Dane INFORMACYJNE

2. DaneINFORMACYJNE • Zespół Szkół Gastronomicznych w Poznaniu • 97/91_mf_g1 • Magdalena Majchrzak • matematyczno - fizyczna • Arytmetyka i algebra przez geometrię. • Letni 2011/2012.

3. Spis treści • Liczby kwadratowe, trójkątne i wielokątne. • Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze. • Niemożliwe pierwiastki. • Odcinki o długości niewymiernej. • Dywan Sierpińskiego. • Liczby Fibonacciego. • Wzór Bineta. • Graficzna prezentacja ciągu. • Złota liczba. • Klasy reszt.

4. Liczby kwadratowe, trójkątne i wielokątne. • Liczby kwadratowe. • Są to szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat". Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem: • kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1), • gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych. Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat, np. 1 + 3 = 22 ,1 + 3 + 5 = 32 ,1 + 3 + 5 + 7 = 42 .

5. Liczby trójkątne. • Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej. • Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

6. Przez oznaczmy Tnliczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną. Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: • Początkowe liczby trójkątne: • 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, ... • Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

7. Liczby wielokątne. • Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ulożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. • Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy. 6 1 3 1 4 9 1 5 12

8. Wzór na liczbę wielokątną:

9. Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze. • Każda liczba naturalna (n > 1) jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych. • Zatem każdą liczbę złożoną można przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych, czyli rozłożyć na czynniki pierwsze. Każdą liczbę zatem można jednoznacznie zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych, a kolejność zapisu tych liczb nie ma znaczenia. Zasada Euklidesa, z dzieła „Elementy” mówi, że liczba pierwsza dzieli iloczyn liczb tylko wtedy, gdy dzieli przynajmniej jedną z nich. Wynika z niej, że liczba nie może mieć dwóch różnych rozkładów na iloczyn liczb pierwszych.

10. Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest kolejne dzielenie. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę i dzielimy. Powstały iloraz jest nową liczbą, dla której szukamy następną liczbę pierwszą ją dzielącą i powtarzamy tę czynność aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby. • Np. • 210=2. 3 . 5 . 7 2128=2 . 2 . 2. 2 . 7 . 19 564 =2. 2 . 3 . 47

11. Niemożliwe pierwiastki kwadratowe. • Dlaczego pierwiastek kwadratowy z liczby 2 nie może być liczbą wymierną? • Załóżmy, że jest ułamkiem nieskracalnym, gdzie m i n są liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest parzysta. Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy następujące równanie 2n2=m2 .Równanie to wymaga , aby m było parzyste, zatem m2 musi być liczbą podzielną przez 4, a stąd także n musi być parzyste – a z tego wynika , że okazało się ułamkiem skracalnym. Ta sprzeczność dowodzi, że jest liczbą niewymierną.

12. Odcinki o długości niewymiernej. • Aby wyznaczyć odcinki o długościach niewymiernych można skorzystać z konstrukcji geometrycznej jak również bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Pierwsza metoda polega na konstruowaniu trójkątów prostokątnych zaczynając od kwadratu jednostkowego i nosi nazwę ślimaka Pitagorasa lub też inna wersja Ślimak Euklidesa. Przekątne tych trójkątów są kolejnymi pierwiastkami liczb naturalnych. • Ślimak Pitagorasa Ślimak Euklidesa. 1 1 1 1

13. Druga metoda polega na próbie rozkładu liczby naturalnej na sumę kwadratów dowolnych liczb naturalnych i zbudowaniu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są właśnie te liczby naturalne z sumy kwadratów. Niestety tą metodą nie otrzymamy wszystkich odcinków o długościach niewymiernych. • Np. 2 2 1 4 5 6

14. Dlaczego pierwiastek kwadratowy z liczby -1 nie może być liczbą rzeczywistą? • Załóżmy, że jest liczbą rzeczywistą m , więc m2 =-1. Jeśli m jest liczbą dodatnią to m2jest dodatnie, więc . Jeśli natomiast m jest ujemne, to m2 =(-a)(-a)=a2co daje nam znów liczbę dodatnią, czyli . Jeżeli mjest równe zero to m2 też jest zerem. Zatem przy rzeczywistym m nie jest możliwe aby .

15. Dywan Sierpińskiego • To fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. • Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku. • Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

16. Własności dywanu Sierpińskiego. • Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928... • Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe. • Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

17. Fraktal • Fraktal w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: • ma nietrywialną strukturę w każdej skali, • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,

18. jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, • ma względnie prostą definicję rekurencyjną, • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd. • Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość . Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

19. Fraktale w matematyce. Kostka Mangera Zbiór Julii w przestrzeni kwaternionów Kostka Cantora Atraktor IFS Fraktal w przestrzeni trójwymiarowej Zbiór Mandelbrota

20. Liczby Fibonacciego. • Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim w swoim dziele „Liber abaci” jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazywanie tego ciągu jako ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX w. Edward Lucas. • Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich,kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. • Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od 1. • Wyrazy ciągu Fibonacciego to: 0, 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181... .

21. Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: • 0 dla n=0; • Fn = 1 dla n=1; • Fn-1 + Fn-2 dla n>1. • Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…

22. Wzór Bineta. • Wzór ogólny ciągu Fibonacciego określa sie wzorem: • Nosi on miano wzoru Bineta.

23. Graficzna prezentacja ciągu. • Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

24. Złota liczba. • Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. • Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami. • Można powiedzieć, że ciąg Fibonacciego jest przeniesieniem złotej proporcji na zbiór liczb naturalnych (liczb będących wielokrotnością liczby 1).

25. a + b a a b a b a + b Podział odcinka w złotej proporcji. • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. • liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)).

26. Spirala Fibonacciego. • Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej.

27. Klasy reszt. • Co to jest reszta? • Dla danych liczb k oraz m≠0 istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby p oraz r, dla których zachodzi równość : • k = p.m + r, przy czym 0 ≤ r < |m|, gdzie • p – iloraz • r – reszta • m – dzielnik • k - dzielna

28. Co to jest działanie modulo? • Modulo – w informatyce operacja wyznaczania reszty z dzielenia jednego typu liczbowego przez drugi. W dalszym ciągu napis k mod m= r ,będzie oznaczał, iż r jest resztą z dzielenia k przez m. • Na przykład: • 9 modulo 5 = 4, ponieważ 5.1 + 4 = 9 , • 33 modulo 7 = 5, ponieważ 7. 4 + 5 = 33, • 115 Modulo 13 = 11, ponieważ 13. 8 + 11 = 115.

29. Klasy reszt. • Jeśli n = 4, to klasy reszt są zbiorami: • W podanym przykładzie odpowiednio 0, 1, 2, 3 to wyniki dzielenia modulo.

30. Przystawanie. • Relację utożsamiającą ze sobą liczby o tej samej reszcie z dzielenia przez ntzn. relację daną wzorem ,wtedy i tylko wtedy, gdy nazywa się przystawaniem bądź kongruencją o module (modulo) n. Jeśli liczby a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez n to ich różnica a - b jest wielokrotnością liczby n lub równoważnie n jest dzielnikiem a - b . Wspomniane dwa sformułowania są często przyjmowanymi definicjami przystawania. • Innym sposobem zapisu relacji jest a = b(mod n) ,a nawet a = b (n). Aby uniknąć nieporozumień indeks dolny n jest pomijany przy symbolach.

31. Przystawanie można również wyrazić w następujący sposób : a przystaje do b, jeśli wynik działania modulo dla liczb a i b jest taki sam. • Przykłady: • 16 modulo 6 = 4 • 10 modulo 6 = 4 • więc 16 przystaje do 10 (modulo 6) • Zapis matematyczny 16 10 (mod 6) • 25 modulo 9 = 7 • 52 modulo 9 =7, czyli 25 52( mod 7)

32. literatura • Matematyka, podręcznik dla liceów i techników klasa1, wyd. Oficyna edukacyjna Krzysztof Pazdro. • Matematyka1, podręcznik dla liceów i techników, wyd. Nowa Era • http://www.math.edu.pl/liczby-kwadratowe • http://www.math.edu.pl/liczby-trojkatne • http://www.deszynski.pl/p12/Kunert/index.html • http://pl.wikipedia.org/wiki/Dywan_Sierpi%C5%84skiego • http://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka_modularna • Księga liczb – John Conway i Richard Guy • Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek