DANE INFORMACYJNE :

2. DANE INFORMACYJNE : • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr. 2 im. Władysława Sikorskiego w Złocieńcu • ID grupy: 98/58_mf_g1 • Opiekun: Agnieszka Włodarczyk • Kompetencja: • Matematyczno- Fizyczna • Temat projektowy: • Liczby wymierne są ok. • Semestr/rok szkolny: II / 2010-2011

3. Liczby wymierne To liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego.

4. Spis Treści : I – Zaokrąglenia (Natalia Rozpłoch) II– Rachunki z ułamkami (Daria Bońkowska, Gosia Sobieszczyk) III– System rzymski (Tobiasz Kurzajczyk, Szymon Zdrojewski) IV – Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne (Daniel Wójcik, Grzegorz Gessel) V– Szacowanie wartości (Monika Krysiak, Patrycja Radzimska) VI– Obliczenia w praktyce (Paulina Leżak, Angelika Maciejewska) VII– Oś liczbowa i jej „mieszkańcy” (Hubert Nowakowski, Alicja Udycz)

5. I.ZAOKRĄGLENIA ≈

6. Co to jest? Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 0,1,2,3,4, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 5,6,7,8,9, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1. Głównie liczby niewymierne, ale także inne często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami). ≈ Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia

7.   Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. W tych i wielu innych przypadkach stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb. • Zastosowanie w praktyce

8. Można przybliżać do … • Dziesiątek: 12345 ≈ 12350 • Setek: 12345 ≈ 12300 • Tysięcy: 12345 ≈12300 • Jedności: 12345,6 ≈12346

9. Przykłady 482,45 ≈ 482,5 ≈ 483 ≈ 480 ≈ 500 12,8992 ≈ 12,899 ≈ 12,9 ≈ 13 ≈ 10 (pogrubioną czcionką jest przypadek, gdy ostatnią zachowaną cyfrą jest 9. Wówczas zachowana cyfra staje się zerem, a zwiększamy o jeden przedostatnią pozostałą cyfrę) 19,99 ≈ 20 178,9899 ≈ 178,99 ≈ 179 ≈ 180 ≈ 200 9.999 ≈ 10

10. ZAOKRĄGLENIA – ZADANIA A może trochę zaokrąglimy ?

11. Zadanie 1 . • Zaokrąglij do : • a) km • 35km 35m≈35km • 870m≈1km • b) m • 7dm≈1m • 21m50cm≈ 22m

12. Zadanie 2. • Ola kupiła 19 długopisów za 3,9 zł. Czy starczy jej 80 zł ? • 3,9 ≈ 4 • 19 ≈ 20 • 4* 20 = 80 • Odp.: Zaokrągliliśmy w górę, więc oznacza to, że mimo równego wyniku zostanie jej reszta.

13. Zadanie 3.  Uzupełnij wpisując  zaokrąglenia  do dziesiątek : 273 ≈ 270 962 ≈ 960 Uzupełnij wpisując zaokrąglenia do setek : • 1407 ≈ 1400 • 23907 ≈ 23900 Uzupełnij wpisując zaokrąglenia do części : • 971,948 ≈ 971,9 • 854,637 ≈ 854,6

14. II. RACHUNKI Z UŁAMKAMI

15. W sklepie było 110 kilogramów jabłek. Pierwszego dnia sprzedano a drugiego o mniej. Ile kilogramów jabłek zostało? Rozwiązanie: kg - kg = kg kg - kg = 69 kg Odpowiedź: Zostało 69 kg jabłek.

16. Turysta przebył 480 km. Pierwszy etap, stanowiący całej drogi, przebył pociągiem, potem całej drogi przebył statkiem, a resztę pieszo. Ile kilometrów przebył pieszo ? • Rozwiązanie: • Pociąg : * 480 = 280 kg • Statek : * 480 = 192 kg • Pieszo:480 – 280 – 192 = 8 km • Odpowiedź: Przebył 8 km pieszo.

17. III. SYSTEM RZYMSKI

18. System Rzymski Co to jest ? Jak się go używa ? Do czego można go użyć ? Przykłady i Zadania.

19. 1. Co to jest System Rzymski ? System liczb polegający na dodawaniu do siebie poszczególnych znaków w szczególny sposób tak, aby powstała dana liczba. Używa siedmiu znaków: Ciekawostki : • Rzymianie zwykli dodawać znaki, a ich odejmowanie stało się powszechne dopiero w średniowieczu. • Pochodzi od cyfr które zostały przerobione w Rzymie, a wymyślone przez starożytnych Etrusków.

20. 2. Odczyt Znaków Rzymskich • Najważniejsze jest sprawdzanie wartości poszczególnych znaków. Większa liczba musi być zawsze przed mniejszą, na przykład: VI = 5+1 = 6 XX = 10+10 = 20 LXXVII = 50+10+10+5+1+1 = 77 MDCCLVII = 1000+500+100+100+50+5+1+1 = 1757 Ściąga Kliknij aby zobaczyć I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000

21. Większa liczba jest po mniejszej. W tym momencie odejmuje się większą liczbę od poprzednej liczb, na przykład: XIV=10+5-1 = 14 XIIIV= 10+5-3 = 12 MXXLI = 1020–50+1 = 991 MMLD = 2050–500 = 1550 Legenda : Czerwony – większy znak Zielony – Mniejszy znak Ściąga Kliknij aby zobaczyć I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000

22. Dla liczb większych od 1000 (M) znaki nie istnieją, jednak Rzymianie zwykli dodawać nad lub obok znaków kreski : |XXX| = 30 razy 100 = 3000 = 1022 razy 1000 = 1022000 = Ściąga Kliknij aby zobaczyć I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000

23. I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000 * Ułamki Ułamki tworzy się w inny sposób, bowiem istnieją tylko dwa znaki: Ściąga Kliknij aby zobaczyć Ł = 0,1S = 0,5 Przykład: SŁŁ = 0,7 (dodawanie) ŁŁS = 0,3 (odejmowanie) Legenda : Czerwony – większy znak Zielony – Mniejszy znak Ciekawostka : Znak Ł nie czytało się jako polskie „Ł” tylko jako przekreślone L

24. **Głębsze ułamki Przykłady: SŁŁŁ|SŁŁŁ = 0,8 * 0,8 = 0,64 SSSSŁŁ|SŁŁŁ = 0,22 * 0,8 = 0,176 ŁŁŁSSSS|ŁŁ = 0,17 * 0,2 = 0,034 Głębsze ułamki tworzy się tak: SŁŁ|ŁŁ = 0,7 razy 0,2= 0,14 W tym przypadku po kresce, Ł oznacza razy 0,1 Ściąga i przykłady Kliknij aby zobaczyć S – 0,5 Ł – 0,1

25. Do czego używa się Systemu Rzymskiego ? Jako liczby porządkowe (pierwszy, drugi, trzeci itd.). Do oznaczania miesięcy w roku. Do oznaczania rozdziałów w książkach, tomów dzieł, roku wydania książki. Do oznaczenia roku (np. MMX = 2010), wieków (XX w.) Do zapisu numerów liceów (ale nie podstawówek i gimnazjów) W imionach władców i papieży (Benedykt XVI). W nazwach wydarzeń historycznych (II Wojna Światowa). W numeracji klas, pięter w budynku, rok powstania budowli oraz wydziałów w instytucjach. W numerach lat studiów oraz różnych grup klasyfikacyjnych. Liczenie w tym systemie wypadło z użytku dlatego, że jest niepraktyczne i nie da się dzięki niemu szybko określać wyników. System Rzymski używany jest najczęściej:

26. Zad. 1.Zamień znaki rzymskie na liczby : • XII - …………………….. • DVIII - …………………. • MCCDLIII - …………… 12 508 753 • Zad. 2.Zamień liczby na znaki rzymskie : • 3000 - …………….. lub ….………… • 207 - ………………………………….. • 5678 - …………………………………. • 18600 - …………………………………. MMM |XXX| CCVII MMMMMDCLXXVIII |CLXXXVI| Zad. 3 – dodatkowe Odkryj hasło zamieniając liczbę MCMXCV na znak rzymski : Windows ……… I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000 1995 Klikaj aby zobaczyć odpowiedzi

27. IV. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. 0,65

28. Budowa ułamka zwykłego. • Licznikułamka wskazuje ile wzięto jednakowych części. • Mianownik ułamka wskazuje na ile równych części podzielono całość. licznik kreska ułamkowa mianownik

29. Budowa ułamka dziesiętnego. Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne. 0,534 całości Części dziesiętne Części tysięczne Części setne

30. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, więc możemy zapisać ułamek zwykły jako dzielenie 3:4= = 0,75

31. Jak sama nazwa wskazuje, trzy dziesiąte to 3 równe części z 10. Mówi się też tak na ułamek dziesiętny ale inaczej się go zapisuje. 0,3

32. Przykłady zamian

33. V. SZACOWANIE WARTOŚCI • Szacowanie to przybliżone określanie wartości jakiejś wielkości przy posiadaniu niepełnych danych. • Zaokrąglanie liczb to przydatna umiejętność, gdy chcemy oszacować w pamięci wynik działania. Oto przykłady jak można szacować wyniki mnożenia.

34. Przykład 1 • Czy wystarczy 15 zł, • aby kupić 3 długopisy • po 4,99 zł za sztukę? • Rozwiązanie : • 4,99 = 5  Cenę • zaokrągliliśmy w górę, do • jedności, więc 3×4,99= 15. • Odp.: Czyli 15 zł wystarczy na zakup 3 długopisów.

35. Przykład 2 • A co by było, gdyby długopis kosztował 5,10 zł ? • Rozwiązanie : • 5,10 = 5  Cenę zaokrągliliśmy w dół, więc 3×5,10 > 3×5= 15. • Odp.: Tym razem 15 zł to za mało by zakupić 3 długopisy.

36. Zadanie 1 • Pan Błoński przez rok zarobił 35 487 zł, a pan Wroński przez siedem miesięcy 21 275 zł. Oszacuj, który z nich miał wyższy średni miesięczny zarobek.

37. Rozwiązanie • Pan Błoński przez rok zarobił35 487 zł, dzielę przez 12, aby dowiedzieć się ile zarabiał na miesiąc : • 35487:12=2957,25złPan Wroński przez siedem miesięcy zarobił21 275 zł. Więcdzielę przez 7 aby dowiedzieć się ile zarabia miesięcznie: • 21 275:7=3039 ; 2193:7zł≈3039,29złOdp. Pan Wroński ma wyższy miesięczny zarobek.

38. Zadanie 2 • W nowym opakowaniu było • 3,6 kg proszku do prania. • W miarce mieści się 148g • proszku. Zakładając, że na • jedno pranie zużywa się jedną • miarkę, a pranie wykonuje się • co 3 dni, oszacuj, czy proszku • wystarczy na dwa miesiące ?

39. Rozwiązanie • 2 miesiące  30+30=60 dni • 60:3= 20 prań • 3,6 kg  3600g proszku w opakowaniu • Miarka  148g • 3600g : 148g  w przybliżeniu 24 miarki • 24 miarki 24 prania • Odp. Proszku wystarczy na 2 miesiące.

40. SZACOWANIE Cena: 4zł 60 gr  prawie 5zł Cena: 2zł 55gr  prawie 3zł Cena: 3zł 99gr  prawie 4zł

41. VI. OBLICZENIA W PRAKTYCE

42. Procenty

43. Do czego służą procenty? W życiu codziennym za pomocą procentów wyraża się różne wielkości. Z tym wyrażeniem matematycznym spotykamy się na co dzień w sklepach, bankach, sondażach, na etykietach produktów…

44. Co to jest procent? Procent jest to setna część całości, czyli ułamek o mianowniku 100 ( ). Ciekawostki : • Nazwa procent pochodzi od łacińskich słów „pro centum’’, co dosłownie oznacza „na sto’’. • Pochodzenie symbolu procentu nie jest do dziś jasna. Spotkać się można z wyjaśnieniem, że włoscy bankierzy wyraz „cento” skracali do „cto”, co przy szybkim pisaniu upodobniło się do „o/o”, a w następstwie do „%”.

45. Zamiana liczby na % • Gdy chcemy zamienić liczbę na procent, musimy ją pomnożyć przez sto, a następnie dopisać do wyniku znak %. • Przykłady : 0,2 = 0,2 100% = 20% • = 1,75 100% = 175%

46. Zamiana procentu na liczbę… A oto kilka powszechnie używanych i znanych przeliczników : • 100% - to całość, czyli 1 • 50% - to połowa, czyli • 25%- to ćwierć, czyli • 10%- to dziesiąta część całości, czyli • 150%- to półtora, czyli 1

47. Krzyżówka edukacyjna - procenty Poziomo : B     20 % liczby 500 C     liczba 50 zmniejszona o 10% D     liczba 60 zwiększona o 5% G     o 9 więcej od 90% z 1000 J      liczba, której 50% wynosi 32 K     3% z 900 L     50% z połowy liczby 1000 Pionowo : A     150% liczby 20 C     liczba 22 zwiększona o 100% E     liczba 50 zmniejszona 0 30% F      o 1 więcej od 1% z 10 000 H     liczba, której 25% wynosi 4 I       liczba 100 zmniejszona o 33% M     dziesięć plus 25% liczby 160  

48. Diagramy procentowe… • Diagram - jest to graficzne przedstawienie danych. Może mieć on różne formy. Wyróżniamy diagramy kołowe, słupkowe i w formie tabeli. • Każdy diagram • powinien zawierać tytuł • i legendę objaśniającą • znaczenie poszczególnych • części diagramu.

49. Zadanie. Do sklepiku szkolnego na początku września zakupiono podstawowe artykuły szkolne: zeszyty, notesy, gumki, ołówki. W ciągu miesiąca sprzedano wiele z nich. • Jakiego artykułu zakupiono • najwięcej, a jakiego najmniej? Odp. : Do sklepiku szkolnego zakupiono najwięcej zeszytów, a najmniej ołówków • Jakiego artykułu sprzedano najwięcej, a jakiego najmniej ? • Odp. : Sprzedano najwięcej zeszytów, a najmniej notesów.

50. Zadanie. Korzystając z diagramu oblicz ile osób otrzymało ocenę celującą i ocenę bardzo dobrą wiedząc, że w klasie jest 25 osób. OBLICZENIA : ocena celująca – 8 % 0,08 ∙ 25 = 2 ocena bardzo dobra – 12% 0,12 ∙ 15 = 3 Razem : 5 osób Odp.: Ocenę celującą i bardzo dobrą otrzymało 5 osób.