo della tavola di verità; • il metodo dell’albero di Beth.

38. Individuazione di una legge logica Nella sua tavola di verità la colonna del connettivo principale contiene solo valori VERO Una proposizione è legge logica, se e solo se: Tutti i rami dell’albero di Beth che ha la propria radice nella negazione della proposizione sono CHIUSI

39. Controllo della validità logica di un’inferenza Che si usi la tavola di verità o l’albero di Beth l’inferenza dalle premesse p1 … pn alla conclusione q è logicamente valida, se e solo se: L’implicazione (p1  …  pn)  q è legge logica

40. Un esempio La seconda legge di De Morgan controllata attraverso la tavola di verità

41. Un altro esempio Il modus Tollens controllato con l’albero di Beth

42. I quantificatori fondamentali • , il quantificatore universale: “per ogni” •  , il quantificatore esistenziale: “c’è almeno un” Si impiegano associati a variabili per contare gli individui che godono del predicato: x P Per ogni x, P di x Tutti gli individui sono P x Qx C’è un x, Q di x Qualche individuo è Q

43. L’idea del quantificatore È dovuta al matematico tedesco Gottlob Frege (1848-1925)

44. I simboli usati per i quantificatori all’americano Charles Sanders Peirce (1839-1914) e all’italiano Giuseppe Peano (1858-1932)

45. Sono introdotti formalmente • con gli schemi di inferenza:

46. Sono introdotti formalmente e/o con gli assiomi: • (x Px)  Pa • Pa (x Px)

47. Interdefinibilità per mezzo della negazione

48. Quantificatori annidati • Cambiando l’ordine dei quantificatori cambia il senso dell’enunciato: • P.es: x y y > x y x y > x

49. Quantificatori annidati

50. Quantificatori annidati