Réponses temporelles des circuits électriques

1. Réponses temporelles des circuits électriques Cours de Michel METZ plan général

2. Réponses temporelles des circuits électriques • Introduction : • bienvenue • démarche pédagogique • objectifs du cours • conseils d'utilisation • position du problème • Chapitre 1 : les outils • Chapitre 2 : les circuits du 1er ordre • Chapitre 3 : les circuits du 2ème ordre • Glossaire <<

3. Bienvenue Ce cours correspond à une approche très physique des Régimes Transitoires des circuits électriques. Il a été développé pour répondre le plus simplement possible à des problèmes posés dans le cadre de l'étude des Convertisseurs Statiques, au sein d'une équipe d'enseignants-chercheurs du LEEI de l'ENSEEIHT/INPT, animée par le professeur Henri FOCH. Cette équipe a notamment réalisé pour les Techniques de l'Ingénieur plusieurs fascicules couvrant une partie importante de l'Electronique de Puissance (Ref. D3151==>D3177) Ce cours correspond plus précisément à la version moderne revue et augmentée des fascicules (Ref. D3151, D3156 et D3158). << >> plan général

4. Démarche pédagogique Le support de formation a été conçu dans le cadre de la « pédagogie par objectifs ». Il repose sur un cours à plusieurs niveaux et des exercices représentatifs de l’ensemble du savoir et savoir-faire à acquérir. Le 1er niveau de cours est nécessaire à la réalisation de ces exercices. Le 2ème niveau correspond à des approfondissements accessibles via des liens hypertextes : ils ne sont pas indispensables en 1ère lecture mais permettent d’acquérir une vision plus globale de la discipline proposée. Chaque exercice est associé à 2 autres de même type de façon à proposer : • 1 exercice avec correction complète et des remarques d’ordre méthodologique ou conceptuel • 1 exercice avec aide et solution brute • 1 exercice à rendre Cette approche progressive devrait vous permettre d’acquérir une assez grande autonomie… Et n’oubliez pas que vous pouvez toujours contacter votre tuteur via la plate-forme de diffusion (mail, forum…) ! Les objectifs de ce support de formation sont indiqués sur la page suivante « objectifs du cours » << >> plan général

5. 0bjectifs du cours L'objectif général de ce cours est de savoir déterminer les réponses temporelles des circuits électriques à partir des informations que l'on peut obtenir par des considérations physiques simples. • Les objectifs du 1er chapitre sont : • de comprendre les notions de condition initiale, de régime libre et de régime permanent • de savoir utiliser les circuits équivalents qui leur sont associés. • Les objectif du 2ème chapitre sont : • de savoir trouver les régimes permanents correspondant à divers types d'excitations • de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1er chapitre pour déterminer complètement les réponses des circuits électriques du 1er ordre. • Les objectifs du 3ème chapitre sont : • de connaître et de savoir utiliser la représentation dans le plan d'état • de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1er chapitre pour déterminer complètement les réponses des circuits électriques du 2ème ordre. • de savoir analyser des circuits comprenant interrupteurs et éléments réactifs << >> plan général

6. Conseils d'utilisation La navigation se trouve dans la barre grisée située au bas de chaque page. D'une façon générale elle permet l'accès aux pages précédente et suivante, au plan général ainsi qu'au plan du chapitre. Elle permet aussi l'accès aux exercices et à leur solution. Elle disparaît lorsque il y a une animation et réapparaît à la fin de celle-ci. Le bouton qui apparaît sur certaines pages, indique en fait que ces pages ne sont pas terminées. Il suffit alors de cliquer dessus pour progresser dans la page. Les liens hypertexte permettent une connexion directe sur des pages précises. Ils apparaissent en bleu souligné avant d'avoir été visités et en gris-bleu souligné après. Le glossaire comprend tous les termes qui ont fait l'objet d'un lien hypertexte. Chaque nom renvoie à la page ou ces termes sont explicités. Sur cette page, le bouton "retour" renvoie à la page où ce terme a été utilisé pour la première fois. Pour sortir de l'application, appuyer sur la touche Echap (ou Esc) clic << >> plan général

7. Position du problème • Lorsque l'on veut voyager et trouver un bon itinéraire, on prend une carte et on se pose en général trois questions : Comment y va-t-on ? Où est-on ? Où va-t-on ? • Pour savoir comment évolue une grandeur dans un circuit électrique (son itinéraire ! ) , il faut se poser le même type de questions : • d'où vient-elle ? : problème des conditions initiales • où va-t-elle ? :problème des régimes permanents (ou régimes forcés) • comment y va t-elle ? : problème desrégimes transitoires << >> plan général

8. Position du problème : exemple • A titre d'exemple, pour connaître l'évolution du courant dans le filtre d'un convertisseur continu-continu, il faut pouvoir répondre aux trois questions : • quelle est la condition initiale ? • quel est le régime permanent ? • comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le régime transitoire ? Régime permanent Régime transitoire Condition initiale • C'est ainsi que vous procéderez pour trouver les réponses temporelles des circuits électriques : vous serez ainsi capables pour les grandeurs considérées, de déterminer leur expression analytique et de décrire leur représentation graphique. plan général

9. Chapitre 1 : les outils • Introduction • Conditions initialesExercices • Systèmes linéaires • Régime libreExercices • Régime permanentExercices plan général

10. C R1 e(t) s(t) R2 Introduction chapitre 1 • La détermination des réponses des circuits électriques repose sur • les équations des branches : • les lois de Kirchhoff : qui conduisent à un système d'équations différentielles. • La résolution peut être effectuée par la transformée de Laplace ou en résolvant directement ce système différentiel. Mais dans bien des cas, on peut obtenir des résultats plus rapides en utilisant des circuits équivalents. Les outils développés ici concernent précisément ces circuits équivalents. • Ainsi seront établis successivement : • les circuits équivalents instantanés • les circuits équivalents du régime libre • les circuits équivalents continus • Ils seront présentés à partir du même circuit très classique de la figure ci-contre : plan du chapitre plan général

11. Conditions initiales • La condition initiale d'une grandeur électrique est la valeur que prend cette grandeur à l'instant initial (symbolisé communément par t = 0+). Cette valeur peut être égale à celle qu'elle possédait avant l'instant initial, mais cette propriété n'est vraie a priori que pour certains types de variable. • Deux cas sont à envisager : • la grandeur est une variable liée à l'énergie, telle que vC (tension dans un condensateur) ou iL (courant dans une inductance). Comme cette grandeur ne peut pas subir de discontinuité, on peut affirmer que sa valeur à l'instant t = 0+ est identique à celle qu'elle avait juste avant cet instant : • ainsi, il suffit de connaître x(0-) pour connaître x(0+). Cela signifie aussi, que l'on peut imposer la valeur de la condition initiale en pré-chargeant l'élément à la valeur voulue. • la grandeur n'est pas a priori une variable liée à l'énergie (tension inductance, courant condensateur, tension ou courant dans une résistance…) ; on dit qu'il s'agit d'une variable secondaire. La valeur qu'elle prend à l'instant initial n'est en général pas égale à celle qu'elle avait avant l'instant initial : • (en général) • la simple connaissance de x(0-) ne suffit plus alors pour déterminerx(0+). Avant de montrer comment y parvenir, nous illustrons ce problème avec un exemple très simple. << >> plan du chapitre plan général

12. R iR vC E C Conditions initiales Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... avant la fermeture de l'interrupteur, le condensateur est préchargé à v0 Déterminons les valeurs des variables vC et iR avant et après fermeture de l'interrupteur. précharge v0 • vC est une variable liée à l'énergie et ne peut donc pas subir de discontinuité, donc : • iR n'est pas une variable liée à l'énergie. Il faut donc déterminer les deux valeurs qu'elle prend avant et après fermeture de l'interrupteur • avant fermeture (instant t = 0-) : l'interrupteur étant ouvert, le courant ne peut être que nul • après fermeture (instant t = 0+), la tension condensateur est égale à v0, doù : • Remarques : • la valeur de iR (0+) est différente de celle de iR (0-) ; cette valeur de iR (0+) dépend en effet de l'ensemble du système : condition initiale v0 , source de tension E, topologie du circuit. Cela signifie que l'on ne peut pas imposer directement de condition initiale sur la variable secondaire iR, alors qu'on a pu le faire pour la variable principale vC. • Pour calculer iR (0+), nous avons implicitement remplacé le condensateur par une source de tension égale à v0. Lorsque les circuits sont un peu plus compliqués, on peut systématiser la procédure en utilisant les "circuits équivalents instantanés". Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes. << >> plan du chapitre plan général

13. Circuits équivalents instantanés • Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité : • un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se comporte donc comme une source de tension "instantanée" • une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se comporte donc comme une source de courant "instantanée" • Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : clic

14. => v0 => i0 i0 => Court-circuit v0= 0 v0 => Circuit ouvert i0= 0 Circuits équivalents instantanés • Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité : • un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se comporte donc comme une source de tension "instantanée" • une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se comporte donc comme une source de courant "instantanée" • Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : • Un condensateur préchargé à v0... est équivalent à une source de tension d'amplitude v0 • Une inductance préchargée à i0... est équivalente à une source de courant d'amplitude i0 Cas particuliers << >> plan du chapitre plan général

15. C R1 e(t) s(t) R2 e(t) E t 0 Circuits équivalents instantanés (exemple) précharge v0 Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) : clic <<

16. C R1 e(t) s(t) R2 e(t) E t 0 R1 E R2 s(0+) Circuits équivalents instantanés (exemple) • Pour cela, nous reprenons le même circuit... précharge v0 Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) : et nous remplaçons le condensateur... clic <<

17. C R1 e(t) s(t) R2 e(t) E v0 t 0 R1 E R2 s(0+) Circuits équivalents instantanés (exemple) • Pour cela, nous reprenons le même circuit... précharge v0 Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) : et nous remplaçons le condensateur... par une source de tension d'amplitude v0 • Nous constatons alors que l'on a simplement : << plan du chapitre plan général

18. 9V C1 v C2 8V 2A L v C2 8V Exercices sur les condition initiales • Exercice 1 • On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension constante. • A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que les conditions initiales sont les suivantes : • courant I20 dans l'inductance L2 • tension VC0 aux bornes du condensateur C • Donner à l'instant t = 0+ les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC. solution R1 iL1 L1 K R2 E iL2 vC R L2 Exercice 2 On considère le circuit de la figure ci-contre. Les condensateurs C1 et C2 sont respectivement préchargés à 9V et 8V avant l'instant t = 0. Donner à l'instant t = 0+ l’expressions de la tension v Même question lorsqu’on remplace le condensateur C1 par une inductance L parcourue par un courant de 2A dans le sens indiqué sur la figure. aide << >> plan du chapitre plan général

19. R1 iL1 L1 R2 I K iL2 vC R L2 Exercices sur les condition initiales • Exercice 3 • On considère le circuit de la figure ci-contre. I est une source de courant constante. • A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K alors que la condition initiale du courant dans l’inductance L2 est égale à I20. • 1 Préciser quelles doivent être obligatoirement les conditions initiales des grandeurs iL1 et vC • 2 Donner à l'instant t = 0+ les expressions de iL1, iL2, vC du courant iC et de la tension vL2. À rédiger et à rendre << plan du chapitre plan général

20. Solution condition initiales énoncé Exercice 1 iL1, iL2, et vC sont des variables liées à l'énergie. Elles ont donc pour valeur à l'instant t = 0+ celle qu'elles avaient juste avant la fermeture de l'interrupteur K, soit : R1 R2 E VC0 R iL2(0+) iC(0+) Pour iC(0+) il faut utiliser le circuit équivalent instantané de la figure ci-contre... On trouve alors : Remarque: la résistance R2 a été supprimée car elle se trouve en série avec une source de courant dont, par définition, l'impédance est infinie. Elle n'intervient donc pas sur la répartition des courants et des tensions relatifs aux autres éléments du circuit à l'exception de la tension relative à cette source. De même la résistance R qui se trouve en parallèle sur une source de tension, n'a d'influence que sur le courant débité par cette source de tension. Si cette résistance R n'a pas été supprimée, c'est parce que l'on demande précisément ce courant iC(0+). plan du chapitre plan général

21. 9V C1 v C2 8V 2A L v C2 8V Aide condition initiales énoncé Exercice 2 Il faut remplacer les condensateurs par des sources de tension de même amplitude et de même sens que les conditions initiales. On applique alors le théorème de Millman et on obtient : A On procède de la même façon avec le 2ème circuit. La résistance de 3Wse trouve en série avec la source de courant équivalente de l’inductance : elle est donc supprimée. On trouve alors en utilisant encore le théorème de Millman : A Remarque: pour l’écriture du théorème de Millman, il faut compter positivement les sources orientées comme la grandeur que l’on cherche (ici vers le nœud A). Ainsi, dans la 1ère question les 2 sources de tension sont comptées positivement puisqu’elles sont toute les deux orientées vers le nœud A. Dans la 2ème question, la source de tension sera encore comptée positivement, alors que la source de courant sera comptée négativement. plan du chapitre plan général

22. Liens conditions initiales retour • Variables liées à l'énergie : • Dans le cadre des circuits électriques, l'énergie prend deux formes : • énergie électromagnétique : 1/2 LiL2 • énergie électrostatique : 1/2 CvC2 • la propriété de continuité de la variable énergie (puissance finie), se transmet aux variables électriques iL et vC que l'on désigne sous le nom de variables liées à l'énergie. • ==> résultat très important : les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité

23. Systèmes linéaires Les circuits électriques que nous étudions ici sont des circuits linéaires à constantes localisées et sont donc régis par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ils appartiennent ainsi à la grande famille des systèmes linéaires que l'on retrouve dans tous les domaines de la physique. Ils bénéficient évidemment de leurs propriétés générales. Les propriétés fondamentales des systèmes linéaires : • la connaissance des variables d'état à un instant donné permet de déterminer l'évolution du système à tout instant. Le nombre de variables d'état définit l'ordre de complexité du système et correspond en particulier au nombre minimal de variables qu'il faut suivre simultanément. • toute variable est la somme de deux termes : • xl(t) est la solution de l'équation différentielle homogène (sans second membre) et tend donc toujours vers zéro : elle correspond au régime libre. • xf(t) est la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre : elle correspond au régime permanent ou plus généralement au régime forcé. • Nous illustrons cette propriété fondamentale sur un exemple que nous étudierons complètement par la suite >> plan du chapitre plan général

24. k R L v(t) i(t) Constatons sur cet exemple les résultats généraux dus à la relation • Toute variable tend vers son régime permanent, ce qui se produit lorsque son régime libre s'est annulé (tant que le régime libre n'est pas nul, on se trouve en régime transitoire). • La connaissance des deux termes xf(t) et xl(t), permet donc de déterminer à la fois le régime permanent et le régime transitoire. Systèmes linéaires Par exemple dans le cas d'un circuit RL que l'on connecte à une source de tension sinusoïdale v(t) à l'instant t0, on trouve : le régime permanent if(t), qui est un courant sinusoïdal déphasé arrière le régime libre il(t), qui est une exponentielle commençant à l'instant t0 et tendant vers 0... i(t) il(t) t 0 t0 le courant i(t) qui est la somme de ces 2 composantes if(t) et il(t). v(t) if(t) << >> plan du chapitre plan général

25. Systèmes linéaires (fin) • Rappel du problème Nous avons vu (position du problème) qu'il fallait savoir répondre aux trois questions : • quelle est la condition initiale ? • quel est le régime permanent ? • comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le régime transitoire ? • Nous constatons alors que la théorie des systèmes linéaires permet de répondre aux questions concernant le régime permanent et le régime transitoire. Il faut évidemment pour cela que l'on sache effectivement déterminer les deux composantes xf(t) et xl(t). Tel est l'objet des deux prochains sous-chapitres. • Si l'on ajoute les résultats du sous-chapitre précédent concernant les conditions initiales (question 1), on peut considérer que le problème est virtuellement terminé. << plan du chapitre plan général

26. Liens systèmes linéaires (1) retour Circuits linéaires à constantes localisées Ce sont des circuits uniquement composés d'éléments discrets linéaires tels que les résistances, les condensateurs, les inductances... • Variables d'état • Les variables d'état contiennent à chaque instant une information complète sur l'état énergétique d'un système. Dans une première approche, on peut considérer qu'elles s'identifient aux variables liées à l'énergie. • Les variables d'état doivent par ailleurs, constituer un ensemble de variables indépendantes • Dans les circuits électriques, il existe deux types de relations de dépendance : • les mailles capacitives • les coupures inductives • De façon pratique : pour un circuit électrique donné, on prend toutes les tensions condensateur moins une par maille capacitive et tous les courants inductance moins un par coupure inductive. • Ordre de complexité d'un système • L'ordre de complexité d'un système, que l'on appelle plus simplement "ordre d'un système" peut être défini de plusieurs façons équivalentes : • il est égal au nombre de variables d'état, c'est à dire au nombre d'éléments réactifs moins le nombre de mailles capacitives, moins le nombre de coupures inductives • il est égal au nombre de conditions initiales que l'on peut effectivement imposer. Cette deuxième approche, plus physique, repose sur les considérations suivantes : • on ne peut imposer de condition initiale que sur les variables liées à l'énergie, c'est à dire dans les éléments réactifs • dans une maille capacitive (coupure inductive), la relation de dépendance entre les n tensions condensateur (courants inductance) est également valable pour les conditions initiales : si n - 1 conditions initiales sont imposées, la nième résulte forcément des autres et ne peut donc être imposée, donc : • Ordre = néléments réactifs - nmailles capacitives - ncoupures inductives

27. Liens systèmes linéaires (2) retour Régime permanent et régime forcé Le régime permanent correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé. Le terme "régime permanent" fait implicitement référence à un régime continu ou périodique comme c'est le cas par exemple lorsque l'excitation est continue, sinusoïdale, rectangulaire… Dans le cas où l'excitation n'est pas périodique (en forme de rampe par exemple), la solution particulière peut exister mais elle ne peut être ni périodique ni même bornée. Le terme "régime permanent" ne convient plus ; on utilise alors celui de "régime forcé". On peut parler également de "régime attractif". On retiendra que le terme "régime forcé" est utilisé dans le même sens que "régime permanent" mais correspond à une notion plus générale. De façon pratique, on utilisera dans ce cours le terme "régime permanent" le plus souvent possible, parce que cela correspond à l'usage le plus répandu. Nous utiliserons le terme "régime forcé" uniquement lorsque cela sera nécessaire, dans les cas où il n'y a pas de régime permanent (voir Ch. 2 : Réponse à une rampe).

28. vC1 vC2 v Liens systèmes linéaires (3) retour • Mailles capacitives • Une maille capacitive est une maille dans laquelle il n'y a que des sources de tension et des condensateurs. • Dans l'exemple présenté sur la figure, la maille matérialisée par la flèche est effectivement une maille capacitive. • La loi des mailles s'écrit alors : • v - vC1 - vC2 = 0 • et constitue donc une relation de dépendance entre les deux variables vC1 et vC2. • L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, • l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire. • On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve • évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie. • On notera également qu'une résistance série de très faible valeur dans cette maille suffit à lui retirer son caractère "capacitif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.

29. i4 i2 i1 i3 i5 iL1 j iL2 a b c Liens systèmes linéaires (4) retour • Coupures inductives • 1) qu'est-ce qu'une coupure ? • Rappelons q'une maille est constituée par un ensemble de branches pour lesquelles on a : v = 0 • Par dualité, on est amené à définir ce que l'on appelle une coupure constituée d'un ensemble de branches pour lesquelles on a : i = 0 • Considérant le graphe d'un circuit de la figure ci-contre, il est facile de voir que • l'on a : i1 + i2 + i3 = 0 C'est la classique loi des nœuds. • Mais on voit aussi que l'on a : i1 + i4 + i5 = 0 (Système isolé) • Ainsi les 3 branches 1,4 et 5 constituent une coupure. L'ensemble des branches liées à un nœud • n'est en fait qu'un cas particulier d'une coupure. • De façon pratique, pour trouver une coupure, il suffit de tracer une ligne fermée entourant au moins • un nœud (figure ci-contre). Les branches traversées par cette ligne constituent une coupure. • Ainsi la ligne a définit une coupure à 3 branches qui n'est qu'un nœud. La ligne b définit une • coupure à 3 branches, la ligne c une coupure à 4 branches. Il y en a beaucoup d'autres ! • 2) coupures inductives • Une coupure inductive est une coupure constituée uniquement de sources de courant et d'inductances • Dans l'exemple présenté sur la figure, la coupure matérialisée par la ligne en pointillé est effectivement • une coupure inductive. On a alors : j + iL1 + iL2 = 0 • ce qui constitue une relation de dépendance entre les deux variables iL1 et iL2. • L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, • l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire. • On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve • évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie. • On notera également qu'une résistance de très forte valeur en parallèle sur les branches de cette coupure, suffit à lui retirer son caractère "inductif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.

30. Régime libre • Rappelons que le régime libre xl(t), correspond à l'équation différentielle sans second membre, c'est à dire au système sans excitation.Il tend toujours vers zéro. • sur le plan des circuits électriques, le régime libre correspond donc au circuit sur lequel on a effectué les modifications suivantes : • les sources de tension ont été remplacées par des court-circuits • les sources de courant ont été remplacées par des circuits ouverts on dit alors que l'on a rendu le circuit passif. • Pour connaître entièrement le régime libre, il faut répondre aux trois mêmes questions, c'est à dire, déterminer sa condition initiale, son régime permanent, et son évolution entre les deux. • le régime libre xl(t) tendant toujours vers 0, son régime permanent est donc toujours nul • la condition initiale xl(0+) est en général différente de la condition initiale de la variable considérée x(0+) Elle se détermine par identification à l'instant t = 0+ : …ce qui suppose que l'on puisse connaître xf(0+) . >> plan du chapitre plan général

31. Régime libre (suite) • l'évolution du régime libre xl(t)à partir de sa condition initiale xl(0+) , n'est liée qu'aux constantes propres du système que sont les constantes de temps, les pulsations et les amortissements. Le nombre de ces constantes propres est exactement égal à l'ordre du système : • ordre 1 : 1 constante de temps…………. • ordre 2 : 2 constantes de temps ou 1 pulsation et 1 amortissement • ordre 3 : comme ordre 2 plus une autre constante de temps, etc… ==> la détermination de ces constantes propres peut donc s'effectuer à partir uniquement du régime libre. Pour cela, il suffit de rendre le circuit passif. On fait alors apparaître ce que nous appelons le "circuit équivalent du régime libre". Nous en montrons un exemple d'utilisation dans les pages suivantes. Remarques : • les constantes propres sont identiques pour toutes les variables d'un système donné. Ainsi ces variables auront toutes les mêmes constantes de temps, les mêmes pulsations de résonance, les mêmes amortissements… • la condition initiale xl(0+)est la seule valeur du régime libre qui dépende de l'ensemble du système (conditions initiales, sources, topologie du circuit). Elle fait partie de ce que l'on appelle les constantes indéterminées. On trouve d'autres constantes indéterminées dans les régimes permanents (voir sous-chapitre "régimes permanents") << >> plan du chapitre plan général

32. C C R1 R1 e(t) e(t) s(t) s(t) R2 R2 Circuit équivalent du régime libre (exemple) Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... et déterminons ses constantes propres • Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du 1er ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule constante de temps t à trouver. • Nous reprenons le même circuit…. et cherchons le circuit équivalent du régime libre, en remplaçant la source de tension... clic <<

33. C R1 e(t) s(t) R2 C R1 s(t) R2 C R1 // R2 Circuit équivalent du régime libre (exemple) Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... et déterminons ses constantes propres • Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du 1er ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule constante de temps t à trouver. • Nous reprenons le même circuit…. et cherchons le circuit équivalent du régime libre, en remplaçant la source de tension... par un court-circuit • Nous constatons que les deux résistances R1 et R2 sont en parallèle. Le circuit se réduit donc à une résistance unique R1 // R2 et au condensateur C. • La constante de temps ts'écrit alors : << plan du chapitre plan général

34. Exercices sur le régime libre • Exercice 1 • On considère le circuit de la figure ci-contre. Les deux sources sont des sources de tension. • Déterminer les constantes propres du système : • lorsque K est ouvert • lorsque K est fermé solution R3 R1 C K R2 R4 v' v • Exercice 2 • On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension et I est une source de courant. • Le système est très peu amorti. Déterminer la pulsation de résonance : • lorsque K est ouvert • lorsque K est fermé • Déterminer le rapport de ces deux pulsations lorsque • L1 = L2 et C1= C2 . aide L1 C1 E I K C2 L2 << >> plan du chapitre plan général

35. R1 C1 v R2 I C2 Exercices sur le régime libre Exercice 3 On considère le circuit de la figure ci-contre. Déterminer sa constante de temps. La source de tension v est remplacée par une source de courant. Quelle est la nouvelle constante de temps. La source de courant I est remplacée par une source de tension. Quelle est la nouvelle constante de temps À rédiger et à rendre << plan du chapitre plan général

36. Solutions régime libre énoncé • Exercice 1 • On remplace les deux sources de tension par des court-circuits (Fig. 1) • On s'aperçoit alors que les résistances R1 et R2 sont en parallèle. Bien que cela soit moins évident à voir, il en est de même des résistances R3 et R4 puisqu'elles sont reliées au mêmes nœuds (nœud A et nœud B) • Redessiné, le circuit devient celui de la figure 2. • On trouve alors : • soit : • On vérifiera que lorsque l'interrupteur K est fermé, il court-circuite l'ensemble R3 et R4 • la constante de temps devient alors : R3 Nœud B R1 C Fig 1 R2 R4 Nœud A C Nœud B R1 R2 R4 R3 Fig 2 Nœud A plan du chapitre plan général

37. Aide régime libre énoncé Exercice 2 On remplace la source de tension par un court-circuit et la source de courant par un circuit ouvert. On constate alors que les 4 éléments L1 , L2 , C1et C2 sont en série. On est donc ramené à un circuit LC série avec : L1 C1 E I K C2 L2 On obtient alors : lorsque L1 = L2 et C1= C2, le rapport de ces deux pulsations devient : Remarque : les sources que l’on voit apparaître dans ce type de circuit ne sont pas nécessairement de « vraies » sources. Elles ne sont souvent que des condensateurs ou des inductances de forte valeur : leur variable principale (vCou iL) ne varient que très lentement et sont donc considérées comme des sources vis à vis des phénomènes rapides. Dans l’exemple traité (bras d’onduleur), la source de courant I est typiquement une inductance de 100 à 1000 fois plus grande que L1ou L2 . Si on ferme l’interrupteur K, on obtient : plan du chapitre plan général

38. => Court-circuit Circuit ouvert => Liens régime libre retour • Circuit Passif • Dans un circuit électrique rendu passif, on a supprimé les excitations : l'amplitude de la tension des sources de tension ainsi que l'amplitude du courant des sources de courant devient nulle. Par contre, la nature de ces sources (impédance nulle pour une source de tension, impédance infinie pour une source de courant) se conserve. • Ainsi : • une source de tension est remplacée par un court-circuit : • une source de courant est remplacée par un circuit ouvert : • Il faut éviter de dire et surtout de faire : • on court-circuite les sources de tension, • on ouvre les sources de courant.

39. Liens régime libre retour • Constantes propres, constantes indéterminées • Les constantes propres d'un circuit (constantes de temps, pulsations, amortissements) sont identiques pour l'ensemble des variables de ce circuit. Elles ne dépendent que de ses éléments constitutifs et de leur agencement. Elles sont indépendantes des conditions initiales et des sources (seule la nature source de V ou source de I intervient). Elles sont accessibles dans le circuit équivalent du régime libre. • Les constantes indéterminées dépendent des variables choisies. Elles se calculent à partir des conditions initiales et des valeurs trouvées dans les régimes permanents. • Exemple : dans l'expression générale d'un circuit du 2ème ordre excité par une grandeur sinusoïdale : • w0 et t sont les constantes propres, alors que A, B, C, et j, sont des constantes indéterminées.

40. Régime permanent Le régime permanent (ou forcé) ou xf(t )correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé. Les résultats généraux les plus connus concernant les régimes permanents (ou forcés) sont rappelés ci-dessous : excitation continue excitation sinusoïdale excitation polynomiale régime permanent continu régime permanent sinusoïdal régime forcé polynomial Nous verrons dans le deuxième chapitre, des exemples d'excitations sinusoïdales et polynomiales. Mais dans le cadre de ce chapitre général sur les outils, il est intéressant de présenter "les circuits équivalents continus", qui sont particulièrement utiles dans le cas des excitations continues ou continues par morceaux telles que les excitations rectangulaires ; ils peuvent être également utilisés lorsque les sources sont lentement variables sur l'horizon temporel considéré (voir chapitre 3). Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes. • Remarques : • la "recopie" des excitations dans les régimes permanents (ou forcés) n'est pas une propriété générale. Elles est vraie pour certaines excitations élémentaires comme celles rappelées ci-dessus. Elle est fausse par exemple dans le cas d'excitation en créneaux (voir chapitre 2). • Le terme "continu" est ici strictement équivalent à "constant". Il n'a rien à voir avec la continuité des fonctions. >> plan du chapitre plan général

41. Circuits équivalents continus Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base : Si les grandeurs vCet iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement nulles, ainsi : • en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert • en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit • Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : clic <<

42. Court-circuit Circuit ouvert Circuits équivalents continus Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base : Si les grandeurs vCet iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement nulles, ainsi : • en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert • en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit • Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : • en continu un condensateur... est équivalent à un circuit ouvert • en continu une inductance... est équivalente à un court-circuit << >> plan du chapitre plan général

43. C R1 e(t) s(t) R2 e(t) E t 0 Circuits équivalents continus (exemple) précharge v0 Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf : clic <<

44. C R1 e(t) s(t) R2 e(t) E t 0 R1 E R2 sf Circuits équivalents continus (exemple) • Pour cela, nous reprenons le même circuit... précharge v0 Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf : et nous remplaçons le condensateur... clic <<

45. C R1 e(t) s(t) R2 e(t) E t 0 R1 E R2 sf Circuits équivalents continus (exemple) • Pour cela, nous reprenons le même circuit... précharge v0 Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf : et nous remplaçons le condensateur... par un circuit ouvert • Nous constatons alors que l'on a simplement : On remarquera que la condition initiale n'intervient pas dans le régime permanent : c'est une propriété générale des systèmes linéaires << plan du chapitre plan général

46. Exercices sur les circuits équivalents continus • Exercice 1 • On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension constante. • A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que les conditions initiales sont les suivantes : • courant I20 dans l'inductance L2 • tension VC0 aux bornes du condensateur C • Donner les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC en régime permanent. R1 iL1 L1 solution K R2 E iL2 vC R L2 Exercice 2 On considère le circuit de la figure ci-contre. L’interrupteur K est fermé l'instant t = 0. Calculer les valeurs des tensions vC1, vC2 et v en régime permanent. On remplace le condensateur C1 par une inductance L. Calculer les valeurs des tensions vC1, v et du courantiLen régime permanent. aide vC1 iL C1 L v v C2 C2 vC2 vC1 11V K 11V K << >> plan du chapitre plan général

47. R1 iL1 L1 R2 I K iL2 vC R L2 Exercices sur les circuits équivalents continus Exercice 3 On considère le circuit de la figure ci-contre. I est une source de courant constante. A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K. Donner les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC en régime permanent. À rédiger et à rendre << plan du chapitre plan général

48. Solution circuits équivalents continus énoncé Exercice 1 En remplaçant le condensateur par un circuit ouvert et les inductances par des court-circuits, on obtient le circuit de la figure ci-contre. Le théorème de Millman permet d'écrire directement la tension vCf: R1 iL1f K R2 E vCf R iL2f Puis, à partir des expressions : on obtient finalement : Remarque : pour donner l’expression de la tension vCf , on aurait également pu utiliser les diviseurs de tension, en prenant bien soin de considérer toutes les impédances en parallèle : plan du chapitre plan général

49. vC1 iL C1 L v v C2 C2 vC2 vC1 11V K 11V K Aide circuits équivalents continus énoncé Exercice 2 L’interrupteur K étant fermé, il faut remplacer les condensateurs par des circuits ouverts. En utilisant les diviseurs de tension, on obtient alors : L’interrupteur K étant fermé, il faut remplacer le condensateur par un circuit ouvert et l’inductance par un court circuit. En remarquant que les résistances de 3 et 6 W sont shuntées par ce court circuit, on obtient alors : << plan du chapitre plan général

50. Chapitre 2 : réponse des circuits du 1er ordre • Introduction • Réponse à un échelonExercices • Réponse à un signal sinusoïdalExercices • Réponse à une rampeExercices • Réponse à une excitation périodiqueExercices • Réponse à une excitation rectangulaire • Signaux périodiques et symétries plan général