DANE INFORMACYJNE

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych ID grupy: 97/78_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH Semestr/rok szkolny: 2010/2011

DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Morskich • ID grupy: 97/80_MF_G1 • Kompetencja: Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH • Semestr/rok szkolny:2010/2011

SPIS TREŚCI • Cele prezentacji • Określenie liczby • Liczby naturalne • Postulaty Peano • Symbolika liczb • Dzieje liczb • Ciekawe liczby naturalne

CELE PREZENTACJI • Zainteresowanie historią matematyki • Doskonalenie umiejętności gromadzenia i opracowywania informacji • Doskonalenie umiejętności pracy w grupie • Doskonalenie umiejętności współpracy przez Internet

OKREŚLENIE LICZBY • Liczby • Co jest najmądrzejsze? Liczba.Co jest najpiękniejsze? Harmonia.Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. • źródło: www.math.edu.pl

LICZBY NATURALNE • Liczby naturalne • N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... • Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć, jednak niewiedza na temat czym liczby są, nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. • źródło: www.math.edu.pl

Postulaty Peano • Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki, które definiują zbiór liczb naturalnych: - istnieje liczba naturalna 0,- każda liczba naturalna ma swój następnik, - zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej, - różne liczby naturalne mają różne następniki, - jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej). • źródło: www.math.edu.pl

Liczbę 1, dawno temu uważano za liczbę najdoskonalszą. Jest to pierwsza liczba nieparzysta. Wszystkie inne liczby pochodzą od jedynki, np.2, to 1 + 1. Liczba 2 jest pierwszą liczbą parzystą. Uważana była przed wiekami za liczbę złowieszczą. Często oznaczano nią szpiegów, policjantów albo wysłanników. Jednocześnie jest bardzo ważna: człowiek ma dwoje oczu, uszu, dwie ręce, dwie nogi. Symbolika liczb naturalnych

Liczba 3 to liczba nieparzysta , przynosząca szczęście. Chętnie posługiwali się nią bajarze, pisarze i wróżki. Zauważ tylko: trzej muszkieterowie, trzy wróżki, do trzech razy sztuka, raz, dwa, trzy – start! Liczba 4 uchodziła za liczbę świętą, zwłaszcza w starożytnej Grecji. Są cztery strony świata, cztery pory roku, a my często szukamy czterolistnej koniczyny, która przynosi szczęście. Symbolika liczb naturalnych

Liczba 5 uważana była za liczbę szczęśliwą. Była między innymi symbolem potęgi Boga i człowieka (rozstawione nogi i ręce oraz głowa). Mamy pięć palców u ręki, pięć palców u stopy, pięć zmysłów. Liczba 6 uznawana była za liczbę szczęśliwą i stała się symbolem pokoju i szczęścia. W religii chrześcijańskiej oznacza liczbę dni, w ciągu których Bóg stworzył świat. Symbolika liczb naturalnych

Liczba 7 to liczba szczęśliwa i magiczna. Nawet dziś niektórzy wierzą w szczęśliwą siódemkę. Siódmy dzień tygodnia to dzień świąteczny. Liczba 8 była uznawana za symbol doskonałości i nieskończoności. Ma duże znaczenie w religii chrześcijańskiej. Osiem osób liczyła załoga Arki Noego. Liczba 9 uchodziła za liczbę szczęśliwą, która pomnożona stale się odtwarza. Np. 9 * 2 = 18 i 1 + 8 = 9 Symbolika liczb naturalnych

Liczba 10 jest sumą pierwszych czterech liczb: 1 + 2 + 3 + 4 =10. Zawsze była uważana za liczbę świętą. Dziesięć to suma palców obu rąk i suma palców obu nóg. Liczba 11 jest między innymi symbolem nadmiaru i przesady, nieporządku i grzechu. Symbolika liczb naturalnych

Liczba 12 była uważana za liczbę szczęśliwą i świętą. Rok ma dwanaście miesięcy, jest dwanaście znaków zodiaku, było dwunastu apostołów itp. Liczba 13 symbolizuje katastrofę, zdradę i często uznawana jest za liczbę pechową i złowróżbną, chociaż i za liczbę świętą. W czarnej magii wzywano trzynaście demonów, a w sabatach uczestniczyło podobno dwanaście czarownic i Szatan. Symbolika liczb naturalnych

Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce. Dzieje liczb

Taki system zapisu liczb nie nadaje się do zapisu dużych liczb. Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok. 3400 p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok. 3100 p.n.e.). W XIX wieku Russell zdefiniował po raz pierwszy ściśle liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych. Peano w 1889 zaksjomatyzował liczby naturalne. Na początku XX wieku von Neumann stworzył swoją konstrukcję liczb naturalnych. Dzieje liczb

Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby względnie pierwsze Liczby bliźniacze Liczba doskonała Liczba 0 i 1 Liczby zaprzyjaźnione Liczby trójkątne Liczby Mersenne’a Liczby lustrzane Liczba Szeherezady Liczby palindromiczne CIEKAWE LICZBY NATURALNE

Liczby pierwsze Liczba naturalna która ma dwa dzielniki: • Jedynkę • Samą siebie Przykłady: 2, 3, 5, 7, 11, 31, 37, 71, 83, 97

Liczby złożone Liczy naturalne większe od 1, które nie są pierwsze! Przykłady: 4, 6, 8, 21, 25, 34 Liczby 0 oraz 1 nie są ani pierwsze ani złożone

Liczby względnie pierwsze • Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze. • Przykłady • Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, • ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3. • Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników.

Liczby bliźniacze Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 Przykłady: (3, 5) , (5, 7) , (11, 13) , (17, 19) Do chwili obecnej nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych

Liczba doskonała Liczba naturalna która jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych ( to znaczy od niej mniejszych! ) Przykład: 6 ponieważ 6 = 3 + 2 +1 28 ponieważ 28 = 14 + 7 + 2 + 1

Liczba 0, Liczba 1 Liczba 0 to neutralny element dodawania A + 0 = A Liczba 1 to neutralny element mnożenia 1 • A = A

Liczby zaprzyjaźnione Para liczb naturalnych takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej ( nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników!) Pierwszą parą takich liczb, która została podana przez Pitagorasa jest para liczb 220 i 284 ponieważ: 284= 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 220) 220 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 284)

Liczby trójkątne tk = k ( k + 1 ) / 2, k € N tk- jest sumą kolejnych liczb naturalnych Przykład: t3 = 3 ( 3 + 1) / 2 = 6

Liczby trójkątne c.d Nazwa liczb trójkątnych pochodzi stąd, że tk jest liczbą np. monet jednakowej wielkości z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet. t1 = 1 t2 = 3 t3 = 6

Liczby Mersenne’a Liczby określone wzorem: 2p – 1 gdzie p jest liczbą pierwszą Przykłady: 22 – 1 = 3, 23 – 1 = 7 Liczby Mersenne’a zostały nazwane na cześć francuskiego matematyka który opublikował tablicę licz pierwszych tego typu, jak się później okazało, błędną. Dla p = 11 otrzymujemy liczbę złożoną, gdyż 211 – 1 = 23 • 89

Liczby lustrzane • Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem • np. 23 i 32 • 5693 i 3965

Liczba Szeherezady • Liczba Szeherezady (1001) widnieje w tytule nieśmiertelnych bajek "Z tysiąca i jednej nocy". • Liczba Szeherezady jest iloczynem trzech kolejnych liczb pierwszych 7 x 11 x 13 = 1001 • Jest ona najmniejszą czterocyfrową liczbą naturalną, którą można zapisać w postaci sumy sześcianów dwóch liczb naturalnych:1001 = 103 + 13 • Kolejną interesującą własność tej liczby odkryjemy przy próbie pomnożenia jej przez dowolną liczbę trzycyfrową. Odkryjemy wówczas, że wynikiem tego mnożenia jest zapisana dwukrotnie dana liczba trzycyfrowa. • 124 x 1001 = 124124372 x 1001 = 372372

Liczby palindromiczne • Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. • Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to:7, 57775, 626, 1111111... • Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia • źródło: Encyklopedia Szkolna Matematyka, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1992

Projekt „AS KOMPETENCJI’’ Jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego

DANE INFORMACYJNE