PRAVDĚPODOBNOST

1. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR PRAVDĚPODOBNOST Mgr. Martina Fainová

2. Náhodné pokusy Pokusy ve fyzice, chemii • při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek • Př. Změna skupenství vody při 100C a tlaku 100 kPa Pokusy v praxi , výzkumu, vědě • při dodržení stejných pravidel různé výsledky, tj. výsledek závisí na náhodě • Př. Hod kostkou, Ruleta, Sportka, Karty  náhodné pokusy NÁHODA = soubor drobných, ne zcela zjistitelných vlivů, které způsobují změnu výsledku

3. Náhodný jev = jakékoliv tvrzení o výsledku náhod. pokusu, o kterém lze rozhodnout, zda je pravdivé • Př. Náhodný pokus - hod kostkou Náhodný jev - padnutí stěny s číslem tři, padnutí sudého čísla Padnutí sudého čísla = padnutí čísla 2, 4, 6 Jev, který už nejde rozložit = ELEMENTÁRNÍ jev • padnutí stěny s číslem 4 Množina  elementárních neslučitelných výsledků jevu - zn. Q

4. A, A´ Náhodný jev Jev, který nikdy nenastane = NEMOŽNÝ jev • Př. Padnutí stěny s číslem 7 Jev, který vždy nastane = JISTÝ jev • Př. Padnutí sudého nebo lichého čísla značení jevu: velké písmeno A - jev - jev OPAČNÝ, doplňkový - nastane  nenastává jev A • Př. A: Na kostce padne číslo 5. A´: Na kostce padne cokoliv kromě čísla 5

5. A  B = 0  jevy se vylučují - Vztahy mezi jevy A  B Jev A je podjevem jevu B; jev A je částí jevu B • Př. A: Hod čísla pět. B: Hod lichého čísla. A  B Průnik jevů A, B - nastane  nastanou jevy A, B současně • Př. A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo. A  B: Padne číslo 3. ??u hodu kostkou neslučitelné jevy A  B Sjednocení jevů A, B - nastane  nastane alespoň jeden z jevů A, B • Př. A  B: Padne právě jedno z čísel 1; 3; 5; 6.

6. Pravděpodobnost náhod. jevu Často si před náhod. pokusem klademe otázku, jaká je naděje (pravděpodobnost), že daný jev nastane. • Př. Hod čísla 3, vylosování 1. ceny, bude pršet PRAVDĚPODOBNOST zkoumá matematické zákonitosti projevující se v náhod. pokusech. Pravděpodobnost = míra očekávání, že daný náh. jev nastane. ?? Hrací kostka - pravidelná a 6 stejně možných čísel Pravděpodobnost, že padne číslo 1?

7.  každý výsledek má pravděpodobnost Pravděpodobnost náhod. jevu • některé pokusy mají n stejně možných výsledků - Př. Padnutí čísla na kostce, vylosování něj. čísla • některé pokusy nemají všechny výsledky stej. možné - Př. Narození chlapce, výroba kvalitního výrobku  po provedení velkého počtu pokusů lze zjistit, v kolika případech jev nastal a provést odhad pravděpodobnosti

8. Klasická pravděpodobnost Má-li pokus n stejně možných elementárních výsledků, které se navzájem vylučují, je prav-děpodobnost číslo m - počet „příznivých“ výsledků (nastane jev A) n - počet všech možných výsledků

9. Příklady: 1) Jaká je při hodu hrací kostkou pravděpodobnost, že padne stěna se sudým počtem bodů? Řešení: 2) V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že váš zakoupený los vyhraje? Řešení:

10. Příklady: 3) Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete ve sportce první cenu, vyplníte-li jednu sázenku? Uvažujeme pouze 6 tažených čísel z osudí 49 čísel. Řešení: Počet všech možných výsledků: = 13 983 816 1. cena  uhodneme všech 6 tažených čísel Pravděpodobnost výhry: 0,000 000 072

11. 4) Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu třemi kostkami bude součet bodů 12? Příklady: Řešení: Počet všech možných výsledků: 6  6  6 = 216 Některé součty mají různé výsledky, např. 6,5,1; 6,1,5; 5,1,6; 5,6,1; 1,6,5; 1,5,6. 6;4;2 5;4;3 5;5;2 4;4;4 12: 6;5;1 6;3;3 = 0,116

12. Statistická pravděpodobnost Nelze-li použít klasickou def. pravděpodobnosti, vycházíme z výsledků již provedených pokusů. - založena na relativní četnostijevů při dostatečně velkém počtu na sobě nezávislých pokusů n(A) - počet pokusů, ve kterých jev A nastal n - celkový počet pokusů

13. Při 4 040 hodech mincí padl rub 2 048×, při 12 000 hodech 6 019×, při 24 000 hodech 12 012×. Proveďte odhad pravděpodobnosti padnutí rubu mince. Příklad: Řešení: n = 4 040: n = 12 000: n = 24 000: S rostoucím n se P přibližuje 0,5 

14. ?? Pravděpodobnost nemožného jevu? ?? P(A) = 1 - P(A) Vztah mezi P(A) a P(A)? Věty o pravděpodobnosti V1: Každému náhodnému jevu A je přiřazena pravděpodobnost P(A); 0 ≤ P(A) ≤ 1. V2: Pravděpodobnost jistého jevu je 1. P(A) = 0 V3: Pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů je součet pravděpodobností těchto jevů.

15. Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo? Příklad: Řešení: Alespoň 1 jednociferné  1, 2, 3, 4, 5, 6 jednociferných Opačný jev: všechna čísla jsou dvojciferná 0,274

16. Cvičení: Příklad 1: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu dvěma kostkami bude součet 6? Je tato pravdě- podobnost větší než u součtu 7? Příklad 2: Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek a 15 chlapců. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je prav- děpodobnost, že to bude 1 chlapec a 1 dívka? Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost výhry páté ceny ve sportce (3 čísla ze 6 tažených), je-li 13 983 816 možných výsledků losování?

17. Cvičení: Příklad 4: V bedně je 30 výrobků, z nichž 3 jsou vadné. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 5 náhodně vybranými výrobky bude nejvýš 1 vadný. Příklad 5: 40 studentů má být náhodně rozděleno na 4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou i Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zařazení do téže skupiny?

18. Pozn.: Dva jevy jsou neslučitelné  AB=0 Pravděpodobnost sjednocení Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem nesluči-telných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem slučitelných jevů je rovna:

19. Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou. Jev A – na bílé padne číslo  3, jev B – na modré padne číslo  3. S jakou pravděpodobností nastává jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B? Příklad: Řešení: Počet všech možných výsledků: 6  6 = 36 a) nastává jev A  na bílé padne číslo  3 Počet příznivých výsledků: 4  6 = 24 b) nastává jev B  na modré padne číslo  3 Počet příznivých výsledků: 3  6 = 18

20. Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou. Jev A – na bílé padne číslo  3, jev B – na modré padne číslo  3. S jsou pravděpodobností nastává jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B? Příklad: Řešení: Počet všech možných výsledků: 36 c)na bílé padne číslo  3 a na modré číslo  3 4  3 = 12 Počet příznivých výsledků: d)na bílé padne číslo  3 nebo na modré číslo  3 - jevy nejsou nezávislé

21. Cvičení: Příklad 1: V tombole se prodalo 500 slosovatelných lístků, ze kterých pět vyhrává 1. cenu, deset 2. cenu a čtyřicet 3. cenu. Jaká je pravděpodobnost výhry na právě jeden zakoupený lístek? Příklad 2: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne alespoň na jedné kostce šestka? Příklad 3: Ve třídě je 70 % chlapců a 30 % dívek. S vyznamenáním studuje 20 % chlapců a 10 % dívek. Jaká je pravd., že náhodně vybraný žák studuje s vyzn.?