Chapitre II : Les outils mathématiques

1. Chapitre II : Les outils mathématiques II-1 Les signaux analogiques et échantillonnés II-2 Produits de signaux II-3 Transformées de Fourier II-4 Transformée de Laplace II-5 Transformation en Z

2. fe T t 2 3 4 5 6 1 7 f t Chapitre II : Les outils mathématiques II-1 Les signaux - Les différents états d’un signal 1 Signal analogique Il est représenté par une fonction continue f(t) de la variable continue t (f et t prenant leurs valeurs dans ). 2 Signal échantillonné Il est obtenu à partir d’un signal analogique par discrétisation de la variable générique t. C’est donc une suite de valeur f(kT) prélevée sur f(t) aux instants t=kT (k est entier etT période d’échantillonnage) Symbole de l’opération échantillonnage : T f(kT), fe(t), fk f(t) Le modèle mathématique d‘un échantillon de valeur f(kT) est la distribution singulière de Dirac kT=(t-kT) d’amplitude f(kT). Un signal échantillonné s’écrit donc : fe(t)=f(t). Peigne de Dirac

3. 3 Signal numérique c’est une suite de nombres obtenue à partir d’un signal échantillonné après discrétisation de l’amplitude f(kT) de l’échantillon (c’est donc le nombre mis en mémoire dans l’ordinateur). f(kT) ne peut prendre qu’une suite de valeurs séparées du pas de quantification q. L’exemple le plus courant est celui des signaux délivrés par un convertisseur analogique-numérique (CAN) et traités ensuite par un ordinateur. Le modèle mathématique du signal numérique est le même que celui du signal échantillonné. Cependant le signal numérique peut etre décomposé en 2 contribution. Signal Numérique = Signal Echantillonné + bruit de quantification de variance On supposera dans la suite du cours que q<<1, aussi ne fera-t-on pas de différence entre un signal numérique et un signal échantillonné. 4 Signal quantifié (Convertisseur Numérique Analogique CNA) C’est le signal obtenu après le convertisseur numérique analogique. Il peut être obtenu aussi à partir de f(t) après quantification de l’amplitude de f au pas q (troncature, arrondi, ....).

4. II-2 Produits de signaux 1 Le produit de convolution a Définition Le produit de convolution modélise la relation entrée sortie d’un système linéaire invariant (SLI) h(t) représente la réponse impulsionnelle du système considéré L’élément neutre du produit de convolution est la distribution de Dirac:

5. b Convolution de signaux discrets (échantillonnés) Le produit de convolution de 2 signaux échantillonnés est un signal échantillonné dont la suite des échantillons est : 2 Produit Scalaire de deux signaux analogiques Soit f et g deux fonctions réelles ou complexes, le produit scalaire de ces deux fonctions est : P est un nombre réel ou complexe. On dit que P représente la projection de f sur g. Si P=0, on dit que les deux fonctions sont orthogonales. Si f=g, P représente l’énergie de f (Ef).

6. Exemple : La Transformée de Fourier (voir II-3) représente l’ensemble des projections d’une fonction f(t) sur la base des fonction cissoïdale (qui forment une base de fonctions orthonormée). Remarque : On peut définir le produit scalaire de 2 signaux numériques : Donc la Transformée de Fourier d’un signal échantillonné s’écrit : FFT 3 Energie et Puissance Les produits précédents n’existent que si au moins l’un des signaux est dit à énergie finie.

7. T 1/T II-3 Transformée de Fourier 1 Définition F() existe si f(t) est absolument sommable Quelques cas particuliers : TF[ ]= 2 Propriétés principales Retard : Convolution (l’un au moins des signaux est d’énergie finie) : Energie:

8. Transformée de Fourier d’un signal échantillonné : On remarque que la TF d’un signal échantillonnée est périodique de période . Le développement précédent est le développement en série de Fourier complexe de Fe() ; les f(kT) sont les coefficients de ce développement et donc : 3 Conséquences de l'échantillonnage et Théorème de Shannon L'échantillonnage est une nécessité pour pouvoir traiter les signaux analogiques par calculateur numériques (traitement plus simple et moins coûteux), la contre partie est la perte d’information entraînée par L'échantillonnage. La suite numérique f(kT) est censée représenter la signal analogique f(t). Or on vient de voir que la TF de fe() =Fe() est périodique de période (T période d'échantillonnage) alors que F() n’a aucune raison de l'être. L'échantillonnage dans le domaine temporel se traduit par une périodisation de spectre dans le domaine fréquentiel.

9. Fe() e/2 M e Dans l’exemple ci-dessus, on voit que , dans ce cas il n ’est pas possible de connaître F() à partir de Fe() donc il est impossible de remonter à f(t) à partir de la suite des f(kT). Ce problème est provoqué par le repliement des signaux. T 1/T Relation entre Fe()et F() fe(t)=f(t). Fe() = F()* Fe() est le répétition périodique de F(), qui représente le motif élémentaire, avec la période Exemple:

10. Fe() e/2 M e Théorème de Shannon La suite f(kT) est une représentation suffisante de f(t), si : 1- f(t) doit-être à bande limité (donc existence de M) 2- la fréquence d’échantillonnage doit vérifiée : f(t) peut alors être extrait de f(kT) à partir d’un filtre passe bas de gain T et donc la fréquence de coupure vaut Fe() e/2 M e A l’inverse dans le cas ci-dessous on constate que les deux signaux sont identiques car

11. Fe() e/2 M e Remarque : En pratique, le signal f(t) n’est pas à bande limitée. De plus fréquemment un signal est entaché de bruit à large spectre. On aura donc toujours recouvrement des fréquences du à la périodisation du spectre du signal échantillonné. Donc pour éviter le repliement du spectre autour de e/2 (appelée fréquence de Nyquist). - Il est nécessaire de décider qu’il existe une fréquence maximum M au delà de laquelle f(t) ne contient plus d’information utile. - Il faut alors filtrer le signal analogique avant échantillonnage = utilisation d’un filtre passe bas anti-repliement dont le rôle est de couper les fréquences supérieures à M. Restitution du signal On désire donc reconstituer un signal à temps continu à partir des valeurs aux instants nT. Pour cela il est nécessaire d’effectuer une interpolation entre 2 instants de discrétisation. 1 Interpolateur idéal Comme nous l’avons vu précédemment pour obtenir le signal f(t) à partir du signal échantillonné fe(kTe) il suffit d’éliminer les bandes translater de F() par une fonction fenêtre :

12. La transformée de Fourier inverse du filtre est bien connue, notamment lorsque l’on veut calculer la diffraction d’une fente, donc on obtient la formule de l’interpolateur idéale : Remarque : L’utilisation de la formule de l’interpolateur idéale est impossible en temps réel car pour calculer f(to) il faut connaître les valeurs de f(t) aux instants tel que kT>to 2 Interpolateur réalisable en temps réel = Bloqueur d’ordre 0 (B0) B0 Réponse impulsionnelle du B0 0

13. Représentation fréquencielle : Filtre idéal Exemple de filtre antirepliement: filtre de Butterworth : • : constante caractérisant l’ondulation dans la BP Cn : polynôme de Tchebychev du premier ordre et de degré n filtre de Tchebychev :

14. II-4 Transformée de Laplace d’un signal analogique 1 Définition La variable de Laplace est Abscisses de convergence: La transformée de Laplace (TL) définit ci-dessus est la TL bilatère, la TL monolatère ou TL (sans plus de précision) est : Il est à noter qu’une TL bilatère n’a de sens que si l’on précise le domaine de convergence de Re(p)=r Exemple: Lorsqu’on travaille avec des sommes de signaux, l’intersection des domaines de convergence () doit être non nul pour que l’on puisse travailler avec la TL.

15. En fait les signaux auxquels nous sommes confrontés rentrent dans l’une des deux classes suivantes: a – Les signaux sont sommables en valeurs absolue alors  est non vide puisque r=0. On pourra alors remplacer p par j, donc TL et TF se déduisent l’une de l’autre b – Les signaux sont nuls t<0 (signaux causals) et sont de croissance au plus exponentielle alors la convergence de la TL est assurée. Donc  est non vide puisque la borne supérieur est l’infini (+), pas de problèmes existence, par contre le passage à la Tf n’est pas assuré contrairement au cas précédent. Quelques TL: 2 Propriétés de la TL Linéarité Le produit de convolution : La dérivation :

16. Cas des fonctions rendues causales L'intégration Théorème de la somme : Théorème de la valeur finale et initiale :

17. Théorème du retard : Formule d’inversion pour les fonctions causales : Le ième résidu a pour valeur :

18. II-5 Transformation en Z (TZ) 1 Définition Pour les signaux analogiques, l'outils mathématiques utilisé est la TL. L’une de ces propriétés notable est de remplacer le produit de convolution par un produit simple et de substituer l’opérateur dérivée (d/dt) par la seule multiplication de la variable p ... Un outil analogue a donc été développé pour le traitement des signaux échantillonnés : - A une suite d'échantillons {xn} on fait correspondre X(Z) de la variable complexeoù T est la période d'échantillonnage. - Sachant que le modèle mathématique d’un signal échantillonné s’écrit: Remarque : est un opérateur avance du temps T, c’est-à-dire l’opérateur avance d’un échantillon La TZ s’identifie à la TF pour . On dit que la TZ est TF évaluée sur le cercle unité.

19. R+ R- 2 Condition d’existence Appliquons ce critère à F(Z) La zone de convergence est un anneau délimité par les rayons R- et R+ qui représentent l’équivalent des abscisses de convergence de la TL Remarque : Si f(kT) est causal R+

20. Exemples: Définir les rayons de convergence des suites : 3 Transformée en Z inverse a - Formule d’inversion

21. Cette relation a valeur de définition Cas des signaux causals  R+ = +,donc tous les pôles de F(z) sont à l’intérieurs du contours (c), on peut évaluer l’intégrale : Uniquement valable pour les signaux causals

22. Exercice: Trouver les rayons de convergence, l’expression de F(Z) b – Inversion numérique directe pour un signal causal Si F(Z) se présente sous la forme d’un rapport de 2 polynômes en Z : On calcul le quotient en divisant N(Z) par D(Z) suivant les puissance croissante de Z-1. La suite f(kT) est la suite des coefficients du quotient Exemple: Rampe Remarque : pour un signal causal degrés de N  degrés de D

23. 4 Obtention de la TZ à partir de la TL Exemple: 5 Propriétés de la TZ Linéarité :

24. Avance / Retard : • Remarque :k0=1 correspond à l’avance ou le retard d’un échantillon. • La variable Z joue le rôle d’opérateur avance au même titre que la variable p joue le rôle d’opérateur dérivation en TL • La variable Z-1 joue le rôle d’opérateur retard au même titre que la variable 1/p=p-1 joue le rôle d’opérateur intégration en TL

25. Avance / Retard (suite) : Cas de la transformation monolatère ou d’une suite rendue causale Le décalage à gauche (avance) fait disparaître un certain nombres d’échantillon: Le décalage à droite (retard) fait apparaître un certain nombres d’échantillon qu’il faut ajouter : Exemple: Rappel: Retard: Avance:

26. Multiplication par ak : On se déplace sur un rayon suivant la valeur de a. Une des applications possible est de multiplier un signal par ak afin de modifier la position des pôles et des zéros de sa TZ Multiplication par le temps (t) : Valeurs limites Valeurs initiales Valeurs finales

27. Produits de signaux Equation de récurrence