Lineární algebra

Lineární algebra

Vektor • Skalár • číslo bez rozměru a směru • Vektor ve fyzice • veličina mající velikost, směr, působiště • Vektor v matematice • určuje posunutí Každou uspořádanou n - tici čísel (a1,a2,…..an) nazveme n - rozměrným (aritmetickým) vektorem.Čísla a1, a2, …. an nazveme souřadnice vektoruOznačení a = (a1, a2, …. an)

Pravidla pro počítání vektory a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, ..., bn), k  R • a = b (a1 = b1, a2 = b2, …. an = bn) • a + b = (a1 + b1, a2 + b2, …. an + bn) • k.a = (ka1, ka2, …. kan) • Nulový vektor 0 = (0, 0, ..., 0) • Opačný vektor -a = (-a1, -a2, …, -an)

Skalární součin vektorů Skalárním součinem vektorů a = (a1,a2,…..an), b = (b1,b2,…..bn) nazýváme číslo a . b = a1.b1 + a2 .b2 + an.bn Příklad:Určete skalární součin vektorů a = (1, 2, 1), b = (1, 4, 3) a . b = 1.1 + 2.4 + 1.3 = 12

Vektorový prostor Množinu všech uspořádaných n-tic (a1, a2, …, an) spolu s operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem, pro něž platí řada běžně splnitelných podmínek, nazýváme n- rozměrným vektorovým prostorem. Značí se Vn= (V, S, +,*), kde V je množina vektorů, S je množina skalárů a + a * jsou operace s nimi.

Lineárně nezávislé vektory Nechť a1, a2, ..., am Vn, c1 ..., cm R • Vektory a1, a2, …, am jsou lineárně nezávislékdyž c1.a1 + c2.a2 + cm.am= 0 jen pro c1 = c2 =cm = 0 • Je- li alespoň jedno z čísel ci 0, nazýváme tyto vektory lineárně závislé. • Vektor b  Vn se nazývá lineární kombinací vektorů a1, a2,…. am, existují-li čísla c1, …, cm taková, že platí b = c1. a1 + ... + cm.am.

Báze vektorového prostoru • Množina [a1, a2, ….ah] se nazývá báze vektorového prostoru, • jsou-li její vektory lineárně nezávislé a každý ostatní vektor vektorového prostoru je jejich lineární kombinací. • Hodnost (dimenze) vektorového prostoru • je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů, počtu vektorů v bázi..

Příklad báze Kanonická báze j1 = (1,0,…,0) j2 = (0,1,…,0) … jn = (0,0,…,1) Vektory j1,…, jn jsou lineárně nezávislé.

Souřadnice vektoru Nechť B je = [a1, a2, ….an] je bází vektorového prostoru, pak každý vektor v = 1a1 + 2a2 + … + nan a koeficienty 1, 2, …, n jsou souřadnice vektoru v vzhledem k bázi B. Příklad B = [a1, a2] = [(1,0,1), (1,1,0)], v = (5,2,3) v = 3a1 + 2 a2

Matice MaticíA typu (m, n) nazýváme strukturu reálných čísel o m řádcích a n sloupcích. Je-li m = n , mluvíme o čtvercové matici. Označujeme A [aik]. Hodnost matice A typu (m,n) je rovna počtu lineárně nezávislých řádků (nebo sloupců) matice.

Základní pojmy • Diagonála matice • je tvořena prvky a11, a22 ,... arr , kde r = min(m,n) • Nulová matice • všechny prvky matice jsou nulové • Trojúhelníková matice • všechny prvky pod diagonálou jsou nulové • Jednotková matice • čtvercová matice, která má všechny prvky na diagonále rovny 1. Značíme E.

Operace s maticemi Nechť A, B jsou matice obě typu (m,n) • Rovnost matic A = B  jsou-li téhož typu (m,n) a aik = bik • Součet matic A + B = [aik+bik] • Násobek matice skalárem .A = [.aik] • Součin matic A typu (m, n) a B typu (n, p) je matice A.B = C =[cik] typu (m, p), kde cik je skalární součin i - tého řádku matice Aa k - tého sloupce matice B

Elementární operace • Elementární operace • Součet řádků • Násobení řádků skalárem • Výměna řádků • Vynechání řádku

Inverzní matice • Čtvercová matice A řádu n je regulární h = n • Čtvercová matice A řádu n je singulární h < n Nechť A je regulární čtvercová matice n - tého řádu. Matici X, pro kterou platí A.X = X.A = E, kde E je jednotková matice n - tého řádu, nazveme inverznímaticí k matici A a označíme A-1.

Výpočet inverzní matice • Provedeme elementární operace na matici (A|E) s cílem vytvořit z matice A matici jednotkovou, z matice E pak vznikne matice inverzní.

Hodnost matice • Hodnost matice se nezmění • zaměníme-li pořadí řádků • vynásobíme-li řádky nenulovým číslem • přičteme-li k řádku lineární kombinaci řádků ostatních • vynecháme-li řádek, který je lineární kombinací řádků ostatních • zaměníme-li pořadí sloupců • Určení hodnosti matice - matici převedeme pomocí elementárních operací na trojúhelníkový tvar

Soustava lineárních rovnic a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + …. + a2n xn = b2 … am1x1 + am2x2 + am3x3 + …. + amnxn = bm A = (aij),i =1,…,m, j=1,...,n jsou koeficienty proměnných b = (bi)i =1,…,m je sloupec pravých stran a x = (x1, x2, x3,….xn)jsou proměnné Soustavu je možno zapsat v maticovém tvaru Ax = b

Frobeniova věta • Nehomogenní soustava je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost. • Je-li n = h  existuje právě jedno řešení • Je-lin  h  existuje nekonečně mnoho řešení závislých na n - h parametrech

Gaussova eliminační metoda • Vytvoříme rozšířenou matici soustavy • Matice koeficientů proměnných a vektor pravých stran • Upravíme tuto matici na trojúhelníkový tvar • Pomocí elementárních operací s řádky (sloupci) • Elementárními úpravami dostáváme ekvivalentní soustavy rovnic – mají stejná řešení • Dopočítáme proměnné x1, x2, … xn. • Ve čtvercové soustavě je možno jednu proměnnou určit okamžitě, ostatní postupným dosazováním • V soustavě s více proměnnými než rovnicemi položíme proměnné, které neodpovídají trojúhelníkovému tvaru soustavy, rovny nule, ostatní dopočítáme

Gaussova eliminační metoda x1 + 2x2 + x3 = 3 2x1 + x2 + x3 = 6 Matice soustavy x1 + 3x2 + x3 = 2 • x1 + 2x2 + x3 = 3 • -3x2 - x3 = 0Z toho x3 = 3x2 = -1x1 = 2 • -x3 = -3

Jordanova eliminační metoda • Vytvoříme rozšířenou matici soustavy • Matice koeficientů proměnných a vektor pravých stran • Upravíme tuto matici na diagonální tvar • Na diagonále jedničky, ostatní prvky ve sloupcích rovny nule • Pomocí vybraných elementárních operací s řádky (sloupci) • Vybereme řídící prvek (pivot) – budoucí řídící jedničku • Vybraný řídící řádek pivotem vydělíme • K ostatním řádkům přičítámš vhodný násobek řídícího řádku • Hodnoty proměnných x1, x2, … xnodpovídajících diagonále (bázických) jsou ve vektoru pravých stran

Jordanova eliminační metoda x1 + 2x2 + x3 - x4 = 2 2x1 + 3x2 - x3 + 2x4 = 1 4x1 + 7x2 + x3 = 5 • x1 = -4 x2 = 3 x3= x4 = 0 • x1 = -4 +5p - 7q x2 = 3 - 3p + 4q x3= p x4 = q

Lineární algebra