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ABRAHAM GARCÍA ROCA

CIRCUNFERENCIA. TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS. ABRAHAM GARCÍA ROCA. agarciar@correo.ulima.edu.pe. CIRCUNFERENCIA .- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro. Flecha o sagita. N. Q. . Cuerda PQ. Recta

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  1. CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS ABRAHAM GARCÍA ROCA agarciar@correo.ulima.edu.pe

  2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

  3. Flecha o sagita N Q  Cuerda PQ Recta secante M P  Radio A B Arco BQ Centro Diámetro ( ) AB T  Recta tangente Punto de tangencia ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA 

  4. L R PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

  5. P N M R Q 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

  6. A B C D 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

  7. A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B D Las cuerdas equidistan del centro 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

  8. R r POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. d = Cero ; d : distancia

  9. R r R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + r

  10. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. d = R + r

  11. Punto de tangencia R r R d 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d = R - r d: Distancia entre los centros

  12. R r Distancia entre los centros (d) 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. ( R – r ) < d < ( R + r )

  13. R r Distancia entre los centros (d) 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d2 = R2 + r2

  14. R r d 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d < R - r d: Distancia entre los centros

  15. A R  P  R B PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. AP = PB

  16. A B R r r R D C 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CD

  17. A D R r r R B C 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB = CD

  18. Inradio b Circunradio a r R R c TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

  19. b Cuadrilátero circunscrito c a d TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + d

  20. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

  21. A r C  r B  = mAB 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

  22. D A  C B 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

  23. A B  C 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

  24. A C  B 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

  25. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A  B C

  26. A C  O B  + mAB = 180° 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

  27. B C  O D A b.-Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

  28. B  O C A c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

  29. PROBLEMAS RESUELTOS

  30. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. Se traza la cuerda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 01 RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Reemplazando: 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

  31. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. Q mQR = 140° H S 70° X P 20° R Problema Nº 02 RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m  S = 70º Por ángulo inscrito 140° Es propiedad, que: 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40°

  32. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. Medida del ángulo interior A mBC = 50° B Medida del ángulo exterior x P C D Problema Nº 03 RESOLUCIÓN APD = x 130° 50° Resolviendo: X = 40°

  33. En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN. N M x x A P o B Problema Nº 04 RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° Ángulo central igual al arco x Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

  34. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. B 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 70° Q P x C A R Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: PRQ = x 110° Medida del ángulo inscrito: Resolviendo: X = 55°

  35. A 70° X P B Resolución Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”.

  36. C A mAB=140º 70° X P B RESOLUCIÓN 140º Medida del ángulo inscrito: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 40º Resolviendo: 140º + x = 180º

  37. A P X 130º B Resolución Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”

  38. C A P X 130º mAB = 260º mACB = 100º 260º + mACB = 360º B mACB + x = 100º RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: En la circunferencia: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º

  39. B 2 A C 5 5 Resolución Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC.

  40. B a b 2 A C 5 5 (1) (2) RESOLUCIÓN Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 (2p) = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)

  41. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR . Q a P X R S Resolución a Problema Nº 09 PLANTEAMIENTO 80º

  42. 80º Q a P X R S a RESOLUCIÓN En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º

  43. En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q 3 R P 2 Resolución S Problema Nº 10 PLANTEAMIENTO

  44. a b Q c 3 d + R P 2 22 = 2PR + 10 S RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm Teorema de Poncelet: PQRa + b = PR+2(3) PSRc + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm

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