COLEGIUL TEHNIC TIMIŞOARA

1. GRUPA 4CLASA a-X-aPROBLEME CE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL PERMUTĂRILOR, ARANJAMENTELOR ŞI COMBINĂRILOR COLEGIUL TEHNIC TIMIŞOARA

2. Probleme rezolvate: 1. Câte elemente trebuie să conţină o mulţime, astfel încât numărul permutărilor acestei mulţimi să fie cuprins între 700 şi 900 ? Rezolvare: Dacă n este numărul de elemente ale mulţimii, atunci numărul de permutări ale acestei mulţimi este egal cu n!. Deci se impune condiţia 700 < n !< 900. Găsim uşor n=6 (deoarece 7!=6!∙7 > 900 şi evident pentru n> 7, n! > 900). 2. Câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,2,3,4 şi 5 ? Rezolvare: Numărul cerut corespunde tuturor permutărilor de cinci elemente. Deci, este egsl cu 5!=120

3. 3. Câte numere de cinci cifre se pot forma cu cifrele 1,2,3,4 şi 5 care să fie divizibile cu 2 ? Rezolvare: Numerele sunt divizibile cu 2, dacă ultima cifră a lor este un număr par. Doar 2 cifre sunt pare între cele date :2 şi 4. Numerele care conţin ultima cifră 2, sunt în total de 4!= 24, iar cele care se termină în 4 sunt tot 4!= 24 (ultima cifră fiind fixată, celelalte locuri pot fi completate cu celelalte cifre distincte în 4!= 24 moduri). Deci în total 24+ 24 =48 de numere se divid prin 2.

4. 4.Câte numere de cinci cifre se pot forma cu cifrele 1,2,3,4 şi 5 care să conţină pe 1 înaintea lui 2 ? Rezolvare: Dacă 1 este prima poziţie, atunci 2 poate fi oricare din următoarele 4 poziţii. Astfel de numere sunt în total de 4!=24. Dacă 1 este pe a doua poziţie, atunci 2 poate fi pe poziţia a treia, a patra sau a cincia.În total sunt : 3!+3!+3!=18 numere. Dacă 1 este pe poziţia a treia, atunci 2 poate ocupa poziţia a patra sau a cincia. Avem în total 3!+3!=12 astfel de numere. În fine dacă 1 este pe poziţia a patra, obligatoriou 2 este pe poziţia a cincia, iar celelalte 3 poziţii se pot completa în 3!=6 moduri. Deci avem 24+18+12+6=60 de numere cu proprietatea cerută

5. 5.În câte moduri pot fi aranjate n persoane la o masă circulară? Rezolvare: Dacă persoanele ar fi aranjate în linie dreaptă, atunci numărul de moduri de aranjare a acestora corespunde la numărul de permutări de n obiecte, care este egal cu n!. Dacă persoanele sunt aranjatze la o masă circulară, atunci poziţia lor faţă de această masă nu este esenţială. Dacă persoanele se rotesc în jurul mesei (în sensul acelor de ceas sau contrar acestora) astfel încât fiecare să ocupe următorul scaun, atunci este clar că avem practic aceeaşi permutare ( intro astfel de permutare contează doar poziţia unei persoane în raport cu acelea vecine ie). Repetând procesul de rotire în jurul mesei, se obşin încă n-1 identice. Deci, în total vor fi identice n permutări pentru o permutare dată (o aşezare fixă a persoanelor la masă). Prin urmare, numărul de permutări distincte ale celor n persoane la o masă circulară este egal cu

6. 6. Cei 30 de elevi ai unei clase, au făcut schimb reciproc de fotografii. De câte fotografii a fost nevoie ? Rezolvare:

7. 7. Câte numere de patru cifre, divizibile prin 5, se pot forma cu cifrele 0,1,2,5,7, dacă în fiecare număr, orice cifră intră cel mult o dată? Rezolvare: 8. Aflaţi toate submulţimile ordonate, cu câte trei elemente, ale mulţimii {1,2,3,4}. Rezolvare:

8. 9.Consiliul de Securitate al Naţiunilor Unite este format din 5 membrii permanenţi şi 10 membrii nepermanenţi.Pentru a trece o decizie a Consiliului, ea trebuie votată de 9 membrii. Dacă însă, un membru permanent se opune, decizia nu este votată. În câte moduri poate trece o măsură dacă toţi cei 15 membrii votează? Rezolvare: Dacă o decizie trece, înseamnă că toţi membrii permanenţi o votează. Aceasta are loc în mod. Cum 9 voturi sunt necesare pt. A fi validată o decizie se impune ca încă cel puţin 4 din cei 10 membrii nepermanenţi să votze. Aceasta se poate face în moduri. Conform regulii produsului o decizie se poate lua în moduri.

9. 10. La un concurs sportiv sunt 6 probe. Un sportiv este obligat să evoluezue în 3 probe. Câte posibilităţi de alegere are? Rezolvare: 11. Într-o clasă sunt 15 fete şi 15 băieţi. În câte moduri se poate forma un grup din 3 fete şi 5 băieţi ? Rezolvare:

10. Probleme propuse: 1.În câte moduri se pot aranja 5 fotografii într-un album? • 2.Câte numere de 4 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii ? Dar cu elementele mulţimii ? 3. Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele 2,3,4,5? Câte din numerele obţinute se divid prin 2? Dar prin 5 ? 4. Câte numere de 6 cifre încep şi se termină cu 1? 5. În trei urne se află bile numerotate de la 1 la 9. Extrăgând din fiecare urnă câte o bilă şi citind cifra de pe fiecare bilă, se obţine un număr de trei cifre. Câte numere se obţin în total ? 6. În câte moduri se pot împărţi 9 elevi , în trei echipe formate din 4,3 şi respectiv 2 elevi ?

11. 7. Câte numere de cinci cifre există? 8. Câte numere naturale, distincte, se pot forma cu cifrele 0,12,2,3,4,5,6, astfel încât în fiecare număr cifrele să nu se repete? 9.O clasă de elevi are de susţinut trei teze, pe care le pot planifica în cinci zile. Dacă prima teză este în prima zi, câte posibilităţi de planificare a celorlalte teze există? 10. Un jucător de Loto, 6 din 49, doreşte să ştie câte variante sunt posibile. Câte variante simple ar trebui să completeze pentru a fi sigur de câştig?

12. BIBLIOGRAFIE: 1.Manual clasa a-X-a , autorMirceaGanga, edituraMathpress 2.Culegerede problem –Matematicaclasa a-X-a, autori: Marius Burtea, Claudia Burtea, GeorgetaBurtea, edituraCaramis 3.http://meditatiionline.ro/44100-113-308-0-0-Formule_Matematica_Elemente_de_combinatorica_Multimi_ordonate.html#l_113 4.http://meditatiionline.ro/44100-113-309-0-0-Formule_Matematica_Elemente_de_combinatorica_Reguli_generale_ale_combinatoricii.html#l_113 5.http://meditatiionline.ro/44100-113-310-0-0-Formule_Matematica_Elemente_de_combinatorica_Aranjamente_Permutari_Definitie.html#l_113