Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes

1. Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes1

2. Plan Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes2

3. moteur 1 moteur 3 Sous caisse sellerie 2 sellerie 4 mécanique 1 sellerie 6 mécanique 3 sellerie 8 mécanique 4 poste de conduite porte Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule • 4 étapes : emboutissage, tôlerie, peinture, assemblage • Processus de montage • Graphe de montage Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes3

4. Contexte industriel / Description de l’atelier • Manutention dans l’atelier : • Des magasins alimentent en pièces les tronçons avec une flotte de véhicules de manutention Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes4

5. Etat de l'art / Problématique et Evaluation • Problématique générale du facility layout : Positionner des zones dans un espace défini de manière à minimiser les flux, les encombrements, … Exemple : aéroports, hôpitaux, … • Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: • « relationship chart  » Max z = somme somme rij*xij • rij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j • xij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon • «  from-to chart  » Min z = somme somme fij*cij*dij • fij : flux entre la zone i et j ; dij : distance entre i et j • cij : coût en unité de flux et de distance entre i et j Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes5

6. Etat de l'art • Représentation graphique • Discrète (ensemble des positions déterminé par une grille) • Continue (infinité de solution) • Optimisation d’un agencement : • Représentation topologique • Représentation par graphe d’adjacence • Représentation par arbres de découpes • Affectation quadratique • Programmation linéaire en nombres entiers Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes6

7. Etat de l'art / Optimisation • Représentation topologique • Adaptées aux approches constructives (ex : SHAPE) et recherche locale (ex : CRAFT) • Graphes d'adjacences • Graphe dont les nœuds représentent une zone et les arêtes les relations d'adjacences entre les zones • Arbre de découpe (slicing tree) • Création d'un "floorplan" (une partition du rectangle initial) qui peut se représenter par un arbre (binaire) dont chaque nœud correspond à un rectangle Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes7

8. Etat de l'art / Optimisation • Problème d'affectation quadratique (FAQ) • Affecter à chaque zone une et une seule position Min z = Σ Σ Σ Σfij.cij.dlk.xik.xjl • fij : flux entre les zones i et j • cij : coût entre les zones i et j • dlk : distance entre la position l et k • xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon • Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) • Variables pour les coins de chacune des zones, pour les informations entre deux zones (flux, coût, localisation) m m m m i=1 j=1 k=1l=1 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes8

9. Etat de l'art / Synthèse • Beaucoup de travaux dans la littérature • Travaux présentés sont : • soit très génériques  ne prennent pas en compte certains aspects de notre problème • soit très spécifiques  ils sont difficiles à réutiliser dans d'autres contextes que celui spécifié • Pas de travaux avec la Programmation par Contraintes Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes9

10. Définition du problème • Positionner les zones (tronçons et magasins) de manière à minimiser les coûts en fonction des flux réels transitant dans l’atelier en : • suivant le graphe de montage et de manutention • gérant l’entrée et la sortie de la chaîne sur l’atelier • créant un réseau d’allées pour l’approvisionnement • Tronçons : forme rectangulaire, une entrée et une sortie à l’opposée sur les largeurs et donc 4 orientations (, ,  ,) • Magasins : carrés, pas d’entrées ni de sorties donc pas d’orientations Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes10

11. Spécificités du modèle • Modélisation avec la Programmation Par Contrainte • Evaluation : «from-to» chart • Représentation graphique discrète • Gestion du réseau d’allées avec un rajout d’une demi-allée pour chacune des zones Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes11

12. Spécificités du modèle • Calcul des distances par la méthode de Manhattan : permet de prendre en compte le réseau d’allées • Pour éviter d’allonger la distance de convoyage entre l’entrée de l’atelier et le premier tronçon : nous collons l’entrée du tronçon à l’entrée du magasin • Pour la sortie, la voiture étant terminée à la fin de la chaîne, la distance qui sépare le dernier tronçon de la sortie est moins important Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes12

13. Données du problème • Bx, By : longueur et largeur du bâtiment • xs,ys : abscisse et ordonnée de la sortie de l’atelier • xe,ye : abscisse et ordonnée de l’entrée de l’atelier • Li, li : longueur et largeur de chaque tronçon et magasin (Li=li) • M : nombre de magasins • T : nombre de tronçons • aij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) • fij : flux entre 2 zones • cij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre 2 zones Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes13

14. Variables du modèle • xi, yi : (≥ 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque zone • hi, vi : {Li, li} : taille de la zone i en abscisse et ordonnée • eih, eiv : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur) • Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention) • Distance de manutention (magasin i et tronçon j) dij = |xi - xj| + |yi - yj| • Distance de production dij = |(xi - eih.hi/2) - (xj - aj.ejh.hj/2)| + |(yi - eiv.vi/2) - (yj - aj.ejv.vj/2)| Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes14

15. Fonction objectif • Manutention : flux Magasins - Tronçons • Production : flux Tronçons - Tronçons • L : indice du dernier ronçon de la chaîne d montage • dls = |(xl - elh.hl/2) -xs| + |(yl - elv.vl/2) – ys| Min z = ΣΣfijcijdij + ΣΣfijcijdij + flsclsdls M T T T i=1 j=1 i=1 j=1 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes15

16. Contraintes • Positionnement dans l'atelier • hi/2 ≤ xi≤ Bx-hi/2 et vi/2 ≤ yi≤ By-vi/2 i  M  T • Dimensions et orientation des tronçons • si longueur verticale alors largeur horizontale et vice et versa : hi + vi = Li + li i  T • orientation verticale ou horizontale : eih=0 <=> eiv!=0 i  T • entrée du coté de la largeur : eih!=0 => hi=Li et eiv!=0 => vi=Li i  T • Non superposition des zones • si superposition horizontale alors non superposition verticale : |xi-xj| <(hi+hj)/2  |yi-yj| ≥(vi+vj)/2 • si superposition verticale alors non superposition horizontale : |yi-yj| < (vi+vj)/2  |xi-xj| ≥ (hi+hj)/2 Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes16

17. Approches de résolution • Modèle présenté peut efficace  partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: • Placement de la chaîne principale • Placement des chaînes secondaires • Placement des magasins Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes17

18. Résolution de la chaîne principale • Modèle présenté peut efficace  partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: • Placement de la chaîne principale • Placement des chaînes secondaires • Placement des magasins Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes18

19. Résolution des chaînes secondaires • Modèle présenté peut efficace  partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: • Placement de la chaîne principale • Placement des chaînes secondaires • Placement des magasins Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes19

20. Placement des magasins • Problème d’affectation des positions pour les magasins • Modèle en PLNE : / Bx/5By/5 | Min z = ∑ ∑ ∑ fijcijdijkxik | i M j T k=1 | sujet à : | xik = 0 (i  M, | k une des case du magasin i occupée par un | tronçon ou hors de l’atelier) < Bx/5By/5 | ∑ xik =1 (i  M) | k=1 | ∑ ∑ xij ≤1 (1 ≤ k ≤BxBy) | i M l  L | où L est l’ensemble des case tel que k soit occupée si le \ magasin i est en l Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes20