Realizatorzy projektu

2. Realizatorzy projektu Uniwersytet Szczeciński COMBIDATA Poland Sp. z o.o.

3. PaTRONIPROJEKTU ZachodniopomorskiKurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

4. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Edmunda Bojanowskiego w Lubsku • ID grupy:98/24 • Opiekun: mgr Anna Pach • Kompetencja: • Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Twierdzenia i pojęcia geometryczne i ich ilustracja za pomocą fotografii • Semestr/rok szkolny: • Drugi/2010/2011

5. Nasza szkoła

6. Nasza Grupa projektowa w pracy

7. TWIERDZENIA I POJĘCIA GEOMETRYCZNE I ICH ILUSTRACJA ZA POMOCĄ FOTOGRAFII

8. TROCHĘ HISTORII • Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.).

9. Trochę historii • Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.

10. Geometria – pojęcia wstępne • Przedmioty, czyli ciała materialne, które nas otaczają, mają jedną cechę wspólną - zwaną rozciągłością - mianowicie, każde z nich zajmuje pewną część przestrzeni. Tę właśnie część przestrzeni, którą zajmuje przedmiot, nazywamy bryłą geometryczną.

11. Geometria – pojęcia wstępne • Rozróżniamy trzy wymiary bryły: długość, szerokość i wysokość. Widzimy je bez trudu w pokoju, łatwo spostrzegamy wymiary pudełka, skrzyni itp. • Wysokość nosi niekiedy nazwę głębokości, np. głębokość studni; zamiast o szerokości mówimy o grubości muru.

12. Graniastosłupy i ostrosłupy

13. Definicja • Graniastosłup jest to wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych podstawami graniastosłupa i którego wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe.

14. Definicja • Ostrosłup jest to bryła geometryczna, której wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem (czyli są trójkątami o wspólnym wierzchołku). • Wysokość ostrosłupa jest to odległość od wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

15. Graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe • Ostrosłup prawidłowy (ostrosłup foremny) – to taki ostrosłup, w podstawie którego znajduje się wielokąt foremny, a rzutem jego wierzchołka jest środek masy podstawy.

16. Graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe • Ostrosłup prawidłowy czworokątny jest nazywany czasem piramidą, ponieważ właśnie w jego kształcie są zbudowane piramidy w Egipcie.

17. Graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe • Graniastosłup prawidłowy (graniastosłup foremny) – to taki graniastosłup prosty, którego każda podstawa jest dowolnym wielokątem foremnym (tj. mającym równe boki oraz takie same kąty). • Graniastosłupem prawidłowym jest więc np. dowolny prostopadłościan mający w podstawie kwadrat (graniastosłup prawidłowy czworokątny). W szczególności jest nim też sześcian.

18. Bryły platońskie • Szczególnie ciekawymi wielościanami foremnymi są tak zwane bryły platońskie. Bryły platońskie to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.

19. Bryły platońskie • Brył platońskich jest 5: • Czworościan • Sześcian • Ośmiościan • Dwunastościan • Dwudziestościan

20. Bryły platońskie - własności • Czworościan (tetraedr) •    Posiada:  - 4 powierzchnie  - 4 wierzchołki  - 6 krawędzi   

21. Bryły platońskie - własności • Sześcian ma interesujące właściwości •    Posiada:   - 6 płaszczyzn   - 8 wierzchołków, a w każdym wierzchołku spotykają się 3 krawędzie   - 12 krawędzi   - Każda płaszczyzna ma 4 krawędzie i jest kwadratem

22. Bryły platońskie - własności • Ośmiościan (oktaedr)Właściwości:   Posiada:   - 8 płaszczyzn   - Każda płaszczyzna ma 3 krawędzie i jest trójkątem równobocznym   - 12 krawędzi   - 6 wierzchołków i przy każdym wierzchołku spotykają się 4 krawędzie                                

23. Bryły platońskie - własności • Dwunastościan •    Posiada:   - 8 płaszczyzn. Każda ma 5 krawędzi i stanowi pięciokąt   - 20 wierzchołków. Przy każdym wierzchołku spotykają się 3 krawędzie   - 30 krawędzi

24. Bryły platońskie - własności • Dwudziestościan •    Posiada:   - 20 płaszczyzn. Każda płaszczyzna ma 3 krawędzie      i stanowi trójkąt równoboczny   - 12 wierzchołków   - 30 krawędzi

25. CIEKAWE BRYŁY PRZESTRZENNE - ORIGAMI

26. Czym jest origami? • Origami to sztuka składania papieru, pochodząca z Chin, rozwinięta w Japonii i dlatego uważa się ją za tradycyjną sztukę japońską. • W XX w. ostatecznie ustalono reguły origami: punktem wyjścia ma być kwadratowa kartka papieru, której nie wolno ciąć, kleić i dodatkowo ozdabiać i z której poprzez zginanie tworzone są przestrzenne figury.

27. Nasze prace – przykłady origami • Żuraw

28. Nasze prace – przykłady origami • Kwiatek

29. Nasze prace - przykłady origami • Inne

30. Origami

31. RZUTY FIGUR PRZESTRZENNYCH NA PŁASZCZYZNĘ • Rzutem figur przestrzennych na płaszczyznę zajmuje się dział matematyki zwany geometrią wykreślną. Jest to powstały pod koniec XVIII w. dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie

32. RZUTOWANIE Wyróżnia się dwa rodzaje rzutowania: *równoległe, gdy proste rzutujące łączy wspólny kierunek rzutowania. Tutaj można wyróżnić ponad to rzut figury pionowy, poziomy i boczny. * środkowe, gdy wszystkie proste rzutujące przechodzą przez jeden wspólny punkt - środek rzutów (jest to tzw. jednoznaczne, lecz nieodwracalne przekształcenie rzutowe - jego niezmiennikiem jest np. współliniowość punktów). Wykorzystuje się je w malarstwie do osiągania efektu perspektywy.

33. RZUTOWANIE Najczęściej stosowane są • rzuty prostokątne (kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni); • prostopadłe (kierunki rzutowania są prostopadłe względem siebie). Tak uzyskane rzuty umownie nazywa się widokiem z góry i widokiem z boku. Możliwe jest wprowadzanie dodatkowych rzutni, o dowolnym usytuowaniu w celu ułatwienia, bądź przeprowadzenia konstrukcji.

34. Stosuje się zazwyczj układ trzech rzutni:

35. Układ przestrzenny trzech płaszczyzn

36. Przykłady konstrukcji przestrzennej:

37. Rzut prostokątny figury na płaszczyznę α:

38. SYMETRIE • Symetria jest to właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego.

39. SYMETRIE • Oś symetrii figury jest to prosta, która dzieli tę figurę na dwie przystające części. Figury, które posiadają oś symetrii nazywamy figurami osiowosymetrycznymi. • Środek symetrii jest punktem, względem którego ta figura jest do siebie środkowo symetryczna.. Figury posiadające środek symetrii nazywamy figurami środkowosymetrycznymi.

40. Przykłady figur geometrycznych posiadających osie symetrii: Jedną: • trójkąt równoramienny; • trapez równoramienny; • kąt. Dwie: • prostokąt; • odcinek. Trzy: • trójkąt równoboczny; Cztery: • kwadrat; Nieskończenie wiele: • koło; • okrąg.

41. Przykłady figur posiadających środek symetrii:

42. Figura środkowosymetryczna

43. PRZYKŁADY SYMETRII Odbicie w lustrze Odbicie w wodzie

44. Symetria w przyrodzie

45. Przykład symetrii w architekturze – Wieża Eiffla

46. Przykład SYMETRII w architekturze

47. Przykład symetrii w architekturze

48. Przykład symetrii w architekturze

49. symetria w architekturze – Łuk Triumfalny

50. Przykłady symetrii w życiu codziennym