UNIDAD 1

1. UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS “Números naturales, Números enteros, Números racionales, números irracionales y números reales” Dr. Daniel Tapia Sánchez

2. BIENVENIDOS A LA PRIMERA UNIDAD!!!

3. A través del material que hemos elaborado para ti, al completar tu actividad deberás ser capaz de: • Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas, los cuales utilizarás en temas posteriores y a lo largo de tu desarrollo profesional. • También podrás poner en práctica tu habilidad en la solución de operaciones con números naturales, racionales, irracionales, enteros y reales.

4. Estos son los temas que estudiaremos en la primera unidad: 1.1 Números Naturales (N) 1.1.1 Consecutividad numérica 1.1.2 Paridad e imparidad 1.1.3 Múltiplos y divisores 1.1.4 Números primos 1.1.5 Mínimo Común Múltiplo 1.1.6 Máximo Común Divisor 1.2 Números Enteros 1.2.1 Valor absoluto 1.2.2 Operaciones con números enteros 1.2.3 Potenciación 1.2.4 Prioridad de las operaciones 1.3 Números racionales (Q) 1.3.1 Amplificación y simplificación de fracciones 1.3.3 Suma y resta 1.3.4 Multiplicación y división 1.4 Números irracionales (Q*) 1.5 Números reales (R)

5. Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como lo son las primeras civilizaciones: la necesidad de contar. Para empezar …sabías que… El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello empezó a representar las cantidades mediante marcas de huesos, trozos de madera o piedra; cada marca representaba un objeto observado. Así concibió la idea del número.

6. Y así comenzamos nuestro estudio del útil y maravilloso mundo de los números y las matemáticas:

7. 1.1 Los Números Naturales ( ) Son un conjunto de números de la forma: = {1, 2, 3, 4, 5,…} Dicho de otra forma, cualquier número mayor que cero y sin decimales, es un número natural. Como por ejemplo: 1000000000 293848 20 137 999999999 4738271920 A continuación aprenderemos algunas propiedades de los números naturales:

8. 1.1.1 Consecutividad numérica • Sucesor: • Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: • Si n pertenece a , su sucesor será n + 1. • Es decir, si n es un número natural. • Por ejemplo: • Número natural • n • Sucesor (natural) • n+1 • 35 • 36 • 1238 • 1239 • 237485 • 237486 • 1000000000 • 1000000001 • 999999 • 1000000

9. Antecesor: • Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: • Si n pertenece a , su antecesor será n – 1. • Número natural • n • Sucesor (natural) • n-1 • Por ejemplo: • 35 • 34 • 1238 • 1237 • 237485 • 237484 • 999999999 • 1000000000 • 999998 • 999999 • En resumen, podemos visualizar los números naturales como todos los números sin decimales a la derecha del cero en la recta numérica: Naturales Consecutivos 0 n - 1 n n + 1 antecesor sucesor

10. 1.1.2 Paridad e imparidad de los números naturales Este tema en realidad es muy fácil de comprender. Sin embargo, el hecho de incluirlo como tema de estudio en esta unidad es para mostrarte lo fácil que pueden ser las matemáticas si comienzas por el principio. • Los Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} • Son de la forma 2n, siendo n cualquier número natural. Sucesor par:Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par:Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 2n 2n + 2 Antecesor par Sucesor par

11. Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1} • Son de la forma 2n-1, siendo n un número natural Sucesor impar: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n +1. Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n -3. 2n - 2 2n + 1 2n - 3 2n -1 2n Antecesor impar Sucesor impar Haz la prueba con cualquier número par o impar y comprobarás que las fórmulas son exactas. También puedes comprobar que la suma de dos números pares o dos números impares, da siempre como resultado un número par.

12. 1.1.3 Múltiplos y Divisores • Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. • Múltiplos: • Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5, los cuales se obtienen de multiplicar 5x1, 5x2, 5x3 y 5x4, respectivamente. • Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente. • Divisores: • (Es decir, cabe en él una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5, el 7 y todos los que faltan en la lista, no son divisores de 24, ya que, por ejemplo, al dividir 24 por 5 resulta 4.8(La división no es exacta)

13. Te gustaría resolver divisiones entre números muy grandes sin la necesidad de usar la calculadora???? • En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo.

14. Nos permiten visualizar cuándo un número es divisible entre otro sin efectuar la división. A continuación se enuncian algunos de ellos: • Criterios de divisibilidad • Divisibilidad entre 2. • Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8. Los números divisibles entre 2 se llaman pares. Por ejemplo: 20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente

15. Divisibilidad entre 3. • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es múltiplo de 3 486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es múltiplo de 3

16. Divisibilidad entre 4 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 4 si sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4. Por ejemplo: 900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0 628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4

17. Divisibilidad entre 5 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 5 si su último dígito es 0 o 5. Por ejemplo: 5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0, respectivamente.

18. Divisibilidad entre 6 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 6 si a su vez es divisible entre 2 y 3. Por ejemplo: 216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre 6. 9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.

19. Divisibilidad entre 7 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito entre 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo: 315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21 es múltiplo de 7. 147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.

20. Divisibilidad entre 8 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8. Por ejemplo: 6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0 3160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3 dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

21. Divisibilidad entre 9 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Por ejemplo: 1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es múltiplo de 9. 6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es múltiplo de 9

22. Divisibilidad entre 10 • Criterios de divisibilidad • Un número entero es divisible entre 10 si su último dígito es 0. Por ejemplo: 360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0 2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es 0

23. 1.1.4 Los Números Primos Son aquellos números que son divisibles única y exclusivamente por 1 y por sí mismos. Entre ellos se encuentran: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…} Descomposición en Factores Primos La descomposición de un número en sus factores primos se realiza expresándolo como el producto de sus factores primos. Ejemplo: Expresar 144 como el producto de sus factores primos. 144 2 144 / 2 = 72 72 2 Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y así sucesivamente hasta que el último cociente sea 1. 72 / 2 = 36 36 2 36 / 2 = 18 18 2 18 / 2 = 2 9 3 9 / 3 = 3 3 3 3 / 3 = 1 1 Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144 Nota: El 1 no es considerado número primo

24. 1.1.5 Mínimo Común Múltiplo • El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: • Algunos múltiplos de 3 son: • {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60} • Algunos múltiplos de 6 son: • {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60} • Algunos múltiplos de 15 son: • {15, 30, 45, 60, 75,…} El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor)

25. 1.1.6 Máximo Común Divisor • El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor) -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

26. Ejemplos sobre el cálculo del mcm y MCD

27. Determinar el mcm de 4 y 6 • Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,… • Múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,… • Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,… • El menor de todos los múltiplos en común es 12 • Por lo tanto, el mcm es 12

28. El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a través del siguiente método: Se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida. El producto de los factores primos corresponde al m.c.m. • 6 15 3 • 2 5 2 • 1 5 5 • 1 m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

29. Determinar el mcm de 28 y 42 28/2 = 14 42/2=21 14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja 7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7 7/7 = 1 7/7=1 2 * 2* 3* 7 = 84 El mcm de 28 y 42 es 84

30. Obtener el MCD de 18 y 24 • Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18 • Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12 y 24 • Los divisores comunes son 1,2,3 y 6 • El mayor de los divisores es 6 • Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

31. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los números a la vez. 36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4 M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

32. Obtener el MCD de 48,36 y 60 Se hace lo mismo que para el mcm. Recuerda que estos números deben ser siempre números primos. En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores primos en común. Así que 2 * 2 * 3 = 12 Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.

33. 0 -3 -2 -1 1 2 3 1.2. Números Enteros (Z) Son todos los números positivos y negativos sin decimales. Es decir, un conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Se puede utilizar la recta numérica para representarlos: Z- Z+

34. 0 -5 5 5 unidades 5 unidades 1.2.1 Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia entre el punto sobre la recta numérica al que corresponde y el origen (cero de la recta numérica Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5 Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

35. 1.2.2 Operaciones con números enteros (1/3) • Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: • Si a y b son números enteros entonces, se cumple que: • a) a + -b = a – b Ejemplo: 5 + - 9 = 5 – 9 = -4 • b) a – (-b) = a + b Ejemplo: 12 – (-8) = 12 + 8 = 20

36. 1.2.2 Operaciones con números enteros (2/3) • c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo: 25 + 8 = +33 -5 + - 9 = -14 • d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor de los números. Ejemplo: -10 + 7 = -3 75 + -9 = +66

37. 1.2.2 Operaciones con números enteros (3/3) • e) Si a y b son dos números enteros de igual signo, entonces: - El producto y el cociente entre ellos es positivo. Ejemplo: -42 * -8 = +336 -28 / -7 = +4 • f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 37 * -5 = -185 125 / -5 = -25

38. a∙ a∙ a∙ a∙ a∙ … ∙ a 1.2.4. Potenciación 1.2.4.1 Definición • Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”. an = n veces Ejemplo: 343 73 = 7∙ 7∙ 7 = (-6)2 = (-6)∙ (-6)= 36

39. 3 3 2 2 23 23 = 3 3 3 3 = 8 = = 2 2 2 8 ∙ ∙ 27 3 3 3 3 2∙2∙2 = 3 -32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y (-3)2 = (-3)·(-3) = 9 ya que: y

40. 5x∙ 53x = an∙ am = an+m 1.6.2 Propiedades • Multiplicación de Potencias: De igual base • Se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: = 54x 5x+3x

41. an∙ bn = (a ∙ b)n 85∙ 42∙ 22= 85∙ (4∙ 2)2 = 85∙ 82= De igual exponente: • Se multiplican las bases, conservando el exponente. Ejemplo: 87

42. an: am = an-m 923 = 96 • División de Potencias: De igual base: • Se conserva la base y se restan los exponentes. Ejemplo: 923-6 = 917

43. an: bn = (a : b)n 75: 282 = 75: 72= 42 De igual exponente: • Se dividen las bases y se conserva el exponente. Ejemplo: 75: (28:4)2 = 73

44. (an )m = am ∙n • Potencia de Potencia: • Se multiplican los exponentes. Ejemplo: (210)4= 210 ∙4 = 240

45. n 1 a-n= a 2 2 15 1 1 5-2 ∙ ∙ (5)2 = = ∙ 25 = 1 3 5 25 • Potencia de Exponente Negativo: • Se invierte la base y se eleva al exponente positivo. Potencia de exponente negativo y base entera: (Con a, distinto de cero) Ejemplo:

46. -n n a b = b a -3 3 3 4 3 64 4 = = = 4 3 27 3 3 Potencia de exponente negativo y base fraccionaria: (Con a, distinto de cero y b distinto de cero) Ejemplo:

47. 7 – (15-8) 0 x x - 4y - 4y = 3 3 • Potencias de exponente cero: a0 = 1 (para todo a, distinto de cero) 00 : indefinido Ejemplo: = 1

48. 1.6.3 Potencias de base 10 • Con exponente positivo: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000… Ejemplo: 54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000 = 54 ∙ 106

49. 1 10-1 = = 10 1 10-2 = = 100 1 10-3 = = 1.000 4 = 100.000 • Con exponente negativo: 0,1 0,01 0,001… Ejemplo: 4 ∙ 10 -5 0,00004 =

50. 1) (-11)2 = 4 4 2) (-3) -3 = = 81 5 625 4 5 1.6.4 Signos de una potencia • Potencias con exponente par: • Las potencias con exponente par, son siempre positivas. Ejemplo: 121 (-11) ∙ (-11) =