Experimentos Fatoriais Hierárquicos

1. Experimentos Fatoriais Hierárquicos Alan Birck Cecília Martins

2. Introdução • Experimento Fatorial: as características (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores estão no mesmo nível. • Experimento Fatorial Hierárquico: quando um fator está dentro de outro fator. Os fatores estão em níveis diferentes.

3. Fatorial Hierárquico com 2 estágios • Os níveis do fator B são similares, mas não idênticos para diferentes níveis de outro fator A. • Ou seja, um fator está dentro de outro fator

4. Fatorial Hierárquico com 2 estágios • Exemplo: Uma companhia compra matéria-prima de 3 fornecedores diferentes. A companhia deseja determinar se a pureza da matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Existe 4 lotes de matérias-prima disponível de cada fornecedor e 3 determinação de pureza em cada lote.

5. Exemplo

6. Exemplo

7. Fatorial Hierárquico com 2 estágios Modelo linear yijk = μ + αi + βj(i) + εijk μé a média αié oef. do i-ésimo nível do fator A βj(i) é oef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A εijk é o erro i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,r

8. 2 fatores

9. Modelo I (A e B fixos) • Suposições: εijk ~ N(0,σ2) independentes yijk ~N(μ + αi + βj(i) ,σ2) independentes • Restrições: ; para todo i

10. Modelo I (A e B fixos) • Hipóteses H0: α1=α2=...= αa= 0 (não existe efeito do fator A) H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0 (não existe efeito do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A, para todo i )

11. Modelo II (A e B aleatórios) • Suposições: αi~N(0, σ2A) independentes βj(i)~N(0, σ2B) independentes εijk ~ N(0,σ2) independentes αi , βj(i) e εijksão independentes yijk ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B) e indep.se estão em caselas diferentes

12. Modelo II (A e B aleatórios) • Restrições: não tem restrições. • Hipóteses: H0: σ2A = 0 H0: σ2B = 0

13. Modelo Misto (A fixo e B aleatório) • Suposições: βj(i)~N(0, σ2B) independentes εijk ~ N(0,σ2) independentes βj(i) e εijksão independentes yijk ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B) e indep.se estão em caselas diferentes

14. Modelo Misto (A fixo e B aleatório) • Restrições: • Hipóteses: H0: α1=α2=...= αa= 0 (não existe efeito do fator A) H0: σ2B = 0

15. Análise de Variância para 2 fatores

16. Análise de Variância para 2 fatores

17. Análise de Variância para 2 fatores Regra para construção dos QM Esperados: o fator (A) terá o componente do subfator (B) se o subfator (B) for aleatório.

18. Estimação dos componentes de Variância

19. Soma de quadrados • As expressões são calculadas de forma usual:

20. exemplo(continuando o anterior) • Companhia compra matéria-prima, em lotes, de 3 diferentes fornecedores. A companhia deseja determinar se a pureza de matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Dos lotes existentes de cada fornecedor, selecionou-se aleatoriamente 4 lotes para cada um dos 3 fornecedores, e dos lotes selecionados foram tomadas 3 determinações de pureza. Os dados foram codificados: yijk= pureza – 93 .

21. exemplo (dados já codificados) r=3; a=3; b=4

22. exemplo • No SAS(Analyst): • Statistcs/ANOVA/mixed model/ dep: resposta class:A,B MODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A) OPTION: type 1 TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components” PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random effects) 1-plot residuals x predicted 2-plot residuals x independents

23. exemplo (resultados) • Não se evidencia diferença entre os fornec. quanto à pureza da matéria-prima fornecida; • A pureza da matéria-prima difere de lote a lote para um mesmo fornecedor, ou seja, existe variabilidade na pureza de lote a lote para cada fornecedor.

24. Gráfico dos resíduos x preditos

25. Gráfico dos resíduos x fornecedores

26. Observação • Interação → não podemos fazer interação pois se fizéssemos, estaríamos comparando, além de: Se há diferença entre os fornec. 1, 2 e 3(correto) • Compararíamos: Se há diferença entre os lotes 1, 2, 3 e 4 de cada fornecedor e se o fornecedor está na dependência do lote e vice-versa Essa comparação não pode ser feita pois cada lote pertence a um único fornecedor.

27. Fatorial Hierárquico com m estágios • É o mesmo raciocínio que o delineamento fatorial hierárquico com 2 fatores, com uma diferença que tem um fator C a mais, e esse fator C está dentro de um outro fator B, que por sua vez, está dentro de um fator A.

28. Fatorial Hierárquico com m estágios • Exemplo: Desejamos investigar a dureza de duas diferentes formulação de liga. Três calores de cada liga é preparado, duas barras de metal fundido são selecionada aleatoriamente dentro de cada calor testado, e duas medidas de dureza são medida em cada barra. (Delineamento fatorial Hierárquico em 3 estágios com 2 repetições).

29. exemplo

30. Fatorial Hierárquico com 3 estágios Modelo linear (DCC) yijkl = μ + αi + βj(i) + ck(j)+ εijkl μé a média αié oef. do i-ésimo nível do fator A βj(i) é oef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A ck(j)é o ef. do k-ésimo nível do fator C dentro do j-ésimo nível do fator B(e do i-ésimo nível do fator A-Montgomery) εijkl é o erro i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,c l=1,2,...,r

31. 3 fatores

32. Modelo I (A,B e C fixos) • Suposições: εijkl ~ N(0,σ2) independentes yijkl ~N(μ + αi + βj(i)+ck(j) ,σ2) independ. • Restrições: ; para todo i ; para todo j

33. Modelo I (A,B e C fixos) • Hipóteses: H0: α1=α2=...= αa= 0 H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0;para todo i H0: c1(j)= c2(j)=...= cc(j)=0;para todo j

34. Modelo II (A,B e C aleatórios) • Suposições: • αi~N(0, σ2A) independentes • βj(i)~N(0, σ2B) independentes • c k(j) ~N(0, σ2C) independentes • εijkl ~ N(0,σ2) independentes • αi , βj(i) ,c k(j) e εijkl são independentes • yijkl ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B+ σ2C) e indep. se estão em caselas diferentes

35. Modelo II (A,B e C aleatórios) • Restrições: • não tem restrições. • Hipóteses: • H0: σ2A = 0 • H0: σ2B = 0 • H0: σ2B = 0

36. Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios) • Suposições: • βj(i)~N(0, σ2B) independentes • ck(j)~N(0, σ2C) independentes • εijkl ~ N(0,σ2) independentes • βj(i) ck(j) e εijkl são independentes • yijkl ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B+ σ2C) e indep. se estão em caselas diferentes

37. Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios) • Restrições: • Hipóteses: • H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito do fator A) • H0: σ2B = 0 • H0: σ2C = 0

38. Análise de Variância para 3 fatores

39. Análise de Variância para 3 fatores

40. Análise de Variância para 3 fatores

41. Análise de Variância para 3 fatores • Regra para construção dos QM Esperados:o fator (A) terá o componente do subfator (B) e do subsubfator C, se o subfator e o subsubfator forem aleatórios. O subfator (B) terá componente do subsubfator(C) se o subsubfator for aleatório.

42. Soma de quadrados • As expressões são calculadas de forma usual:

43. exemplo (super fictício) • 2 fazendas, uma em cada região • escolhidas, aleatoriamente, 3 árvores em cada fazenda • dentro de cada árvore, foram escolhidas 3 folhas, aleatoriamente • de cada folha foi medida, em 2 lugares diferentes, a quantidade de fungo • var. resposta: quantidade de fungos • fator fixo: fazendas • fatores aleatórios: árvores e folhas

44. exemplo

45. exemplo • No SAS(Analyst): • Statistcs/ANOVA/mixed model/ • dep: resposta • class:A,B,C • MODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A),C(B) • OPTION: type 1 • TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components” • PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random effects) • 1-plot residuals x predicted • 2-plot residuals x independents

46. Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado • Esse delineamento é usado quando temos um fator dentro de outro e também temos dois fatores que podem ser cruzados (pois estão no mesmo nível).

47. Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado • Exemplo:

48. Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado Modelo linear i=1,2,...,a ; j=1,2,...,b ; k=1,2,...,c ; l=1,2,...,r

49. Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado • Hipóteses: H0:A1= A2 =...=Aa =0 H0:B1= B2 =...=Bb =0 H0:AB11=...=ABab =0 H0: σ2C = 0 H0: σ2AC = 0

50. Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados